《自動控制理論》第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法

《《自動控制理論》第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《自動控制理論》第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法（88頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法 ?重點與難點 —、基本概念 1. 頻率特性的定義 設某穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻率 的正弦函數(shù)，其振幅與輸入正弦信號的振幅之比A(。)稱為幅頻特性，其相位與輸 入正弦信號的相位之差0(刃)稱為相頻特性。系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)之間有著以 下重要關系： G(M)= G(s)Ie 2. 頻率特性的幾何表示 用曲線來表示系統(tǒng)的頻率特性，常使用以下兒種方法： (1) 幅相頻率特性曲線：又稱奈奎斯特(Nyquist)曲線或極坐標圖。它是以切為 參變量，以復平面上的矢量表示Gg的一種方法。 (2) 對數(shù)頻率特性曲線：

2、又稱伯德(Bode)圖。這種方法用兩條曲線分別表示幅 頻特性和相頻特性。橫坐標為3,按常用對數(shù)lg3分度。對數(shù)相頻特性的縱坐標表 示(p(co),單位為“° ”(度)。而對數(shù)幅頻特性的縱坐標為￡(/) = 201gA(/), 單位為dBo (3) 對數(shù)幅相頻率特性曲線：又稱尼柯爾斯曲線。該方法以3為參變量，(p(co)為 橫坐標，匕(口)為縱坐標。 3. 典型環(huán)節(jié)的頻率特性及最小相位系統(tǒng) (1) 慣性環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s) = — (2) 開環(huán)對數(shù)幅頻特性與OdB線只有一個交點(一般情形)，單位反饋系統(tǒng)的 開環(huán)傳遞函數(shù)可描繪為 KLA(s)n(7>

3、-l) G3)= 方(s)加pS-1) P=1 式中 dNO, 丁 NO；當 d=0 時，K>1. 這時系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)可描繪為：當〃4為奇數(shù)時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當皿為() 或偶數(shù)時閉環(huán)系環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是穿越OdB線的頻率口。所對應的開環(huán)對數(shù) 相頻特性大于180。㈣—1)；其相位裕量為/ = 180。(一叫+1) +伊(％),幅值裕量 為勾=-201g|G(/%)H(/Q)|。其中，伊(刃)為開環(huán)相頻特性；％為相頻特性 與180。（〃，-1）線的交點。 （3）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有在s右半平面的復數(shù)零極點的情形。 當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中有在s右半平面的復數(shù)零極點

4、時，開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成 /M) 心 G(s)H(s) = 庇一"A(s)n (TjS -1)H (7]%2 — 2g/7；s +1) j=l !=1 s 的(s)n(t> - i)n (羅，- 2渦 s+1) p=\ q=\ 式中 dN（）, 丁 NO；當d=（）時，K>L 判據(jù)如下：當〃％為奇數(shù)時系統(tǒng)不穩(wěn)定，當，q為零或偶數(shù)時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充 要條件是穿越OdB線頻率饑.所對應的開環(huán)對數(shù)相頻特性大于180。。叫+2% -1）； 系統(tǒng)的相位裕量為/ = 180。（-〃4-2/巧+1） + 0（仗.），幅值裕量為 勾=-201g|G（/S）H（/%）|。其中，（p（a））為

5、開環(huán)相頻特性；斜 為相頻特性與 180。（吧+2如2-1）線的交點。 7. 尼柯爾斯曲線 若將開環(huán)頻率特性表示 G（./初）=A（/）g加時 閉環(huán)頻率特性表示為 中（，刃）=必（刃）次而） 則按下式 … … COS0 土 Jcos? 0 +M 2 一1 20 lg A（co） = 20 lg —―《 M~2-I 做等M曲線。 按下式 20 IgA㈣=20 lg迥契W㈣ sin。?） 做等a曲線。 8. 帶寬頻率和帶寬 20lg | |< 20 lg | 中（，0） |-3 （刃〉a）》） 對于I型及I型以上的系統(tǒng) 201g |中（/初）|v—3 （切〉饑）

6、 則口,，稱為帶寬頻率。 9. 諧振峰值及頻率 若 則=M(cor)稱諧振峰值，切,?稱為峰值頻率。 相位裕量/,截止頻率0與及八的關系為 s 1 = M r sin/ (1 ) cr = 0.16 + 0.4 1 (35° < / < 90°) [sin/ ) ts = Ktl! cd c 式中 /C = 2 + 1.5 + 2.5 (sin/ ) (sin/ ) 2 (35°

7、差可寫成 / 、 CO/ 1 SS ) 2 Vv~ +COI ) Q,(s)1 = s 將 L ,看作輸入的拉氏變換，將墜回看作專遞函數(shù)，求相應的正弦響應便 SCO, 可得到動態(tài)誤差。 二、基本要求 (1) 運用頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。 (2) 確定系統(tǒng)的動態(tài)誤差系數(shù)。 (3) 做 Nyquist 曲線圖，Bode 圖。 (4) 穩(wěn)定性判據(jù)。 （5） 相位裕量、幅值裕量的計算。 （6） 閉環(huán)頻率特性的基本知識和有關指標。 （7） 系統(tǒng)指標的近似估算。 （8） 用實驗數(shù)據(jù)確定傳遞函數(shù)，由Bode圖得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 三、重點與難點 1.

8、重點 （1） 開環(huán)頻率特性的繪制（包括極坐標圖和對數(shù)坐標圖）； （2） 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)； （3） 開環(huán)頻率特性指標； （4） 閉環(huán)頻率特性指標。 2. 難點 （1） 非最小相位系統(tǒng)相頻特性； （2） 奈奎斯特路徑有變化時奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應用； （3） 截止頻率切。的計算 叭的確定對于計算系統(tǒng)的相位裕量至關重要，是本章計算內(nèi)容的重點和難點。叭的 計算可按以下步驟進行。 ① 按分段描述方法，寫出對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線方程表達式。 20 lg A, (co) 20 lg &( 口) 201gA,3) 20 lg")

9、? 罰< Si 口 Z % ?按順序求Ai（a）） = 1之解切*,考查co^

10、定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件； (2) 用奈奎斯特判據(jù)確定使全部閉環(huán)極點均位于s左半部，且實部的絕對值都大于 1的條件； (3) 用奈奎斯特判據(jù)確定使全部閉環(huán)極點均位于s左半部且全部復極點的阻尼系數(shù) 都大于亞的條件。 2 解：(1)此題是I型系統(tǒng)，取奈奎斯特路徑如圖5-1所示，即奈奎斯特路徑選取了 由以下各段組成的s平面上的封閉曲線： ① 正虛軸：s=js 頻率切從O '變化到8; ② 半徑為無窮大的右半圓：s = /? —>oo,變化到一—; 2 2 ③ 負虛軸：S=js頻率口從一8變化到0一； ④ 半徑為無窮小的右半圓：s = R'e0,R'TO,。'由一三變化至仁；

11、2 2 先求與路徑①對應的奈奎斯特圖，將s = jco代入Gk(5) Gk(j(D)= + 3)(+ 5) A(@) = — K——= 69V9 + ^y2 V25 + 692 / 、 0) Ct) (p((D)= -90 一 arctan arctan — 3 5 仞(0) =-90°; 9(oo) = -270° —8K 求與實軸的交點，令0刃)=0,解得少2 =15w = ±Ji?o±3.87 P(V15) = —8K (9 + 15)(25 + 15) 120 與路徑②對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮小。角度從一27()。逆時針轉(zhuǎn)到27()。的圓弧,

12、 由于此段奈奎斯特圖與奈奎斯特曲穩(wěn)定判據(jù)應用到閉環(huán)系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以圖中略去。 與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑①對應的奈奎斯特圖關于實軸的鏡像。 .與路徑④對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮大，角度從90。順時針轉(zhuǎn)到一90。的圓弧。 畫出奈奎斯特圖如5-2所示。要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，要求0>- —>-1，即當 120 0 v K v 120時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 圖5-2 圖5-3 (2)此時，取奈奎斯特路徑如圖5-3所示，即奈奎斯特路徑選取了由以下各段組成 的S平面上的封閉曲線： ① 平行于正虛軸直線：s = ja)— \，頻率切由0變化到8； ② 半徑為無窮大的右半圓：s = R/

13、,Rroo,。山生變化到一生； 2 2 ③ 平行于正虛軸直線：s = ja)- \,頻率?由-oo變化到0； 先求與路徑 ①對應的奈奎斯特圖 K 將 S =,/切一 1 代入 Gk (s)=————得 s(s + 3)( s + 5) Gk (jco -1) = Gk * (拘)= 0-1)0+ 2)0+ 4) 注意此時的G. *(，刃)已不是I型系統(tǒng)形式，而是非最小相位傳遞函數(shù) K 人(口)= / ，廠 」］ 5/1 + CD2 v4 4- CO2 Vl 6 + CD2 (P(切=-arctany 一 arctan^ 一 (180 一 arctano>)

14、 --180 + arc tan/ — arc tan arc tan— 4 °(0) = -180°; 0(00) = -270° = -K(8 + 5/ (1 + 692 )(4 +692 )(16 +692) — K(2■ —妒) 5)一(1 + 切2)(4 + /)(16 + 切2) 求與實軸的交點，令069)=0,解得69 = 0, (D = & P(0)= 畫出奈奎斯特圖如圖5-4所示。 與路徑②對應的奈奎斯特圖是半徑為 無窮小，角度從一270。逆時針轉(zhuǎn)到270。的 圓弧，由于此段奈奎斯特圖與奈奎斯特穩(wěn) 定判據(jù)應用到閉環(huán)系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以圖 中略去。

15、與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑① 對應的奈奎斯特圖關于實軸的鏡像。要使 此圖滿足穩(wěn)定的要求-A〈_i<_A,即 8 18 當8vKvl8時滿足全部閉環(huán)極點均位 于s左半平面且實部絕對值都大于1的條 件。 解二：本題的結果也可以利用勞斯判據(jù)來獲得，方法是平移坐標軸后再用勞斯判據(jù) 判斷相對穩(wěn)定的條件。令s = x-\代入特征方程 A = 53 +8$2 + 15s+ K = 0 整理得 △=工3 + 5x2 +2x-8 + K = 0 列勞斯陣列如下 X3 X2 x° 1 2 5 K-8 18-K 5 K — 8 可解得8VKV18。當8VKV18時滿足全

16、部閉環(huán) 要使勞斯陣列第一列都大于零， 極點均位于s平面左半部且實部的絕對值都大于1的條件，此結果與應用奈奎斯特判據(jù) 所得結果完全相同。 (3) 此時取奈奎斯特路徑如圖5-5所示，即奈奎斯特路徑選取了由以下各段組成的s 平面上的封閉曲線： 與負虛軸成45。角的直線：S = -x + jx,頻率x由0變化到8； 3 3 半徑為無窮大的右半圓：s = R七RT8,。由才變化到一—； 與負虛軸成45。角的直線：s = x + jx,頻率x由一8變化到0； 半徑為無窮小的右半圓：s = R'e用，R't 0,由一一到一； 4 4 先求與路徑①對應的奈奎斯特圖，將$ = -工+衣代

17、入G,(5)= a ”s + 3)(s + 5) GJr + 白)=Gk * (問=(_尤* 衣)(3 —」+ -)(5 — * + 女) ")=VI"(3f)2+_?J(5r)2+J x X (p(oj) = -135° - arctan arctan 3-x 5-x 仞(0) = -135°;仞(3) = 一 281.31°; 9(5) = -336.8° ;^(oo) = -405° = (2/_15)K 2x[(3-x)2+a:2][(5 + x)2+x2] = (-2子+16廠15淚 ? 2xl(3-x)24-x2][(5 4-x)2+x2J 6.91

18、5(與正實軸的交點頻密與負 1.085(與負實軸的交點頻率’ 求與實軸的交點，令0x) = 0,解得工=4±匝=< 2 -K x=4_V34 - 49』34-272 2 實軸的交點P（4 -匝）= _ 再求與虛軸的交點，令P(x)=(),解得尤= )為與虛軸的交點值。 2 2x［（3-x）2 +尸］［（5 + 工）2 +x2］ 圖5-6 與路徑②對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮小，角度從-405。逆時針轉(zhuǎn)到405。的弧，由 于此段奈奎斯特圖與奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)應用到閉環(huán)系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以，圖中略去。 與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑①對應的奈奎斯特圖關于實軸的

19、鏡像。 與路徑④對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮大，角度從135。順時針轉(zhuǎn)到-135。的圓弧。 畫出奈奎斯特圖如圖5-6所示，由圖可知，滿足全部閉環(huán)極點均位于s左半部且實 部的絕對值都大于1的條件是 0 < —= <-1 49V34-272 即當0vK<49jS-272^13.7時滿足要 求。 解二：此題可用根軌跡法來求，畫出根軌跡 如圖5-7所示，滿足題示要求即是要求出根軌跡 與阻尼角為45。的射線所夾部分根軌跡增益的范 圍。 令 s = x(l + j),則 ?=2x27,?=x3(-1 + j) 代入特征方程 A = ?+8? + 155 + AT 可得實部

20、方程 -2方15尤+《=0 和虛部方程 2x3 + 16x2 + 15x = 0 可解得]=。和“_4 +匝」"915(與正反饋根軌跡的交點 2 [-1.085(與負反饋根軌跡的交點 /C = (2x3-15x)| =49 應— 272 5 3.7 .r=-4+亍 結合根軌跡圖可知，當OVKV13.7滿足使全部閉環(huán)極點均位于s平面左半部且全 部復極點的阻尼系數(shù)都大于巫的要求。 2 例5-2已知開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)=手s + 2),畫出與完整的奈奎斯特路徑相 s' + 3s +1 對應的奈奎斯特圖。 (1) 確定相對于G(s)H(s)平面的原點的N, P和Z的

21、值。從而判斷開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn) 定。 (2) 求取相對于一 1點的和Z的值。從而判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 解一：(1)首先要確定升環(huán)零，極點的位置，由于本題開環(huán)零點以確定，而分母是 以多項式形式給出，所以只要確定開環(huán)極點的位置。方法由三種： a)勞斯判據(jù)法對開環(huán)特征方程53 4-35 + 1=0,列勞斯陣列如下 尸 1 3 52 0 1 s' -00 S。 1 由勞斯判據(jù)可判斷開環(huán)特征方程有一個左根和兩個右根，沒有虛軸上的根。 b )根軌跡法 對開環(huán)特征方程s3+3s + 1=0 ,可改寫為 1 k 1+、一 = 1+ — =0于是s3+3s + 1= 0的根可看作在等效開

22、環(huán)傳遞函數(shù)為 s、+3s (52 +3)5 K=} Ga.*= —的根軌跡上，取K=1時的點，此時根軌跡如圖5-9所示。由根軌跡可知， (S2+3)S 當K=\時開環(huán)特征方程s' + 3s +1 = 0有一個負實根和一對實部為正的共鈕復根。 其頻率特性 Gg = G(s) s=j( = Tcoj + \ 對數(shù)幅頻特性 L(co) = 20 lg 1 + &2 (5.1) 其漸近線為 0 Tco<\ 一20也(7初)Tco>\ (5.2) 在如=1處，漸近線與實際幅頻特性曲線相差最大，為3dB。 對數(shù)相頻特性 (p{co) - 一arctg(77y) (5

23、.3) 其漸近線為 (Pa(刃)=' 0 Teo <0A blg(Tco) 0.1 V Ry v 10 -90° Try >10 (5.4) 當Teo =0.1時，有 0 = a + Z?lg0.1 = a-b (5.5) 當7初二10時，有 —90° = a + h\g\0 = a + h (5.6) 由式(5.5)、式(5.6)得 q = T5。 b = 45° 因此: 0 TTyvO.l (5.7) -

24、45°lg(10T^) 0.1\0 c）奈奎斯特判據(jù)法 此法是題中要求的方法。即畫出完整的奈奎斯特曲線，求出該 曲線對Gk （5）平面對原點包圍的次數(shù)M，若此時開環(huán)右零點數(shù)Zo已知，則開環(huán)右極點數(shù) Po=Z°-No,此法可與閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判別同時進行。 （2）下面畫出與完整的奈奎斯特路徑相對應的奈奎斯特圖。 為了確定奈奎斯特路徑，必須先確定開環(huán)傳遞函數(shù)是否有虛軸上的極點。 設 =3s + l =(5 +。)($2 4- bs + c) = + +(q/?+C)S + QC = 0 因為。。=1。0,所以。力0,。。0, 因為。+ /? =

25、0,所以/? = —〃# 0 因為q壬0，/?壬0和《壬0,所以開環(huán)傳遞函 數(shù)沒有虛軸上的極點。 此題是0型系統(tǒng)，取奈奎斯特路徑如圖5-8 所示，即奈奎斯特路徑選取了由以下各段組成的s 平面上的封閉曲線： ① 正虛軸:s = /初,頻率切由0變化到3； ② 半徑為無窮大的右半圓： s = Re）,Rt 00,0 由 5 變化到-3； ③ 負虛軸：S = jco，頻率刃由-8變化到0； 先求與路徑①對應的奈奎斯特圖，將s = ja） 代入GJs）得 _ 3(2 +.泗)_ 3[2 + (3 — +2)口2 ] + 3(2次 一 5)而 JC0)_ l + (3-

26、^ _ 1 + (3-企2)2妒 腳）=3也+（3-"'）仁］ 1+（3 — ?2）2 刃 2 盛）=3如-5知 1+6-口 2）2/2 P（0） = 6,00） = 0, P（ao） = 0,08）= 0 求與實軸的交點，令0仞=0,解得口 = 0和切= ±J^3; 解得P（0） = 6, P（底）=6再求與虛軸的交點， 令 戶（口）= 0,可得方程口4_3刃2一2 = 0 4 3 2 1 -3 -2~ 、1 _1\ A 0 解得 7 ar 3±V17 [3.56 -0.56(略) ±1.887 CD = ± Q =( 2 、 )=3 a

27、 5.66 圖5-9 lim Gk (s) = lim 日 5 ->co /?->CO s ~ 圖 5-10 71 其次求與路徑②對應的奈奎斯特圖，將S = jco代入G,(5),其中Rts為由3變化到 71 7; = 0xQ2。 $=Re 押 這表明與路徑②對應的奈奎斯特圖是連接GJ+o。)和GJro)的半徑為無窮小，角 度從-180。逆時針轉(zhuǎn)到180。的圓弧，如圖5-10中原點附近的虛線小圓孤所示。此段奈奎 斯特圖與用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷無關，但與用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對 開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷有關。 與路徑

28、③對應的奈奎斯特圖是路徑 ①對應的奈奎斯特圖關于實軸的鏡像。 畫出極坐標圖如5T0所示。此時， 奈奎斯特曲線對Gk(5)平面原點的包圍 次數(shù)M=-2,已知開環(huán)右零點數(shù)Z°=0,于是 開環(huán)右極點數(shù)P=Zo-^o=O-(-2)=2.又由奈 奎斯特圖可知奈奎斯特曲線對(T，jO) 的包圍次數(shù)N=0,于是Z=N+P=2,閉 環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)。 上面僅根據(jù)實頻特性和虛頻特性畫 圖，對終點的相角無法確定。為畫圖準確起見，需求出幅頻特性和相頻特性。這里假設 +3s + l = (s + q)(s-Z? + jc)(s _ b _ jc) 其中 a >0,/?>0,c>0 于是 "g =

29、* = 3 + Of ")=/ 3 4 + ° 3 2 Jl + (369 — CO' ) .. CD CD 69 + C、八 cc。 CO — C (p{co)- arctan arctan (180 -arctan ) -(180 -arctan ) 2 a b b me。 co co a)+ c (0-c =-360 + arctan arctan— + arctan + arctan 2 a b b Q(O) = -36O°；0(oo) = -18(r 這也表明與奈奎斯特路徑中無窮大右半圓對應的奈奎斯特圖是連接GJ+8)和 GJ-8)的半徑為無窮小，角度從T8

30、0。逆時針轉(zhuǎn)到180。的圓弧。若僅從奈奎斯特圖上看, 可能會認為e(0) = 0°/(+oo) = 180。，因而可能得出與奈奎斯特路徑中無窮大右半圓對應 的奈奎斯特圖是連接Gk(+00)和@(-8)的半徑為無窮小，角度從180。順時針轉(zhuǎn)到-180。 的圓弧的錯誤結果，如果是這樣的話，就不能正確的應用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷開環(huán)系 統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由此可見非最小相位系統(tǒng)的相頻特性的計算很重要。 解二：此題開環(huán)極點位置未知，應用逆奈奎斯特判據(jù)則比較容易。此時 gq)= | ="+3* G(s)H(s) 3(s + 2) 3（4 +妒） 沒有虛軸上的開環(huán)極點，所以奈奎斯特路徑可

31、以選最簡形式。 廠*, ? \ 1 + (3 —口~)仞 2 + (3 - co2)a>2 + (5 - 2*(()) =』； 6 = 1.再求與虛軸的交點，令P*(?) = 0,可得方程MT妒-2 = 0 6 解得 2 _ 3土而」3.56 69 _ —2 —_［一 0.56(略) ? ±1,887 Q*(J^^)a-0.177 映射為 對應奈奎斯特路徑中無窮大右半圓的 2 lim Gk

32、*(s) = lim— 5 —>CO 5^00 3 =ooe，* = oog，。 當0由生變化到-巳時，仞由仃順時針變化到-仃，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以畫出逆奈奎斯 2 2 特圖如圖5-11所示。 由圖可見逆奈奎斯特圖順時針包圍原點兩圈No=2,等效開環(huán)傳遞函數(shù)右極點數(shù)P=0,于 是等效開環(huán)傳遞函數(shù)右零點數(shù)Zo=P+M=2,即原傳遞函數(shù)有兩個右極點，心,N=2,Z*P=2, 即閉環(huán)傳遞函數(shù)有兩個右極點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)。 100 例5-3己知開環(huán)傳遞函數(shù)G（岫）=站3）（5），作出其奈奎斯特圖。并 從圖中判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：此題是I型系統(tǒng)，取奈奎斯特路徑如圖5-1所示，先求

33、與路徑①對應的奈奎斯 特圖。 100 G(s)H(s)= , 'J = 羿 廠 s(sns +1)(5) g % + }$?)(是一 §) ")=I——T ~ /Ji +妒J(1 一妒尸+妒 (p(a)) = 一90° - arctan co 一 arctan(2

34、實軸的交點，令0口）= 0,解 得口 = ±屈，貝IJP（而）=一罕， 再求與虛軸的交點，令戶（刃）=0：解得 刃=±捉，。（扼）=邛. 3扼 與路徑②對應的奈奎斯特圖是半 徑為無窮小，角度從-360。逆時針轉(zhuǎn)到 360。的圓弧，由于此段奈奎斯特圖與奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)應用到閉環(huán)系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以圖中略去。 與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑①關于實軸的鏡像。 與路徑④對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮大，角度從90。順時針轉(zhuǎn)到一90。的圓弧。 畫出奈奎斯特圖如圖5T2所示。 由圖可見P=0,N=2,Z=N+P=2,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn) inn 例5-4己知開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）H（s）

35、= ——竺一作出其奈奎斯特圖判斷閉環(huán) s（s + l）（s? +2） 系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解一：這是一個在虛軸上有三個開環(huán)極點的例子，它們分別為s = 0和$ = 士扼， 取奈奎斯特路徑必須繞過這三個虛軸上的開環(huán)極點，如圖5-13所示。先求路徑①③ （奈奎斯特路徑取為除（0 = 41點外的正虛軸部分），對應的奈奎斯特圖，將s = jco代 入GJs）,可得 A（69）= 100 + 刃2 (2 — 刃？) P（/）= 0刃）= (p3 = -90° - arctan 口 一 arctan——arctan— j2 +

36、 -90" - arctan co(cd < V2 ) -270" - arctan co(co > V2 ) 仞(0) = —9(T,次扼一)=_ 144.74° 0(VT) = -一324.74。仞(oo) = -360" 100 （1 +妒）（2— 妒） 100 刃（1 +妒）（2—妒） 對P（刃）和。（刃）而言，其分子多項式為 常數(shù)，所以奈奎斯特圖在有限頻率范圍內(nèi)與實 軸和虛軸無交點。為了準確畫出奈奎斯特圖， 需求出曲線的極值點，這可以通過對F（/）和 Q（刃）的分母多項式求導來獲得PS 和 。（刃）的極值點，為求戶（口）的極值點，可令 做1 + 刃2）（2_

37、次）| 2、n =2

38、 0.167 -00 -497.5 -245.3 -91.4 -62.9 -50 -603 1423.6 5 0.033 與路徑②（奈奎斯特路徑在（0 = 41點處為無窮小右半圓）對應的奈奎斯特圖是G*后 和Gk4r的半徑為無窮大，角度從-144.74°順時針轉(zhuǎn)到-324.74°的圓弧。 與路徑④對應的奈奎斯特圖是半徑 為無窮小，角度從-360。逆時針轉(zhuǎn)到360。 的圓弧（逆時針轉(zhuǎn)兩圈），由于此段奈奎 斯特圖與奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)應用到閉環(huán) 系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以圖中略去。 與路徑⑤,⑥,⑦對應的奈奎斯特圖， 分別是路徑①，②，③對應的奈奎斯特圖 關于實

39、軸的鏡像。 與路徑⑧對應的奈奎斯特圖，是連接 GJ。。和GJ0+）的半徑為無窮大，角 度從90。順時針轉(zhuǎn)到一90。的圓弧 根據(jù)以上數(shù)據(jù)可畫出奈奎斯特圖 如圖5-14所示。 由圖可見，P=，,N=2,Z=N+P=2,閉環(huán) 系統(tǒng)不穩(wěn)。 解二：此題是一個在虛軸上由三個開環(huán)極點的例子，所取奈奎斯特路徑必須繞過這 三個虛軸上的開環(huán)極點，若應用逆奈奎斯特判據(jù)，則比較容易。 1 _ s(s + l)(s'+2) G(s)H(s) 一 lOO- + ］）仃2 + 2） 對Ga*（s）= ~制—— 而言，沒有開環(huán)極點，所以奈奎斯特路徑可選最簡形 式，如圖5-8所示。先求與路徑①對應

40、的奈奎斯特圖，將S = jco代入G, *（5）,得 100 伊 *( V2 ） 伊 * （0） = 90。, ° * （VT） = 144.74。， 9 * （VT） = 324.74°, ° * （oo） = 360’ 2*（仞="（可_2） 100 100 在刃=0和69 = 72時，奈奎斯特圖將與實軸和虛軸相交，不過交點都在原點。 為了準確畫出逆奈奎斯特圖，需求出曲線的極值點，這可通過對戶*（切）和。*（切）分 別求導來獲得其極值點。 由空^ = 4丁3二4

41、。= ° ,可求得戶*（切）的極大值，解得口 = ±1,/>*（1） = -0.01 dco 100 由您 =2_3.2 可求得。*（口）的極大值，解得口 = ±羸*居 =^^ dco 100 V 3 V 3 75的 co 0 V2?3 1 2 5 10 P*（69） 0 -0.0089 -0.01 0 0.08 5.75 98 Q* （口） 0 0.011 0.01 0 -0.04 -1.15 -9.8  其次，求與奈奎斯特路徑中無窮大右 半圓(路徑②)對應的奈奎斯特圖，將 s = Re泌代入Gk (5),其中由 生變化到-

42、生；得 2 2 4 lim G (s) = lim —— s->oc 100 =008沖=006 s=Re，" 當。由m變化到號時，『由&變化到 一 2勿。 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可畫出逆奈奎斯特 圖如圖5T5所示。 由圖可見P=0,N=2,Z=N+P=2,閉環(huán)系 統(tǒng)不穩(wěn)。 例5-5設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 時)=嘗 k s(5s + 1) 其中，K>0,若選用奈奎斯特路徑如圖5-16o (1) 畫出系統(tǒng)與該奈奎斯特路徑對應的奈奎斯特 曲線(即該奈奎斯特路徑在Gk (jco)平面中的映射)； (2) 根據(jù)所畫奈奎斯特曲線及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)

43、定的條件；當閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時計 算閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點數(shù)。 解：(1)先求與路徑①對應的奈奎斯特圖。 將 $ = jco 代入 Gk (s) 心,.、 KQ — 拘) -6K . AT(l-5(o2) 加 1 + J5co) 1 + 25cd2 cd(1 + 25co2) (、——6K 、— K(l-5妒) 〃 s - 1 + 25妒'。①-一 co(l+ 25? 前、K』l +妒 人(口)= ―/ 赫+ 25妒 (p(co) = -90° - arctan56W - arctaruw 仞(0) = 一90°,伊(oo) = - 270 圖 15-17 求與

44、實軸的交點，令。(刃)=0，解得0)= ±4,戶(4)= -K o J5 V5 與路徑②對應的奈奎斯特圖是半徑為無窮小，角度從-27()。逆時針轉(zhuǎn)到27()。的圓弧, 由于此段奈奎斯特圖與奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)應用到閉環(huán)系統(tǒng)判穩(wěn)無關，所以圖中略去。 與路徑③對應的奈奎斯特圖是路徑①對應 的奈奎斯特圖關于實軸的鏡像。 與奈奎斯特路徑中原點附近的無窮小半徑 左半圓(路徑④)對應的奈奎斯特圖是連接 GJCT)到Ga((T)逆時針轉(zhuǎn)過180。的無窮大 半圓弧。 畫出奈奎斯特圖如圖5-17所示。 (2)此時，由于奈奎斯特路徑的選擇，使原 點處的開環(huán)極點被看作是右半開環(huán)極點，即 P=l

45、,要使Z=(),則要求奈奎斯特圖逆時針包圍 (-1, jO)點一圈，即N=-lo于是要求奈奎斯特圖與負實軸的交點坐標大于(T, jO) 點。即一1 v—Kv()。 所以一Iv—KvO時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當K=1時系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 當K>1時系統(tǒng)不穩(wěn)定，此時閉環(huán)右極點數(shù)Z=N+P=1 + 1=2。 例5-6圖5-18是開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)的單位反饋控制系統(tǒng)的奈奎斯特圖，確定 在下列各種條件下系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極點數(shù)，并確定系 統(tǒng)的開環(huán)穩(wěn)定性和閉環(huán)穩(wěn)定性。 (1) G(s)在右半s平面有一個零點；(-1, j())點位于點人。 G(s)在右半s平面有一個零

46、點；(-1, jO)點位于點、B。 (3) G(s)在右半s平面沒有零點； (T, jO)點位于點A。 (-1, jO)點位于點B。 解：本題的解題步驟是①己知開環(huán)傳遞 函數(shù)在右半平面的零點數(shù)Zo,及完整的奈奎 斯特圖對原點的包圍圈數(shù)勺情況下，根據(jù) 奈奎斯特判據(jù)確定開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面 的極點數(shù)凡。②在己知開環(huán)傳遞函數(shù)在右半 平面的極點數(shù)P,及完整的奈奎斯特圖對 (-1, jO)點的包圍圈數(shù)N的情況下，根據(jù) (4) G(s)在右半s平面沒有零點； 奈奎斯特判據(jù)確定閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極點數(shù)Z。 （1） 己知Zo=l,No=-2,（奈奎斯特圖逆時針包圍原點兩

47、圈），所以Po=Zo-M=3,開環(huán) 系統(tǒng)有三個右極點，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。又知P=P°=3,N=Q（奈奎斯特圖順時針和逆時針各包 圍（-1, jO）點一圈，凈包圍（-1, jO）點零圈），Z=N、P=3,閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)有三 個右極點。 （2） 己知Z）=l, M=-2,所以Po=N）-M=3,開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。P=R）=3,沖=-2（奈奎 斯特圖逆時針包圍（T，j（））點兩圈），Z=N+P=1,閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)有一個右極點。 （3） 已知 Zo=O, No=-2,所以 P"-No=2,開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。P=Po=2, N=0, Z=N+P=2, 閉環(huán)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)有2個右極點

48、。 （4） 己知 Zo=O, M=-2,所以 R）=Zo-M=2,開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。P=P（）=2, N=-2, Z=N+P=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 例5-7 圖5-19是某單位正反饋系統(tǒng)的奈奎斯特圖，該圖與第一段 （刃=0到口 = oo）對應已知函數(shù)G（s）在右半s平面沒有任何零點或極點。試判斷閉環(huán)系 統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：為了畫出完整的奈奎斯特圖，必須確定G（s）的型，已知圖5-20是一G（s）的奈 奎斯特圖，G（s）的奈奎斯特圖是-G（s）的奈奎斯特圖繞原點逆時針轉(zhuǎn)180。。如圖5-21所 示。由于G（s）是最小相位系統(tǒng)，由圖5-20可見仞（0+） = -270°,表明該開環(huán)系統(tǒng)是

49、III型 系統(tǒng)（有三個積分環(huán)節(jié)），而°（oo+） = -45（T,可知開環(huán)傳遞函數(shù)分母比分子高5階。畫 （2）振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 其頻率特性 對數(shù)幅頻特性 G(‘)_ T0 +2&7X + 1 ()v § v 1 G(」初)-G(s) J- 2筍s(Dj + (l-T") 偵刃）=-20 lg J（l_ 疽』2）2 +4尸丁2 八 2 其漸近線為 (5.8) 0 Ta)<\ -401g(77y) Teo > 1 (5.9) 當 < 0.707 時，在 o)T = J1_28 處漸近線與實際幅頻特性曲線相差最大，為 201g 對數(shù)相頻特性 (p

50、(co) = -arctg 2&afT \-T2a)2 （3）不穩(wěn)定環(huán)節(jié)：不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 G(s) = 1 Ts-\ 其頻率特性 G(js) - G(s) \s=j(l)- Ta)._{ 對數(shù)幅頻特性 Ucd) = 20 lg ——— Vl + T2ey2 其漸近線為 [0 T(o<\ L (co)= < “ l-201g(T^) Tco>\ 半徑為無窮大，角度順時針轉(zhuǎn)過540。的圓弧?，F(xiàn)己知P=(),由圖5-21可知N=3,Z=N+P=3, 即閉環(huán)系統(tǒng)有三個右極點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例5-8假設某單位反饋的控制系統(tǒng)，只能用試驗法

51、測定其傳遞函數(shù)1/G(s)。圖5-22 是口 =()到口=8的1/G(5)奈奎斯特圖，如果函數(shù)1/GC?)在右半s平面沒有任何零點或 極點。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。 解：由1/G(s)曲線可見：當切=00寸伊(0) =0；當口 =+/時e(+oo) =180°, 表明開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)是()型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)分母比分了高2階。畫出完整的奈奎 斯特圖如圖5-23所示，用順時針無窮大圓弧連接正負頻率曲線(對應奈奎斯特路徑中無 窮大右半圓的映射)。 @5-23 圖 5-22 對逆奈奎斯特曲線而言，可用逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)來判穩(wěn)。已知開環(huán)右半平面無零 點，P=0,逆奈奎斯特

52、曲線順時針包圍(-1, jO)點2圈，即N=2,所以閉環(huán)在右半平面極 點數(shù)Z=N*P=2,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 若畫出l/KG(s)的曲線，調(diào)整K值，使得(-1, jO)點位于圖中A區(qū)，則N=0,閉環(huán) 系統(tǒng)穩(wěn)定。 例5-9己知多回路系統(tǒng)如圖5-24所示。 R(s (s)  圖 5-24 (1 )當K2=\時確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時Ki的取值范圍。 (2)當K=1時確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時路的取值范圍。 解：對外環(huán)而言，開環(huán)傳遞函數(shù)為： K （s + 2） G(y)= 1 + G2 (s)H(s) (s + 10)[s(s + 1)(5 + 2) + 5] 要應用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

53、首先要確定開環(huán)極點的分布，這里主要是要確定特征方程 △ = s(s + l)(s + 2) + 5 = 0 的根的位置?？梢圆捎靡韵滤姆N方法之一來解決: ②畫等效開環(huán)傳遞函數(shù)和布的根軌跡，確定K=5時根軌跡上的點; 5 ①勞斯判據(jù)； ③ 畫出內(nèi)環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)G/ = 的奈奎斯特圖來判斷； s(s + l)(s + 2) ~ 一39^2+ioo） P（CO）= ; ； o 廠"—~ （.4 一32?2 +50）2 +（25 -13刃2）2^2 K\（692 - 6）妒 ④ 可以通過畫出完整的奈奎斯特圖，根據(jù)其對原點的包圍情況來確定開環(huán)極點的分布。 用前三種方法確定開

54、環(huán)極點的分布后，還需畫出外環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特圖才能判 別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不過此時可以不考慮奈奎斯特路徑為無窮大部分的映射對原點的 包圍情況。而用第四種方法直接畫出完整的奈奎斯特圖，此法可同時確定開環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn) 定性和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時幻的取值范圍。這里采用第四種方法來作，將s =，湖弋入Q(s), 可得： 0口)一 (刃4 _32妒 +50尸 +(25 -13妒)2刃2 求與實軸的交點，令Q{co) = 0,解得69=0, P(0) =虹,P(g = -A 25 53 其次求與奈奎斯特路徑中無窮大右半圓對應的奈奎斯特圖，將s = Re'"代入Gk(5),其 中Rt oo,

55、0由生變化到一四；得 2 2 lim Gk (s) = lim —- = Oe~j3° 5 f 3 這表明與該路徑對應的奈奎斯特圖是連接GJ*。)和GJtr)的半徑為無窮小、角度為一 270。逆時針轉(zhuǎn)到270。的圓弧，如圖5-25中原點附近的小圓孤所示。 畫出完整的奈奎斯特圖如圖5-25所示。已知Gk(5)在右半平面零點數(shù)是0,由圖5-25 可知，完整的奈奎斯特圖對原點的包圍圈數(shù)為0,根據(jù)奈奎斯特判據(jù)知G,(5)在右半平面 極點數(shù)是0。同時由圖5-25可知，完整的奈奎斯特圖對(T ,j0)點的關系，知當一25

56、傳遞含函數(shù)為 G(5)二 0(s)](s)二 _ k 1 + G2 (s)H(s) (s + 10)[s(s + l)(s + 2) + 5K2 ] 在這種情況下，因為未知參數(shù)K2不是Gk (s)的增益系數(shù)，所以畫出色￡1的奈奎斯特圖 是無益的，所以不能直接使用奈奎斯特判據(jù)。不過仍然可以用奈奎斯特判據(jù)來解問題。 可以寫出整個系統(tǒng)的特征方程，即 s(s + 10)(s + 1)(s + 2) + s + 2 + 5K2(S + 10) = 0 為了得到一個以&作為相乘因子的等價的開環(huán)傳遞函數(shù)，可用不含K2的項除以上式的兩 邊，得到： 5K2(s + 10) "s(s + 1

57、0)(s + l)(s + 2) + s + 2 =° 因為上述方程是1 + G. *(s) = 0的形式，所以通過Gk * (s)的奈奎斯特圖可以分析特征方 程的根。但是，G/(s)的極點是未知的，因為Gk *(5)的分母不是因式分解的形式。為 了研究多項式s(s + 10)(s + l)(s + 2) + s + 2的零點，同樣可以采用前述的四種方法。這 里還是采用畫G.*(s)的完整的奈奎斯特圖的方法來解決。?9 =，湖弋入(^*(5),可得 5穹-3#-29必2+20) '，一(口4_32妒+2)2+(21-13妒)2￡ 5匕(矛+9跖？—2080 □ ‘㈣-(勿 4

58、_32 妒+2)2+(21-13 妒)2仃 求與實軸的交點，令Q*(口) = 0,解得口 = 0,々=77^6^ — 49 P*(0) = 25%/*(JJ2609 - 49) a -0.83K2 其次求與奈至斯特路徑中無窮大右半圓對應的奈奎斯特圖，將s = Re加代入G. * (s)其中 RT8,。由生變化到一生，得 2 2 lim G「(s) = lim ^-1 ? = 0e~J^ /?->oo R* $3 s=ReJ 這表明與該路徑對應的奈奎斯特圖是連接GJ*。)和G/r。)的半徑為無窮小，角度 從-270。逆時針轉(zhuǎn)到270。的圓弧，如圖5-26所示。 畫出完整的奈奎

59、斯特圖如圖5-26所示，己知G, *(5)在右半平面零點數(shù)是0,由圖 5-26可知，完整的奈奎斯特圖對原點的包圍圈數(shù)為0,根據(jù)奈奎斯特判據(jù)知*(s)在右 半平面極點數(shù)是0。同時，由圖5-26 4知完整的奈奎斯特對(T, jO)點的關系，可判 斷當-0.04VK2V1.2時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 G(s)= 心+牝+ 6) 52 +5s + 4 例5-10單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (1)用奈奎斯特判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件; (2)確定當K分別為2/3, 0.9, 1, 1.1, 1.25時閉環(huán)系統(tǒng)的極點。 解: (1) ?、K(s2+4s + 6) K(s +

60、2 + V^/)(s + 2— 扼/) 阪)=字+ 4 - (S + DG + 4) 可見G(s)是最小相位系統(tǒng)，且無虛軸上的開環(huán)極點，所以奈奎斯特路徑取最簡形式。 由于是正反饋系統(tǒng)，所以實際畫出的是-G(s)的奈奎斯特圖。將s = ./?湖弋入-G(s), 可得： P?) = K(6?+l(k?+24) (1 + 刃2)(16 + 口2) 加)=-樗" 求與實軸的交點，QO) = 0,解得口=0, 3=序,p(o)= K, P(Vi4) = -0.8/C P(s) = -K o 要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求P(0) = —―域P(應)=—0.8KV—1,即當k

61、 < - 2 3 或K > 1.25時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖5-27是當K = ().5和K = 15時的奈奎斯特圖。 (2)① 當K為2/3時，奈奎斯特圖如圖5-28所示。 此時P(0)= -1,即奈奎斯特圖正好穿過(T, jO)點一次，閉環(huán)系統(tǒng)應處于臨界穩(wěn) 定狀態(tài)，此時閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2(52 +4s + 6) 中(s) = , -- s~ +7s 閉環(huán)特征方程的根為E =0,，2 = —7。 ② 當K為0.9時奈奎斯特圖如圖5-29所示，此時奈奎斯特圖順時針包圍(-1, jO) 點一圈，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 圖 5-27 圖 5-28 ③ 當K為1時，奈奎斯特圖如圖

62、5-30,此時(-1, jO)點被順時針包圍一次，所以 這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。應當指出，這時的奈奎斯特圖既通過(-I, jO)點，又順時針方向包圍（-1, jO）點一次，所以它是一種特殊情況，這意味著該閉環(huán)系統(tǒng)是一種退化系統(tǒng), 系統(tǒng)的動態(tài)特性就像一個不穩(wěn)定的一階系統(tǒng)，該正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 木/、 52 + 4s + 6 52 + 4s + 6 中（s） = = r+5s + 4 — （s2+4s + 6） 5-2 ④ 當K為1.1時，奈奎斯特圖如圖5-31所示，此時奈奎斯特圖順時針包圍（-1, jO） 兩圈，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ⑤ 當K為1.25時，奈奎斯特圖如圖

63、5-32所示，此時奈奎斯特兩次通過（-1, jO） 點，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。該正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 中（⑶ 1.25 （孝 + 4s+ 6） 1.25（羅 +4s+6） @ + 5s+4 — 1.25 （s2 +4s+6） — 0.25（5s +14） 圖 5-29 圖 5-30 閉環(huán)特征方程的根為s = ±V14 j。 El 5-33 例5-11單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞 函數(shù)為G(s)=」d),用奈奎斯特判據(jù) s(s + 5) 確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。 解：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知G(s)是最小 相位系統(tǒng)，在虛軸上的原點處有開環(huán)極點， 并

64、且有虛軸上的開環(huán)零點，由于是判斷閉環(huán) 穩(wěn)定性，取奈奎斯特路徑如圖5-1所示，即 奈奎斯特路徑只需要繞過虛軸上的開環(huán)極 點，而不需繞過虛軸上的開環(huán)零點，這是因 為此時f(5) = 1 + G(s)，其零點表示閉環(huán)極 點。將5 = /(0代入G(s)。 可得： (25 +妒) 0 69(25+ 69~) 尸(0) = -&，00) = -3 P(1) = O,Q(1) = O P(8)= K,Q(8)= 0 畫出奈奎斯特圖如圖5-33所示。要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈奎斯特圖不得包圍(-1, jO)點, 所以當K>0時，系統(tǒng)穩(wěn)定。 當K<0閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，讀者可以自行討論此時的奈

65、奎斯特圖及閉環(huán)右極點數(shù)。 例5-12已知一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)=當 5-1 用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解： ?? 、 K K . a)K G(網(wǎng))= = o―- - J —―- jco-\ co~ +1 co~ +1 奈氏曲線是以點(-K/2,0)為圓心，K/2為半徑的圓，如圖5-34(a)所示 當刃=0 時， x=-K )=() x=() 當切一＞ oo 時 x=() y=0 圖 5-34 當K>1時，奈氏曲線逆時針包圍點(-1J0)半圈，開環(huán)傳遞函數(shù)右半平面有一個極點。 根據(jù)奈氏判據(jù)P=l,N = ?,Z = P — 2N = 0,系

66、統(tǒng)穩(wěn)定。當K<1時，奈氏曲線不包圍點 (-1J0),但有一個右極點。系統(tǒng)不穩(wěn)定，奈氏曲線分別如圖5-34(b), (c)所示。 -1 (c) 例5-13己知一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù) E G(s)= s + As+ B 用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解： g (/y)= (yy)2 + AB 一切2 + jAo). b (B一切2)+ jg A Eco E(B_ 擠) A Eco = 7 一 J 7 = X(69)4- jY(69) (B-co2)2 +(Aco)2 (8一 妒滬 +(A 口 尸 (1) 首先取刃=0,則 EB E X(^) = X(0) = —=- ")=y(o)= o (2)與虛軸交點，這時X(/) = 0,即 “、、 e(b5 X (刃)= ; —7 (B-co ) + A%。 故 這時與虛軸相交 co2 = B a> = Vfl Y而）= 些 =—結魚= [b-（Vb）2j2 + a2（Vb）2 a2b a4b （3）當時 E（B_a）2） hm X（Q = hm "NW" =0 S