數(shù)學(xué)第六章 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列及其前n項和 文 新人教A版

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1、6 6. .3 3等比數(shù)列及其前等比數(shù)列及其前n n項和項和 -2-知識梳理雙基自測21自測點評1.等比數(shù)列 (1)等比數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第項起,每一項與它的前一項的比等于,那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母表示.數(shù)學(xué)2 同一個常數(shù) 公比 q(q0) -3-知識梳理雙基自測21自測點評(2)等比中項如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中項a,G,b成等比數(shù)列.(3)等比數(shù)列的通項公式an=;可推廣為an=.(4)等比數(shù)列的前n項和公式G2=ab a1qn-1 amqn-m -4-知識梳理雙基自測自測點評212.等

2、比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)(1)若k+l=m+n(k,l,m,nN*),則akal=;若m+n=2k,則 (2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比數(shù)列,公比為.(3)若an,bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則aman qm -5-知識梳理雙基自測自測點評21當(dāng)q1,則a3=. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-11-知識梳理雙基自測自測點評1.等差數(shù)列的首項和公差可以為零,且等差中項唯一;而等比數(shù)列的首項和公比均不為零,等比中項可以有兩個值.2.在等比數(shù)列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判斷an為等比數(shù)列,還要驗證a10;若aman=apaq,則m+n

3、=p+q不一定成立,因為常數(shù)列也是等比數(shù)列,但若m+n=p+q,則有3.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時,若不能確定q與1的關(guān)系,則必須分q=1和q1兩種情況討論.-12-考點1考點2考點3考點4例1(1)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5等于()(2)(2017陜西咸陽二模)在等比數(shù)列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的兩根,則a5=()A.1B.-1C.1 D.3(3)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=.思考解決等比數(shù)列基本運算問題的常見思想方法有哪些? 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-13-考點1考點2

4、考點3考點4解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想:因為等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進行求和時,就要對參數(shù)是否為1進行分類求和.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時,常把qn或 當(dāng)成整體進行求解.-14-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1(1)(2017山西太原二模)已知公比q1的等比數(shù)列an的前n項和Sn,a1=1,S3=3a3,則S5=()(2)(2017安徽安慶二模)在等比數(shù)列an

5、中,a3-3a2=2,且5a4為12a3和2a5的等差中項,則an的公比等于()A.3B.2或3C.2D.6 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-15-考點1考點2考點3考點4例2已知數(shù)列an的前n項和Sn=1+an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項公式;思考判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法?-16-考點1考點2考點3考點4-17-考點1考點2考點3考點4解題心得1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列常用的方法(2)等比中項法,證明 =an-1an+1;(3)通項公式法,若數(shù)列通項公式可寫成an=cqn-1(c,q均是不為0的常數(shù),nN*),則an是等比數(shù)列.2.若判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列,

6、則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.-18-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2在數(shù)列an中,Sn為數(shù)列an的前n項和,且Sn=1+kan(k0,且k1).(1)求an;-19-考點1考點2考點3考點4-20-考點1考點2考點3考點4考向一等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用例3(1)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中,若a3a4a5=3,則sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值為()(2)在正項等比數(shù)列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,則n=.思考經(jīng)常用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)簡化解題過程? 答案 答案關(guān)閉 (1)B(2)14 -21-考點1考點

7、2考點3考點4-22-考點1考點2考點3考點4考向二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用例4設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=()A.31 B.32C.63 D.64思考本題應(yīng)用什么性質(zhì)求解比較簡便? 答案解析解析關(guān)閉S2=3,S4=15,由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),得S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故選C. 答案解析關(guān)閉C -23-考點1考點2考點3考點4解題心得1.在解答等比數(shù)列的有關(guān)問題時,為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列項的如下性質(zhì):(1)通項公式的推廣:an=amqn-

8、m;(2)等比中項的推廣與變形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對已知條件為等比數(shù)列的前幾項和,求其前多少項和的問題,應(yīng)用公比不為-1的等比數(shù)列前n項和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列比較簡便.-24-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3(1)已知在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a5a6=4,則數(shù)列l(wèi)og2an的前10項和為()A.5B.6C.10 D.12(2)已知等比數(shù)列an的首項a1=-1,其前n項和為Sn,若 ,則公比q=. 答案解析解析關(guān)閉 答案解析關(guān)閉-25-考點1考點2考點3考點4例5(2017全國,文17)已知

9、等差數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通項公式;(2)若T3=21,求S3.思考解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的?-26-考點1考點2考點3考點4解:設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.因此bn的通項公式為bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.當(dāng)q=-5時,由得d=8,則S3=21.當(dāng)q=4時,由得d=-1,則S3=-6.-

10、27-考點1考點2考點3考點4解題心得等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分運用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,合理調(diào)用相關(guān)知識,就不難解決這類問題.-28-考點1考點2考點3考點4對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4已知等差數(shù)列an滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由.解 (1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有(2+d)2=2(2+4d),化簡得d

11、2-4d=0,解得d=0或d=4.當(dāng)d=0時,an=2;當(dāng)d=4時,an=2+(n-1)4=4n-2,從而得數(shù)列an的通項公式為an=2或an=4n-2.-29-考點1考點2考點3考點4(2)當(dāng)an=2時,Sn=2n.顯然2n60n+800成立.當(dāng)an=4n-2時,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值為41.綜上,當(dāng)an=2時,不存在滿足題意的n;當(dāng)an=4n-2時,存在滿足題意的n,其最小值為41.-30-考點1考點2考點3考點41.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)

12、便可迎刃而解.2.判定等比數(shù)列的方法(1)定義法: (q是不為零的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列.(2)通項公式法:an=cqn-1(c,q均是不為零的常數(shù),nN*)an是等比數(shù)列.(3)等比中項法: =anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比數(shù)列.-31-考點1考點2考點3考點43.求解等比數(shù)列問題常用的數(shù)學(xué)思想(1)方程思想:如求等比數(shù)列中的基本量;(2)分類討論思想:如求和時要分q=1和q1兩種情況討論,判斷單調(diào)性時對a1與q分類討論.1.在等比數(shù)列中,易忽視每一項與公比都不為0.2.求等比數(shù)列的前n項和時,易忽略q=1這一特殊情形.-32-審題答題指導(dǎo)如何理解條件和轉(zhuǎn)化條

13、件典例在等差數(shù)列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)對任意mN*,將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的個數(shù)記為bm,求數(shù)列bm的前m項和Sm.審題要點(1)題干中已知條件有三個:“數(shù)列an是等差數(shù)列”和兩個等式;(2)第(2)問中所含條件可理解為:數(shù)列an的各項在所給區(qū)間的項數(shù)為bm;(3)第(2)問中條件的轉(zhuǎn)化方法:文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言,即求滿足9man92m的n的范圍.-33-解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,則5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)9=9n-8,即an=9n-8.-34-反思提升本題第(2)問設(shè)置了落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)構(gòu)成新數(shù)列,這是對考生數(shù)學(xué)能力的挑戰(zhàn),由通項公式及已知區(qū)間建立不等式求項數(shù),進而得到所求數(shù)列bm的通項公式是解答該問題的核心與關(guān)鍵.