【月考試卷】湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)2018屆高三月考試題（五）數(shù)學(xué)（文）試題Word版含答案

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1、 炎德·英才大聯(lián)考長(zhǎng)郡中學(xué)2018屆高三月考試卷（五） 數(shù)學(xué)（文科） 第Ⅰ卷 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的．） 1．已知為實(shí)數(shù)集，集合，則（ ） A． B． C． D． 2．若的平均數(shù)為3，標(biāo)準(zhǔn)差為4，且，，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（ ） A．-9 12 B．-9 36 C．3 36 D．-3 12 3．已知直角梯形中，，，，，，點(diǎn)在梯形內(nèi)，那么為鈍角的概率為（ ） A． B． C． D． 4．已知

2、復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．已知圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑的范圍是（ ） A． B． C． D． 6．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ） A． B． C． D．5 7．變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 8．函數(shù)的大致圖象是（ ） A． B． C． D． 9．已知定義在上的函數(shù)

3、，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ） A． B． C． 0 D． 11．在中，角的對(duì)邊分別為，且，則角的最大值是（ ） A． B． C． D． 12．設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)在雙曲線上，則使的面積為3的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ） A．4 B．3 C． 2 D．1 第Ⅱ卷 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．） 13．已知，，則與的

4、夾角的余弦值為 ． 14．是長(zhǎng)、寬、高分別為12，3，4的長(zhǎng)方體外接球表面上一動(dòng)點(diǎn)，則到長(zhǎng)方體各個(gè)面所在平面的距離的最大值是 ． 15．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，，使（為常?shù)）成立，則稱(chēng)函數(shù)在上的均值為．給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④．則其中滿足在其定義域上均值為2的函數(shù)是 ． 16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為 ． 三、解答題 （共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．） 17．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．

5、 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：． 18．如圖，已知是直角梯形，，，，，平面． （Ⅰ）上是否存在點(diǎn)使平面，若存在，指出的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅱ）證明：； （Ⅲ）若，求點(diǎn)到平面的距離． 19．博鰲亞洲論壇2015年會(huì)員大會(huì)于3月27日在海南博鰲舉辦，大會(huì)組織者對(duì)招募的100名服務(wù)志愿者培訓(xùn)后，組織一次知識(shí)競(jìng)賽，將所得成績(jī)制成如下頻率分布直方圖（假定每個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的成績(jī)均勻分布），組織者計(jì)劃對(duì)成績(jī)前20名的參賽者進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)． （Ⅰ）試求受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線； （Ⅱ）從受獎(jiǎng)勵(lì)的20人中利用分層抽樣抽取5人，再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取2人在主會(huì)

6、場(chǎng)服務(wù)，試求2人成績(jī)都在90分以上（含90分）的概率． 20．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是橢圓上的點(diǎn)，且，設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足． （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求三角形面積的最大值． 21．已知函數(shù)． （Ⅰ）若為的極值點(diǎn)，求的值； （Ⅱ）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍． （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，求的最大值． 請(qǐng)考生在（22）～（23）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，圓，圓． （Ⅰ）在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示）； （Ⅱ）求出與

7、的公共弦的參數(shù)方程． 23．選修4-5：不等式選講 已知函數(shù)， （Ⅰ）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）若關(guān)于的一次二次方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 試卷答案 一、選擇題 1-5:ADABA 6-10:BDBDA 11、12：AA 二、填空題 13． 14． 15． ③ 16． 三、解答題 17．【解析】（Ⅰ）∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)， ∴，． 又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上， 從而， 即． （Ⅱ）證明：由，，得， ， 則， 兩式相減得：， ∴， ∴， ∵，∴． 18．【解析】證明：當(dāng)為中

8、點(diǎn)時(shí)滿足題意 （Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連結(jié)． ∵，， ∴，且， ∴四邊形是平行四邊形， 即． ∵平面， ∴平面． ∵分別是的中點(diǎn)，∴， ∵平面， ∴平面． ∵， ∴平面平面． ∵平面， ∴平面． （Ⅱ）由已知易得，． ∵， ∴，即． 又∵平面，平面， ∴． ∵， ∴平面 ∵平面， ∴． （Ⅲ）由已知得，所以． 又，則，由得， ∵， ∴到平面的距離為． 19．【解析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，競(jìng)賽成績(jī)?cè)诜值娜藬?shù)為，競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，故受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線在之間，設(shè)受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線為，則，解得，故受獎(jiǎng)勵(lì)分?jǐn)?shù)線為86． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，受獎(jiǎng)勵(lì)的20人中

9、，分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為8，分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為12，利用分層抽樣，可知分?jǐn)?shù)在的抽取2人，分?jǐn)?shù)在的抽取3人，設(shè)分?jǐn)?shù)在的2人分別為，分?jǐn)?shù)在的3人分別為，所有的可能情況有，，，，，，，，，，滿足條件的情況有，，，所求的概率為． 20．【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，， 則由，得， 即，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上， 所以，， 故 ， 因?yàn)椋? 所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為． （Ⅱ）將曲線與直線聯(lián)立：，消得：， ∵直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)，， ∴，又∵，得， ，， ∴， ∵點(diǎn)到直線的距離， ∴ ，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足（*） ∴三角形面積的最大值為． 21．【解析】（Ⅰ），求導(dǎo)，， 由為的極值點(diǎn)，則，即，解

10、得：， 當(dāng)時(shí)，， 從而為函數(shù)的極值點(diǎn)，成立， ∴的值為0； （Ⅱ）在單調(diào)遞增，則， 則在區(qū)間上恒成立， ①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，故符合題意； ②當(dāng)時(shí)，由的定義域可知：， 若，則不滿足條件在區(qū)間上恒成立， 則， 則，對(duì)區(qū)間上恒成立， 令，其對(duì)稱(chēng)軸為， 由，則， 從而在區(qū)間上恒成立， 只需要即可， 由，解得：， 由，則， 綜上所述，的取值范圍為； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程，轉(zhuǎn)化成， 即，令， 則在上有解， 令，， 求導(dǎo)， 當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減； 在上的最大值為， 此時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，則的最大值為0． 22．【解析】（Ⅰ）由，， 得圓的極坐標(biāo)方程為， 圓，即的極坐標(biāo)方程為， 解，得：，， 故圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，． 注：極坐標(biāo)系下，點(diǎn)的表示不唯一． （Ⅱ）由，得圓的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，， 故的公共弦的參數(shù)方程為，． 23．【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以，即， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為； （Ⅱ）， 即， 所以不等式等價(jià)于 或或， 所以，或，或， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．