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1、第三節(jié)第三節(jié)由導數(shù)公式由導數(shù)公式()uvu vuv分部積分公式分部積分公式dduvxuvuvx或或ddu vuvv u1) v 要容易求得要容易求得; ;2)ddv uu v要要比比容易積出容易積出. .(d ):uvv 選選取取及及或或的的原原則則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分部積分法分部積分法 第四四章 ()uvuvu v例例1.1.求求lndx x 解解: : 原式原式lnxx d(ln )xx lnxxxClndxxx 1lndxxxxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.2.求求12221arccos(1)d(1)2xxxx arccosdxx 解解: :原式原式
2、=2arccos1xxxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2arccosd1xxxxx 思考思考: : arcsin xdx 求求 arccosarccosxxxdx 例例3.3.求求2222ln(1)1xxxdxx 2ln(1) dxx 解解: : 原式原式 =221ln(1)2 (1)1xxdxx 2ln(1)2(arctan )xxxxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22ln(1)ln(1)xxxdx 例例4.4.求求dsinxx cosdxxx 解解: : 原式原式sinxx sindxx sincosxxxC思考思考: :如何求如何求2sind ?xxx 提示提示: : 原
3、式原式2cosxx 2cosdxx x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2dcosxx 22coscosd()xxxx 例例5.5.求求21arctand()2xx 21arctan2xx arctandxxx 解解: : 原式原式21arctan2xx 221d21xxx 21arctan2xx 211(1)d21xx 21arctan2xx 1(arctan )2xxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21d(arctan )2xx 解題技巧解題技巧:的一般方法及選取vu把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積, ,按按“反對冪指三反對冪指三”的的順序順序, 前者為前者為
4、 后者為后者為u.v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反反: : 反三角函數(shù)反三角函數(shù)對對: : 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪冪: : 冪函數(shù)冪函數(shù)指指: : 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三三: : 三角函數(shù)三角函數(shù)例例6.6.求求sindxx e sinxex cosdxx e sindxexx 解解: 原式原式sinxex cosdxexx sinxex (cossind )xxexexx 故故 原式原式 =1(sincos )2xexxC說明說明: 也可設(shè)也可設(shè),xuev 為三角函數(shù)為三角函數(shù), ,但兩次所設(shè)類型但兩次所設(shè)類型必須一致必須一致. . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: : 求求c
5、osxexdx sincossindxxxexexexx 例例7 7 求積分求積分sin(ln )x dx 解解: dxx)sin(lnsin(ln )sin(ln )xxxdx 1sin(ln )cos(ln )xxxxdxx sin(ln )cos(ln )xxx dx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 思考思考: : cos(ln )x dx 求求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8.8.求求2sectansectandxxxxx 3secdx x 解解: : 原式原式sectanxdx 3sect
6、anln|sectan|secxxxxxdx Cxxxx|)tansec|lntan(sec21, 原式從而機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3sectansecsecxxxdxxdx思考思考: : 3csc xdx 求求sectantandsecxxxx 例例9.9.求求lncosdtanxx 2lncosdcosxxx 解解: :原式原式 =tanlncosxx 2tandxx tanlncosxx 2(sec1)dxx tanlncosxx tan xxC 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tanlncostand(lncos )xxxx 例例10.10.已知已知( )f x的一個原
7、函數(shù)是的一個原函數(shù)是cos,xx求求( )dx fxx 解解: :( )dxfxx d ( )xf x ( )x f x ( )df xx x cos xxcos xCxsin x cos2xCx 說明說明: :此題若先求出此題若先求出( )fx 再求積分反而復雜再求積分反而復雜.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )dxfxx 22sin2coscosdxxxxxx 例例1 11 1. . 求求dxex 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式分部積分公式dduvxuvuv x1. 使用原則使用原則:xvuvd易求出易求出,易積分易積分2. 使用經(jīng)驗使用經(jīng)驗: “反對冪指三反對冪指三” , 前前 u 后后v3. 題目類型題目類型:分部化簡分部化簡;循環(huán)解出循環(huán)解出;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束
高等數(shù)學：4-3 分部積分法
