高等數(shù)學期末復習：2-3n 高階導數(shù)

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1、1.高階導數(shù)的定義高階導數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 2.3 2.3 高階導數(shù)高階導數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導數(shù)階導數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱

2、為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)高階導數(shù).)(;)(,稱為一階導數(shù)稱為一階導數(shù)稱為零階導數(shù)稱為零階導數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf2. 高階導數(shù)求法舉例高階導數(shù)求法舉例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(

3、2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例3 3.),()(nxyRey求求設(shè)設(shè) 解解xey xnney )(xey 2例例4 4.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy 3)1(!

4、 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn例例5 5.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得例例6 6.),(sin)(naxybabxey求求為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè) 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2

5、sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 例例7 7).(, 0, 0, 0,1sin)(4xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解,1cos1sin4)(, 023xxxxxfx . 01sinlim)0()(lim)0(300 xxxfxffxx , 0, 0, 0,1cos1sin4)(23xxxxxxxf,1sin1cos61sin12)(, 02xxxxxxfx . 0)1cos1sin4(lim)0()(lim)0(200 xxxxxfxffxx3.高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則:則則階導數(shù)階導數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),

6、nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式例例8 8.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex常用高階導數(shù)公式常用高階導

7、數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx例例9 9.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例1010.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxx

8、xxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn例例11設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 解解)(xg可導可導)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 小結(jié)小結(jié)高階導數(shù)的定義及物理意義高階導數(shù)的定義及物理意義;高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則(萊

9、布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導數(shù)的求法階導數(shù)的求法;作業(yè)作業(yè) :習題習題2.3 1（2，3，4，5），），2，4，5，6，8一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)tetysin 則則y =_.=_.2 2、 設(shè)設(shè)xytan , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè)xxyarctan)1(2 ，則，則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)2xxey , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè))(2xfy , ,)(xf 存在，則存在，則y = =_. .6 6、 設(shè)設(shè)6)10()( xxf, ,則則)2(f =_.=_.7 7、 設(shè)設(shè)nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都

10、是常數(shù)都是常數(shù)) )，則，則)(ny= =_. .8 8、設(shè)、設(shè))()2)(1()(nxxxxxf , , 則則)()1(xfn = =_._.練練 習習 題題二、二、 求下列函數(shù)的二階導數(shù)：求下列函數(shù)的二階導數(shù)：1 1、 xxxy423 ；2 2、 xxylncos2 ；3 3、 )1ln(2xxy . .三、三、 試從試從ydydx 1，導出：，導出：1 1、 322)(yydyxd ；2 2、 6233)()(3yyyydyxd . .五五、驗驗證證函函數(shù)數(shù)xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是是常常數(shù)數(shù)） 滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式02 yy . .六六、 求求下下列列函函數(shù)

11、數(shù)的的 n n 階階導導數(shù)數(shù)： 1 1、xeyxcos ；2 2、 xxy 11；3 3、 2323 xxxy; ;4 4、 xxxy3sin2sinsin . .一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二、1 1、3258434 xx；2 2、22cos2sin2ln2cos2xxxxxx ；3 3、232)1(xx . .練習題答案練習題答案六、六、1 1、)4cos()2( nxexn ； 2 2、1)1(!2)1( nnxn； 3 3、)2(,)1(1)2(8!)1(11 nxxnnnn；4 4、)22sin(241 nxn + +)26sin(6)24sin(4 nxnxnn. .