高等數(shù)學(xué)：第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)

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1、1第四節(jié)第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)舉例二、高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)舉例三、小結(jié)、思考題、作業(yè)三、小結(jié)、思考題、作業(yè)2一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問(wèn)題問(wèn)題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè)d d則則瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度為為或或d d,svvst的變化率的變化率對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間是速度是速度加速度加速度tva或或 ()( )dvddsaasdtdt dt3定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfx

2、fxxfxxfxfxxfxfx 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 4記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydy

3、xf5二、二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).6例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !(

4、)1( nyn. 0 7例.,)43()32)(2()6(32yxxxy求求設(shè)設(shè) 解 分析此函數(shù)是6次多項(xiàng)式, 故不需將函數(shù)因式全乘出來(lái).因?yàn)?()3()2(532xpxxxy )(10856xpx )(5xp其中為x的5次多項(xiàng)式, 故!.6108)6( y又是求6階導(dǎo)數(shù),8例例4 4.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫(xiě)出寫(xiě)出n階

5、導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明)例例3 3.,)(nxyey求求設(shè)設(shè) 解解,xey ,xey ,xey .)()(xnxee 9例例5 5.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得10例例6 6.),(sin)(naxybabxey求求為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè) 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()

6、sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 112. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式12例例7 7.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22

7、xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex13例例8 8( )arctan ,(0).nyxy 設(shè)設(shè)求求解解21,1yx 2(1)( )(1)1)2(1)0,nnnxynxyn ny（(1)(1)0,(0)(1),nnxyn ny 令令遞遞推推關(guān)關(guān)系系！2(1)1,xy ,由由萊萊布布尼尼茲茲公公式式(0)0,(0)1,(0)0yyy由由及及遞遞推推關(guān)關(guān)系系得得：(2)(21)(0)0(1,2,3,),(0)( 1)

8、 (2)! (1,2,3,).mmmymymm 140( )xyyey x求求由由方方程程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)例例9 9xyx方方程程 兩兩邊邊同同時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于 求求導(dǎo)導(dǎo)得得( (注注意意 是是 的的函函數(shù)數(shù)) )，解：解：10,yx yy,1yyx 2(1)( 1)(1)yxyyx 22.(1)yx （1）法二：法二：(1)x兩兩端端同同時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于 求求導(dǎo)導(dǎo)得得: :10,yyx yy 21yyx 22.(1)yx 22.d ydx的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)yyx 注注意意 和和 都都是是 的的函函數(shù)數(shù)！15例例1010解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方

9、程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 ()()tttxddyddydddxddxddxdt16,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx22()d yddydxdx dx dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即( )()( )dtdxt ( )( )dydytdtdxdxtdt 173.3.間接法間接法: :常用高階

10、導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過(guò)四則通過(guò)四則1)(!)1()1( nnnxnx運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).18例例1111.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx

11、1)(!)1()1( nnnxnx19例例1212.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn( )(cos)cos()2nnkxkkx n 20三、小結(jié)三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法

12、.21設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思考題思考題22思考題解答思考題解答)(xg可導(dǎo)可導(dǎo))()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 23一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)tetysin 則則y =_.=_.2 2、 設(shè)設(shè)xytan , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè)xxyarctan)1(2 ，則，則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)2xxey

13、 , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè))(2xfy , ,)(xf 存在，則存在，則y = =_. .6 6、 設(shè)設(shè)6)10()( xxf, ,則則)2(f =_.=_.7 7、 設(shè)設(shè)nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常數(shù)都是常數(shù)) )，則，則)(ny= =_. .8 8、設(shè)、設(shè))()2)(1()(nxxxxxf , , 則則)()1(xfn = =_._.練練 習(xí)習(xí) 題題24二、二、 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：1 1、 xxxy423 ；2 2、 xxylncos2 ；3 3、 )1ln(2xxy . .三、三、 試從試從ydydx 1，

14、導(dǎo)出：，導(dǎo)出：1 1、 322)(yydyxd ；2 2、 6233)()(3yyyydyxd . .五五、驗(yàn)驗(yàn)證證函函數(shù)數(shù)xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是是常常數(shù)數(shù)） 滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式02 yy . .25六六、 求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的 n n 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)： 1 1、xeyxcos ；2 2、 xxy 11；3 3、 2323 xxxy; ;4 4、 xxxy3sin2sinsin . .26一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222x

15、fxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二、1 1、3258434 xx；2 2、22cos2sin2ln2cos2xxxxxx ；3 3、232)1(xx . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案27六、六、1 1、)4cos()2( nxexn ； 2 2、1)1(!2)1( nnxn； 3 3、)2(,)1(1)2(8!)1(11 nxxnnnn；4 4、)22sin(241 nxn + +)26sin(6)24sin(4 nxnxnn . .28本次課作業(yè)：本次課作業(yè)：A. 作業(yè)作業(yè)12 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)B. 課后練習(xí)：課本習(xí)題課后練習(xí)：課本習(xí)題2-4(P.100-101)1（1，5，6）；）；2（1，2，4）；）；4；5（1，4）；）；7（3，4）；）；8；9（2，4）.C. 思考題：思考題：3；10.