新編高考數(shù)學復習 專題5.3 專題突破 高考中的概率與統(tǒng)計問題全國高考數(shù)學考前復習大串講

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1、 題型一　古典概型與幾何概型 例1　(1)(20xx·陜西變式)設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為________． 【答案】?。? 【解析】　由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足y≥x的部分為如圖陰影所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為： P＝＝＝－. (2)有9張卡片分別寫著數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9，甲、乙二人依次從中抽取一張卡片(不放回)，試求： ①甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率； ②甲、乙二人至少抽到一張寫有奇數(shù)數(shù)字卡片

2、的概率． 【解析】 【思維升華】幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗結果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長度、面積、體積等，解決幾何概型的關鍵是找準幾何測度；古典概型是命題的重點，對于較復雜的基本事件空間，列舉時要按照一定的規(guī)律進行，做到不重不漏． 【跟蹤訓練1】　(1)為了豐富學生的課余生活，促進校園文化建設，我校高二年級通過預賽選出了6個班(含甲、乙)進行經(jīng)典美文誦讀比賽決賽．決賽通過隨機抽簽方式?jīng)Q定出場順序．求： ①甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率； ②決賽中甲、乙兩班之間的班級數(shù)記為X，求X的概率分布和均值． 【解析】 隨機變量X的概率分布為 X 0

3、1 2 3 4 P 因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. (2)已知關于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.設點(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間1，＋∞)上是增函數(shù)的概率． 解　∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為直線x＝， 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間1，＋∞)上為增函數(shù)， 當且僅當a>0且≤1，即2b≤a. 依條件可知事件的全部結果所構成的區(qū)域為 ，構成所求事件的區(qū)域為三角形部分(圖略)． 所求概率區(qū)間應滿足2b≤a. 由得交點坐標為(，)， 故所求事件的概率為P＝＝. 題型二　求

4、離散型隨機變量的均值與方差 例2　(20xx·四川)某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓．由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊． (1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率； (2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數(shù)，求X的概率分布和均值． 【解析】 (2)根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的概率分布為 X 1 2

5、 3 P 因此，X的均值為 E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. 【思維升華】離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其概率分布然后代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應． 【跟蹤訓練2】　受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎

6、車中各隨機抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下： 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn)故障時間x (年) 02 02 轎車數(shù)量(輛) 2 3 45 5 45 每輛利潤(萬元) 1 2 3 1.8 2.9 將頻率視為概率，解答下列問題： (1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； (2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的概率分布； (3)該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從

7、經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由． 【解析】　(1)設“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝＝. (2)依題意得，X1的概率分布為 X1 1 2 3 P X2的概率分布為 X2 1.8 2.9 P (3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3× ＝＝2.86(萬元)， E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(萬元)． 因為E(X1)>E(X2)，所以應生產(chǎn)甲品牌轎車． 題型三　概率與統(tǒng)計的綜合應用 例3　經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，

8、每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤． (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求T的均值．

9、 (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的概率分布為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 【思維升華】概率與統(tǒng)計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他知識融合、滲透，情境新

10、穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性． 【跟蹤訓練3】　如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示． (1)如果X＝8，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差； (2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的概率分布和均值． (注：方差s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù)) 同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝. 所以隨機變量Y的概率分布為 Y 17 18 19 20 21 P E(Y)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org