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1、
第14練 函數(shù)模型及其應(yīng)用
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)函數(shù)模型應(yīng)用;(2)審題及建模能力培養(yǎng).
訓(xùn)練題型
函數(shù)應(yīng)用題.
解題策略
(1)抓住變量間的關(guān)系,準(zhǔn)確建立函數(shù)模型;(2)常見函數(shù)模型:一次函數(shù)、二次函數(shù)模型;指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型;y=ax+型函數(shù)模型.
1.為了保護環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟,某單位在國家科研部門的支持下,進行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為:
y=x2-200x+80 000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的
2、化工產(chǎn)品價值為100元.
該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損?
2.某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=-48x+8 000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸.
(1)求年產(chǎn)量為多少噸時,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?
3.(20xx·濰坊檢測)在扶貧活動中,為了盡快脫貧(無債務(wù))致富,企業(yè)甲將
3、經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營的利潤中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息).在甲提供的資料中:①這種消費品的進價為每件14元;②該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關(guān)系如圖所示;③每月需各種開支2 000元.
(1)當(dāng)商品的價格為每件多少元時,月利潤扣除職工最低生活費的余額最大?并求最大余額;
(2)企業(yè)乙只依靠該店,最早可望在幾年后脫貧?
4.某公司研制出了一種新產(chǎn)品,試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售,并且價格根據(jù)銷售情況不斷
4、進行調(diào)整,結(jié)果40天內(nèi)全部銷完.公司對銷售及銷售利潤進行了調(diào)研,結(jié)果如圖所示,其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系,圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系.
(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時間t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時間t的關(guān)系;
(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元?若有,請說明是上市后的第幾天;若沒有,請說明理由.
5.(20xx·江蘇)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,
5、記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=(其中a,b為常數(shù))模型.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標(biāo)為t.
①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;
②當(dāng)t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度.
答案精析
1.解 設(shè)該單位每月獲利為S元,
則S=100x-
6、y=100x-
=-x2+300x-80 000
=-(x-300)2-35 000,
因為400≤x≤600,
所以當(dāng)x=400時,S有最大值-40 000.
故該單位不獲利,需要國家每月至少補貼40 000元,才能不虧損.
2.解 (1)每噸平均成本為(萬元).
則=+-48≥2 -48=32,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=200時取等號.
∴當(dāng)年產(chǎn)量為200噸時,每噸產(chǎn)品的平均成本最低為32萬元.
(2)設(shè)當(dāng)年獲得總利潤為R(x)萬元,
則R(x)=40x-y=40x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-(x-220)2+1 680(0≤x≤210).
∵R(x)在
7、[0,210]上是增函數(shù),
∴當(dāng)x=210時,R(x)有最大值為-(210-220)2+1 680=1 660.
∴當(dāng)年產(chǎn)量為210噸時,可獲得最大利潤1 660萬元.
3.解 設(shè)該店月利潤余額為L,
則由題設(shè)得L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,①
由銷量圖易得Q=
代入①式得
L=
(1)當(dāng)14≤P≤20時,Lmax=450元,此時P=19.5元;
當(dāng)20
8、20年后脫貧.
4.解 (1)圖①是兩條線段,由一次函數(shù)及待定系數(shù)法,
得f(t)=
圖②是一個二次函數(shù)的部分圖象,
故g(t)=-t2+6t(0≤t≤40).
(2)每件樣品的銷售利潤h(t)與上市時間t的關(guān)系為h(t)=
故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和F(t)與上市時間t的關(guān)系為
F(t)=
當(dāng)0≤t≤20時,F(xiàn)(t)=3t=-t3+24t2,
∴F′(t)=-t2+48t=t≥0,
∴F(t)在[0,20]上是增函數(shù),
∴F(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)=6 000<6 300.
當(dāng)20
9、t+2 100=0,
解得t=(舍去)或t=30.
當(dāng)300,g(t)是增函數(shù).
從而,當(dāng)t=10時,函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,
所以g(t)min=300,此時f(t)min=15.
答 當(dāng)t=10時,公路l的長度最短,最短長度為15千米.