新版高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題3 突破點(diǎn)6 古典概型與幾何概型 Word版含答案

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1、 1

2、 1 突破點(diǎn)6　古典概型與幾何概型 [核心知識(shí)提煉] 提煉1 古典概型問題的求解技巧 (1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時(shí)，往往把事件發(fā)生的所有結(jié)果逐一列舉出來，然后進(jìn)行求解． (2)畫樹狀圖：涉及一些特殊古典概型問題時(shí)，直接列舉容易出錯(cuò)，通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結(jié)果不重、不漏． (3)逆向思維：對(duì)于較復(fù)雜的古典概型問題，若直接求

3、解比較困難，可利用逆向思維，先求其對(duì)立事件的概率，進(jìn)而可得所求事件的概率． (4)活用對(duì)稱：對(duì)于一些具有一定對(duì)稱性的古典概型問題，通過列舉基本事件個(gè)數(shù)結(jié)合古典概型的概率公式來處理反而比較復(fù)雜，利用對(duì)稱思維，可以快速解決. 提煉2 幾何度量法求解幾何概型 準(zhǔn)確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關(guān)鍵，常見的幾何度量涉及的測(cè)度主要包括長(zhǎng)度、面積、體積、角度等. 提煉3 求概率的兩種常用方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (2)若一個(gè)較復(fù)雜的事件的對(duì)立面的分類較少，可考慮利用對(duì)立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”

4、型事件的概率． [高考真題回訪] 回訪1　古典概型 1．(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.　　　 B．　　　 C.　　　 D． D　[從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝. 故選D.] 2．(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不

5、在同一花壇的概率是(　　) A.　　 　 B.　　 　 C.　　 　 D. C　[從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝＝，故選C.] 3.(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語(yǔ)文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________． 　[兩本不同的數(shù)學(xué)書用a1，a2表示，語(yǔ)文書用b表示，則Ω＝{(a1，a2，b)

6、，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b， a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是兩本數(shù)學(xué)書相鄰的情況有4種，故所求概率為＝.] 回訪2　幾何概型 4．(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)如圖6-1，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) 圖6-1 A. B. C. D. B　[不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝S圓＝，

7、所以由幾何概型知所求概率P＝＝＝. 故選B.] 5．(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. B　[如圖，若該行人在時(shí)間段AB的某一時(shí)刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長(zhǎng)度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝，故選B.] 熱點(diǎn)題型1　古典概型 題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等，求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉基本事件，難度

8、較?。? 【例1】　(1)一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)白球與2個(gè)黑球，先從袋中任意取出一個(gè)球，取出后不放回，然后從袋中任意取出一個(gè)球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為(　　) A.　　　　　　　 B． C. D. (2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024067】 A. B. C. D. (1)B　(2)A　[(1)設(shè)3個(gè)白球分別為a1，a2，a3,2個(gè)黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個(gè)球的所有可能結(jié)果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，

9、(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種． 其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6種，故所求概率為＝.故選B. (2)記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”． 因?yàn)閒(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2b

10、x＋1. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 又a>0，所以Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥. 所以當(dāng)b＝1時(shí)，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4個(gè)數(shù)； 當(dāng)b＝2時(shí)，有a≥，故a可取2,3,4，共3個(gè)數(shù)； 當(dāng)b＝3時(shí)，有a≥3，故a可取3,4，共2個(gè)數(shù)； 當(dāng)b＝4時(shí)，有a≥，故a無可取值． 綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)． 又a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有4×4＝16(種)． 故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A.] [方法指津] 利用古典概型求事件概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn) 1

11、．關(guān)鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)． 2．注意點(diǎn)：(1)對(duì)于較復(fù)雜的題目，列出事件數(shù)時(shí)要正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏． (2)當(dāng)直接求解有困難時(shí)，可考慮求其對(duì)立事件的概率． [變式訓(xùn)練1]　(20xx·南京二模)某校有三個(gè)興趣小組，甲、乙兩名學(xué)生每人選擇其中一個(gè)參加，且每人參加每個(gè)興趣小組的可能性相同，則甲、乙不在同一個(gè)興趣小組的概率為________． 　[設(shè)三個(gè)興趣小組分別為a，b，c，則甲、乙兩名學(xué)生選擇興趣小組的可能結(jié)果有(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，共9種．其中甲、乙不在同一個(gè)

12、興趣小組的結(jié)果有6種，故所求概率為P＝＝.] 熱點(diǎn)題型2　幾何概型 題型分析：高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型．求解幾何概型的關(guān)鍵是計(jì)算線段的長(zhǎng)度、平面圖形的面積等，難度較?。? 【例2】(1)(20xx·廣州二模)在區(qū)間[－1,5]上隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則方程x2－2ax＋4a－3＝0有兩個(gè)正根的概率為(　　) A. B. C. D. (2)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________．(用數(shù)字作答) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024068】(1

13、)C　(2)　[(1)因?yàn)榉匠蘹2－2ax＋4a－3＝0有兩個(gè)正根，所以解得＜a≤1或a≥3，所以所求概率P＝＝，故選C. (2)設(shè)小張和小王到校的時(shí)間分別為x和y， 則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示． 故所求概率P＝＝.] [方法指津] 判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 1．當(dāng)題干涉及兩個(gè)變量問題時(shí)，一般與面積有關(guān)． 2．當(dāng)題干涉及一個(gè)變量問題時(shí)，要看變量可以等可能到達(dá)的區(qū)域：若變量在線段上移動(dòng)，則幾何度量是長(zhǎng)度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動(dòng)，則幾何度量是面積(體積)． 提醒：數(shù)形結(jié)合是解決幾何概型問題的常用方法，求解時(shí)，畫圖務(wù)必準(zhǔn)確、直觀． [變式訓(xùn)練2]　如圖6-2，圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為(　　) 圖6-2 A．100　　　　　　 B．200 C．400 D．450 C　[如圖，設(shè)OA與圓C相切于點(diǎn)D，連接OC，CD，∠AOB＝，則∠COD＝， 設(shè)圓C的半徑為1，可得OC＝2，所以扇形的半徑為3， 由幾何概型可得點(diǎn)在圓C內(nèi)的概率為P＝＝＝，故向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)為×600＝400.]