新編高考數(shù)學復習：第二章 ：第四節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù)突破熱點題型

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第四節(jié)　二次函數(shù)與冪函數(shù) 考點一 冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) 　 [例1]　(1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　) (2)當0＜x＜1時，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小關(guān)系是________． [自主解答]　(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα， ∵冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(4,2)， ∴2＝4α，解得α＝. ∴y＝，其定義域為[0，＋∞)，且是增函數(shù)， 當0＜x＜1時，其圖象在直線y＝x的上方，對照選項，故選C. (2)如圖所示為函數(shù)f(x)，g(x)，h(x

2、)在(0,1)上的圖象，由此可知h(x)＞g(x)＞f(x)． [答案]　(1)C　(2)h(x)＞g(x)＞f(x) 【方法規(guī)律】 冪函數(shù)的圖象特征 (1)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域．根據(jù)α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定． (2)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較． 冪函數(shù)y＝xm2－2m－3(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為　　(　　) A．－1

3、：選C　從圖象上看，由于圖象不過原點，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1

4、探究】 在本例條件下，若f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍． 解：f(x)＞x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為x2＋x＋1＞k在[－3，－1]上恒成立． 設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，[來源:] 則g(x)在[－3，－1]上遞減． ∴g(x)min＝g(－1)＝1. ∴k＜1，即k的取值范圍為(－∞，1)．　　　　 【方法規(guī)律】[來源:] 二次函數(shù)解析式的求法 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下： (1)已知三個點坐標，宜選用一般式； (2)已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式

5、； (3)已知圖象與x軸兩交點坐標，宜選用兩根式． 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.求此二次函數(shù)的解析式． 解：依題意，知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0. 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)有最大值ymax＝8，即－＝8， 解得a＝－4. 故函數(shù)解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 高頻考點 考點三 二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用　　 1．高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進行單獨考查的頻率較低，且多以選擇題形式出現(xiàn)，難度偏大，屬中高檔題．

6、 2．高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查主要有以下幾個命題角度： (1)二次函數(shù)圖象的識別問題； (2)二次函數(shù)的最值問題； (3)二次函數(shù)圖象與其他圖象有公共點問題． [例3]　(1)(2014·鄭州模擬)設(shè)abc＞0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)[來源:] (2)(2013·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小

7、值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝(　　) A．a(chǎn)2－2a－16 B．a(chǎn)2＋2a－16 C．－16 D．16 (3)(2012·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是(　　)[來源:] A．x1＋x2>0，y1＋y2>0 B．x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．x1＋x2<0，y1＋y2>0 D．x1＋x2<0，y1＋y2<0 [自主解答]　(1)A項，∵a＜0，－＜0，∴b＜0. 又∵abc＞0，∴c＞0，由圖

8、知f(0)＝c＜0，故A錯； B項，∵a＜0，－＞0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＜0，而f(0)＝c＞0，故B錯； C項，∵a＞0，－＜0，∴b＞0，又∵abc＞0，∴c＞0，而f(0)＝c＜0，故C錯； D項，∵a＞0，－＞0，∴b＜0，又∵abc＞0，∴c＜0，由圖知f(0)＝c＜0，故選D. (2)f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)與g(x)的圖象如圖． 由圖及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值為g(a－2)，A－B＝f

9、(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)(a－2)＋a2－8＝－16. (3)由題意知滿足條件的兩函數(shù)圖象如圖所示， 作B關(guān)于原點的對稱點B′(x2′，y2′)，所以x2＋x2′＝0，y2＋y2′＝0，由圖可知，x1＞x2′，y1

10、解． (3)與其他圖象的公共點問題．解決此類問題的關(guān)鍵是正確作出二次函數(shù)及題目所涉及的相應(yīng)函數(shù)的圖象，要注意其相對位置關(guān)系． 1．函數(shù)y＝ax2＋a與y＝(a≠0)在同一坐標系中的圖象可能是(　　) 解析：選D　當a＞0時，二次函數(shù)y＝ax2＋a的圖象開口向上，且對稱軸為x＝0，頂點坐標為(0，a)，故排除A，C；當a＜0時，二次函數(shù)y＝ax2＋a的圖象開口向下，且對稱軸為x＝0，頂點坐標為(0，a)，函數(shù)y＝的圖象在第二、四象限，故排除B，選D. 2.(2014·舟山模擬)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)

11、論： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正確的是(　　) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 解析：選B　因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確；對稱軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯誤；結(jié)合圖象，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤；由對稱軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確． ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個注意點——二次函數(shù)的二次項系數(shù) 　在研究

12、二次函數(shù)時，要注意二次項系數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響，往往需要對二次項系數(shù)分大于零與小于零兩種情況討論． 2個條件——一元二次不等式恒成立的條件 　(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要條件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要條件是 2種方法——二次函數(shù)圖象對稱軸的判斷方法 　(1)對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱． (2)對于二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a為常數(shù))． 3種形式——二次函數(shù)表達式的三種形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)頂點式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，頂點坐標為(－h(huán)，k))． (3)兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標).