新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題4.4 專題突破 高考中的圓錐曲線問(wèn)題全國(guó)高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講

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1、 1

2、 1 題型一　求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1　(20xx·天津變式)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為________. 【答案】　x2－＝1 【思維升華】　求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程. 【跟蹤訓(xùn)練1】

3、　(20xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為， F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求E的方程； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程. 【解析】 (1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝. 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1. 故E的方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意， 故設(shè)l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將y＝kx－2代入＋y2＝1得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時(shí)，

4、 x1,2＝. 從而PQ＝|x1－x2|＝. 題型二　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 例2　(1)(20xx·湖南變式)若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為________. A. B. C. D. (2)已知雙曲線C：－＝1 (a>0，b>0)，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線y＝2x＋m (m≠0)與雙曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為________. 【答案】　(1)　(2) 【解析】　 (1)由條件知y＝－x過(guò)點(diǎn)(3，－4)，∴＝4， 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2， ∴25a2＝9c2，∴e＝

5、. (2)由雙曲線的方程可知：漸近線方程為y＝±x. ∵經(jīng)過(guò)P的直線y＝2x＋m (m≠0)與雙曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴此直線與漸近線y＝x平行，∴＝2. ∴e＝＝ ＝. 【思維升華】　圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力. 【跟蹤訓(xùn)練2】　(20xx·北京)已知橢圓C：x2＋2y2＝4. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y＝2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2＋y2＝2的位置關(guān)系，

6、并證明你的結(jié)論. 【解析】　 故d＝ ＝ ＝. 此時(shí)直線AB與圓x2＋y2＝2相切. 綜上，直線AB與圓x2＋y2＝2相切. 題型三　最值問(wèn)題 例3　設(shè)橢圓M：＋＝1 (a>b>0)的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn). (1)求橢圓M的方程； (2)求證：AB＝； (3)設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求AB＋CD的最小值. (3)解　過(guò)右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，同理可得 CD＝＝， 所以AB＋CD＝＋ ＝. 因?yàn)閟in 2θ∈0,1]，所以當(dāng)且僅當(dāng)sin 2θ＝1時(shí)，

7、 AB＋CD有最小值是8. 【思維升華】　圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過(guò)建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值. 【跟蹤訓(xùn)練3】　(20xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A(0，6).當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為________. 【答案】　12 【解析】　設(shè)左焦點(diǎn)為F1，PF－PF1＝2a＝2， ∴PF＝2＋PF1，△APF的周長(zhǎng)為AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，

8、△APF周長(zhǎng)最小即為AP＋PF1最小，當(dāng)A、P、F1三點(diǎn)共線時(shí)最小，過(guò)AF1的直線方程為＋＝1.與x2－＝1聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，此時(shí)S＝S△AF1F－S△F1PF＝12. 題型四　定值、定點(diǎn)問(wèn)題 例4　(20xx·課標(biāo)全國(guó) Ⅱ)已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M. (1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值； (2)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由. 【解析】 【思維升華】　求定點(diǎn)及定值問(wèn)題常見的方法有

9、兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān). (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值. 【跟蹤訓(xùn)練4】　橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝ ，a＋b＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖所示，A、B、D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值. 【解析】 題型五　探索性問(wèn)題 例5　(20xx·廣東)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo)； (2)

10、求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程； (3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由. 【解析】　 (3)由題意知直線L表示過(guò)定點(diǎn)(4,0)，斜率為k的直線，把直線L的方程代入軌跡C的方程x2－3x＋y2＝0，其中

11、2＝0， 解得x＝∈，∴k＝±滿足條件. 當(dāng)Δ>0時(shí)， 【思維升華】　 (1)探索性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在. (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法. 【跟蹤訓(xùn)練5】　 (20xx·湖南)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C1：－＝1(a1>0，b1>0)和橢圓C2：＋＝1(a2>b2>0)均過(guò)點(diǎn)P(，1)，且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積

12、為2的正方形. (1)求C1，C2的方程； (2)是否存在直線l，使得l與C1交于A，B兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，且|＋|＝||？證明你的結(jié)論. 【解析】　 (1)設(shè)C2的焦距為2c2，由題意知，2c2＝2,2a1＝2. 從而a1＝1，c2＝1. 因?yàn)辄c(diǎn)P(，1)在雙曲線x2－＝1上， 所以()2－＝1.故b＝3. 由橢圓的定義知 2a2＝ ＋ ＝2. 于是a2＝，b＝a－c＝2. 故C1，C2的方程分別為 x2－＝1，＋＝1. 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝. 由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 因?yàn)橹本€l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化簡(jiǎn)，得2k2＝m2－3， 因此·＝x1x2＋y1y2 ＝＋＝≠0， 于是2＋2＋2·≠2＋2－2·， 即|＋|2≠|(zhì)－|2， 故|＋|≠|(zhì)|. 綜合①②可知，不存在符合題設(shè)條件的直線. 歡迎訪問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org