新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題1.4 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題突破 全國(guó)高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講

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1、 專題一 高考中函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 題型一　分段函數(shù)求值問題 【例1】　設(shè)f(x)＝ 且f(1)＝6，則f(f(－2))的值為________. 【思維啟迪】　首先根據(jù)f(1)＝6求出t的取值，從而確定函數(shù)解析式，然后由里到外逐層求解f(f(－2))的值，并利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律求出函數(shù)值. 【答案】　12 【思維升華】　本題的難點(diǎn)有兩個(gè)，一是準(zhǔn)確理解分段函數(shù)的定義，自變量在不同取值范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)著不同的函數(shù)解析式；二是對(duì)數(shù)與指數(shù)的綜合運(yùn)算問題.解決此類問題的關(guān)鍵是要根據(jù)分段函數(shù)的定義，求解函數(shù)值時(shí)要先判斷自變量的取值區(qū)間，然后再代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值，

2、在求值過程中靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值. 【跟蹤訓(xùn)練】已知f(x)＝則f＋f的值等于________. 【答案】　3 【解析】　f＝，f＝f＋1＝f＋2＝，f＋f＝3. 題型二　函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用 【例2】　已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)f(x)＝2x－x2. (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式并畫出其大致圖象； (2)若當(dāng)x∈a，b]時(shí)，f(x)∈.若0

3、)＝x2＋2x， ∴f(x)＝， f(x)的大致圖象如下： ∴a＝1，b＝. ③0

4、.若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)＋f()≤2f(1)，則a的取值范圍是________. 【答案】　(1)(－，0)　(2) 【解析】　(1)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示. 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－x＝(x－)2－≥－， 所以要使方程f(x)＝m有三個(gè)不同的實(shí)根， 則－

5、k的范圍. 【思維啟迪】　對(duì)于恒成立問題，若能轉(zhuǎn)化為a>f(x) (或a0時(shí)，g(x)在2,3]上為增函數(shù)， 故即解得 當(dāng)a<0時(shí)，g(x)在2,3]上為減函數(shù)， 故即解得 因?yàn)閎<1，所以a＝1，b＝0. (2)方程f(2x)－k·2x≥0化為2x＋－2≥k·2x， 即1＋()2－≥k.令＝t，則k≤t2－2t＋1， 因?yàn)閤∈－1,

6、1]，所以t∈，2]，記φ(t)＝t2－2t＋1， 所以φ(1)min＝0，所以k≤0. 【思維升華】　解決二次函數(shù)最值的關(guān)鍵是抓住圖象的開口方向、對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置；不等式恒成立問題關(guān)鍵是看不等式的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，如二次不等式恒成立問題可運(yùn)用圖象、分離變量運(yùn)用函數(shù)值域法等；已知含參數(shù)的方程的解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)根據(jù)方程的特點(diǎn)，可運(yùn)用函數(shù)的圖象處理. 【跟蹤訓(xùn)練】　定義在R上的增函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1)求f(0)； (2)求證：f(x)為奇函數(shù)； (3)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0對(duì)任意x∈

7、R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【解析】 當(dāng)≥0即k≥－1時(shí)，對(duì)任意t>0，f(t)>0恒成立? 解得－1≤k<－1＋2. 綜上所述，當(dāng)k<－1＋2時(shí)，f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0對(duì)任意x∈R恒成立. 題型四　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 【例4】　據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)，發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方 向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線 段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分 的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路線s(km). (1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式

8、表示出來； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km.試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由. 思維啟迪　本題用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型來考查生活中的行程問題，要分析出每段的速度隨時(shí)間的關(guān)系式，再求距離. 【解析】(1)由圖象可知： 當(dāng)t＝4時(shí)，v＝3×4＝12， ∴s＝×4×12＝24. (2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s＝·t·3t＝t2； 當(dāng)10

9、＝－t2＋70t－550. 綜上可知s＝ 所以沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城. 【思維升華】　 (1)在實(shí)際問題中，有很多問題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)，構(gòu)建一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的圖象與單調(diào)性求解. (2)有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問題、利潤(rùn)問題、產(chǎn)量問題等.構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決. (3)在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問題時(shí)，一定要注意定義域. 【跟蹤訓(xùn)練】 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地 平面，單位長(zhǎng)度為1千米，

10、某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的 軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射 方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo). (1)求炮的最大射程. (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由. 【解析】 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0， 由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0， 故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào). 所以炮的最大射程為10千米. (2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)?存在k>0， 使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?關(guān)于

11、k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6. 所以當(dāng)a不超過6千米時(shí)，可擊中目標(biāo). 專題二 高考中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的問題 題型一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì) 【例1】　(20xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時(shí)，求a的取值范圍． 【思維升華】　利用導(dǎo)數(shù)主要研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值．已知f(x)的單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題；含參函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)題型，解此類題

12、的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與給定區(qū)間位置關(guān)系的討論，此時(shí)要注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行分析． 【跟蹤訓(xùn)練】　已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍． 題型二　利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題 【例2】　已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)證明：對(duì)一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)n x>－成立． 【解析】 (1)　?x∈(0，＋∞)，有2xln

13、 x≥－x2＋ax－3，則a≤2ln x＋x＋， 設(shè)h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)， 則h′(x)＝， ①當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減， 【思維升華】　 (1)恒成立問題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問題進(jìn)行求解，若不能分離參數(shù)，可以將參數(shù)看成常數(shù)直接求解． (2)證明不等式，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題． 【跟蹤訓(xùn)練】　已知函數(shù)f(x)＝＋，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)證明：當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f(x) >. 【解析】 (1)　f′(x)＝－. 由于直線x＋2y－3

14、＝0的斜率為－，且過點(diǎn)(1,1)， 故即 解得a＝1，b＝1. (2)證明　由(1)知f(x)＝＋， 所以f(x)－＝. 考慮函數(shù)h(x)＝2ln x－ (x>0)， 則h′(x)＝－＝－. 所以當(dāng)x≠1時(shí)，h′(x)<0.而h(1)＝0，故當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)>0，可得h(x)>0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0，可得h(x)>0. 從而當(dāng)x>0，且x≠1時(shí)，f(x)－>0. 即f(x)>. 題型三　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)問題 【例3】　設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)當(dāng)m＝e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，f(x)的極小值； (2)

15、討論函數(shù)g(x)＝f′(x)－零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 【解析】 (2)由題設(shè)g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)． 設(shè)φ(x)＝－x3＋x(x≥0)， 則φ′＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減． ∴x＝1是φ(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x＝1也是φ(x)的最大值點(diǎn)． ∴φ(x)的最大值為φ(1)＝. 又φ(0)＝0，結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖)， 可知 【思維升華

16、】　 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想畫草圖確定參數(shù)范圍． 【跟蹤訓(xùn)練】　已知函數(shù)f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程； (2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解析】 (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，則切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)g(x)＝2ln x－x2＋m， 則g′(x)＝－2x＝. ∵x∈，e]， ∴當(dāng)g′(x)＝0時(shí)，x＝1. 當(dāng)0； 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org