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1、
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2、 1
課時作業(yè)34 數(shù)列求和與數(shù)列的綜合應(yīng)用
一、選擇題
1.?dāng)?shù)列1,2,3,4,…的前n項和為( )
A.(n2+n+2)-
B.n(n+1)+1-
C.(n2-n+2)-
D.n(n+1)+2
解析:∵an=n+,∴Sn=1+2+…+n=(1+2+3+…+n)+=+=n(n+1)+1-=(n2+n+2)-.
答案:A
2.在數(shù)列{an}中,an=,若{a
3、n}的前n項和為,則項數(shù)n為( )
A.2 010 B.2 011
C.2 012 D.2 013
解析:∵an==-,
∴Sn=1-==,
解得n=2 011.
答案:B
3.?dāng)?shù)列1×,2×,3×,4×,…的前n項和為( )
A.2--
B.2--
C.(n2+n+2)-
D.(n+1)n+1-
解析:∵Sn=1×+2×+3×+…+n×①,∴Sn=1×+2×+…+(n-1)+n·②.①-②,得Sn=1×+1×+1×+…+-n·=-,
∴Sn=2--.
答案:B
4.(20xx·贛州摸底)已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,且對任意n,m∈N*,都有am+
4、n=am·an,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:因為am+n=am·an,
則=
=1+=1+
=1+a2=1+a=5,故選D.
答案:D
5.在數(shù)列{an}中,an=n,n∈N*,前50個偶數(shù)的平方和與前50個奇數(shù)的平方和的差是( )
A.0 B.5 050
C.2 525 D.-5 050
解析:(22+42+…+1002)-(12+32+…+992)=(22-12)+(42-32)+…+(1002-992)=3+7+11+…+195+199==5 050.
答案:B
6.?dāng)?shù)列{an}滿足an+1
5、+(-1)nan=2n-1,則數(shù)列{an}的前60項和為( )
A.3 690 B.3 660
C.1 845 D.1 830
解析:當(dāng)n=2k時,a2k+1+a2k=4k-1,當(dāng)n=2k-1時,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,即a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)==30×61=1 830.
答案:D
二、填空題
7.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n+1(3n-2),
6、則前100項和S100等于________.
解析:∵a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=-3,∴S100=-3×50=-150.
答案:-150
8.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此數(shù)列的前10項和S10=36,前18項和S18=12,則數(shù)列{|an|}的前18項和T18的值是________.
解析:由a1>0,a10·a11<0可知d<0,a10>0,a11<0,
∴T18=a1+…+a10-a11-…-a18
=S10-(S18-S10)=60.
答案:60
9.整數(shù)數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an(n∈N*),若此
7、數(shù)列的前800項的和是2 013,前813項的和是2 000,則其前2 015項的和為________.
解析:由an+2=an+1-an,得an+2=an-an-1-an=-an-1,易得該數(shù)列是周期為6的數(shù)列,且an+2+an-1=0,S800=a1+a2=2 013,S813=a1+a2+a3=2 000,
∴,
∴∴
依次可得a5=-1 000,a6=13,
由此可知an+1+an+2+an+3+an+4+an+5+an+6=0,
∴S2 015=S5=-13.
答案:-13
10.(20xx·鄭州模擬)若數(shù)列{an}是1,,,…,,…,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=
8、________.
解析:an=1+++…+
==2,
所以Sn
=2
=2=2
=2n-2+.
答案:2n-2+
三、解答題
11.已知數(shù)列{an}中,a1=3,a2=5,且{an-1}是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解:(1)∵{an-1}是等比數(shù)列且a1-1=2,a2-1=4,=2,
∴an-1=2·2n-1=2n,∴an=2n+1.
(2)bn=nan=n·2n+n,故Tn=b1+b2+b3+…+bn=(2+2×22+3×23+…+n·2n)+(1+2+3+…+n).
令T=2+2×
9、22+3×23+…+n·2n,
則2T=22+2×23+3×24+…+n·2n+1.
兩式相減,得-T=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,
∴T=2(1-2n)+n·2n+1=2+(n-1)·2n+1.
∵1+2+3+…+n=,
∴Tn=(n-1)·2n+1+.
12.正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<.
解:(1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](S
10、n+1)=0,
由于{an}是正項數(shù)列,所以Sn+1>0.
所以Sn=n2+n(n∈N*).
n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n,
n=1時,a1=S1=2適合上式,
所以an=2n(n∈N*).
(2)證明:由an=2n(n∈N*).
得bn==
=[-],Tn=
=
<=(n∈N*).
即對于任意的n∈N*,都有Tn<.
1.(20xx·浙江卷)如圖,點列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q(mào)表示點P與Q不重合)
11、.若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則( )
A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{S}是等差數(shù)列
C.{dn}是等差數(shù)列 D.zntlhxx是等差數(shù)列
解析:由題意,過點A1,A2,A3,…,An,An+1,…分別作直線B1Bn+1的垂線,高分別記為h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…,根據(jù)平行線的性質(zhì),得h1,h2,h3,…,hn,hn+1,…成等差數(shù)列,又Sn=×|BnBn+1|×hn,|BnBn+1|為定值,所以{Sn}是等差數(shù)列,故選A.
答案:A
2.已知Sn和Tn分別為數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的前n項和,且a1=e4,Sn=eSn+1-e5,an
12、=ebn(n∈N*),則當(dāng)Tn取得最大值時,n的值為( )
A.4 B.5
C.4或5 D.5或6
解析:由題意,得Sn=eSn+1-e5,Sn-1=eSn-e5(n∈N*且n≥2).上述兩式相減,得an=ean+1,即=(n∈N*且n≥2),∵a1=e4,Sn=eSn+1-e5,∴a2=e3,=,∴數(shù)列{an}是以e4為首項,以為公比的等比數(shù)列,∴an=e5-n,∵an=ebn,∴bn=lne5-n=5-n,∴數(shù)列{bn}是以4為首項,-1為公差的等差數(shù)列,∴Tn=.對于函數(shù)y==-(x-)2+,其圖象開口向下且對稱軸方程為x=.考慮到{bn}的前n項和Tn中n∈N*,可知當(dāng)
13、n=4或5時,Tn取得最大值.
答案:C
3.(20xx·株洲一檢)已知等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,其前n項和為Sn.若直線y=a1x+m與圓x2+(y-1)2=1的兩個交點關(guān)于直線x+2y-d=0對稱,則數(shù)列{}的前100項和為________.
解析:因為直線y=a1x+m與圓x2+(y-1)2=1的兩個交點關(guān)于直線x+2y-d=0對稱,所以兩交點連線的斜率a1滿足a1×(-)=-1,所以a1=2,并且圓心(0,1)在直線x+2y-d=0上,所以d=2,所以等差數(shù)列的通項為an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,Sn=(2+2n)n=n(n+1),==-,設(shè){}
14、的前100項和為T100,則T100=1-+-+-+…+-=1-=.
答案:
4.(20xx·天津卷)已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d.對任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項.
(Ⅰ)設(shè)cn=b-b,n∈N*, 求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)a1=d,Tn=(-1)kb,n∈N*,求證:<.
解:證明:(Ⅰ)由題意得b=anan+1,有cn=b-b=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等差數(shù)列.
(Ⅱ)Tn=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b)
=2d(a2+a4+…+a2n)
=2d·=2d2n(n+1).
所以=
=(-)
=·(1-)<.