中考數(shù)學(xué)試卷分類(lèi)匯編 四邊形綜合
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1、四邊形綜合 1、(2013?湘西州)下列說(shuō)法中,正確的是( ?。? A. 同位角相等 B. 對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是平行四邊形 C. 四條邊相等的四邊形是菱形 D. 矩形的對(duì)角線(xiàn)一定互相垂直 考點(diǎn): 菱形的判定;同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角;平行四邊形的判定;矩形的性質(zhì). 分析: 根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)判斷A即可;根據(jù)平行四邊形的判定判斷B即可;根據(jù)菱形的判定判斷C即可;根據(jù)矩形的性質(zhì)判斷D即可. 解答: 解:A、如果兩直線(xiàn)平行,同位角才相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; B、對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; C、四邊相等的四邊形是菱形,故本選項(xiàng)正確;
2、D、矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等,不一定垂直,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤; 故選C. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì),平行四邊形、菱形的判定、矩形的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力. 2、(2013陜西)如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O,且BD平分AC,若BD=8,AC=6,∠BOC=120°,則四邊形ABCD的面積為 .(結(jié)果保留根號(hào)) A B D C O H G 第14題圖文并茂 考點(diǎn):三角形面積的求法及特殊角的應(yīng)用。 解析:BD平分AC,所以O(shè)A=OC=3,因?yàn)椤螧OC=120°, 所以∠DOC=∠A0B=60°,過(guò)C作C
3、H⊥BD于H, 過(guò)A作AG⊥BD于G,在△CHO中,∠C0H=60°, OC=3,所以CH=,同理:AG=, 所以四邊形ABCD的面積=。 3、(2013河南省)如圖,在等邊三角形中,,射線(xiàn),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線(xiàn)以的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線(xiàn)以的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 (1)連接,當(dāng)經(jīng)過(guò)邊的中點(diǎn)時(shí),求證: 證明:∵ ∴ ∵是邊的中點(diǎn) ∴ 又∵ ∴ (2)填空: ①當(dāng)為 s時(shí),四邊形是菱形; ②當(dāng)為 s時(shí),以為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形。 【解析】①∵當(dāng)四邊形是菱形時(shí),∴
4、 由題意可知:,∴ ②若四邊形是直角梯形,此時(shí) 過(guò)作于M,,可以得到, 即,∴, 此時(shí),重合,不符合題意,舍去。 若四邊形若四邊形是直角梯形,此時(shí), ∵△ABC是等邊三角形,F(xiàn)是BC中點(diǎn), ∴,得到 經(jīng)檢驗(yàn),符合題意。 【答案】① ② 4、(2013? 德州)(1)如圖1,已知△ABC,以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE,CD,請(qǐng)你完成圖形,并證明:BE=CD;(
5、尺規(guī)作圖,不寫(xiě)做法,保留作圖痕跡); (2)如圖2,已知△ABC,以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連接BE,CD,BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系?簡(jiǎn)單說(shuō)明理由; (3)運(yùn)用(1)、(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題: 如圖3,要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B,E的距離,已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的長(zhǎng). 考點(diǎn): 四邊形綜合題. 專(zhuān)題: 計(jì)算題. 分析: (1)分別以A、B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)D,連接AD,BD,同理連接AE,CE,如圖所示,由三角形ABD與三角形ACE都是等邊三角形
6、,得到三對(duì)邊相等,兩個(gè)角相等,都為60度,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等,利用SAS得到三角形ABD與三角形ACE全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證; (2)BE=CD,理由與(1)同理; (3)根據(jù)(1)、(2)的經(jīng)驗(yàn),過(guò)A作等腰直角三角形ABD,連接CD,由AB=AD=100,利用勾股定理求出BD的長(zhǎng),由題意得到三角形DBC為直角三角形,利用勾股定理求出CD的長(zhǎng),即為BE的長(zhǎng). 解答: 解:(1)完成圖形,如圖所示: 證明:∵△ABD和△ACE都是等邊三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠E
7、AB, ∵在△CAD和△EAB中, , ∴△CAD≌△EAB(SAS), ∴BE=CD; (2)BE=CD,理由同(1), ∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠EAB, ∵在△CAD和△EAB中, , ∴△CAD≌△EAB(SAS), ∴BE=CD; (3)由(1)、(2)的解題經(jīng)驗(yàn)可知,過(guò)A作等腰直角三角形ABD,∠BAD=90°, 則AD=AB=100米,∠ABD=45°, ∴BD=100米, 連接CD,則由(2)可得BE=CD, ∵∠ABC=45°,∴∠DBC=90°,
8、在Rt△DBC中,BC=100米,BD=100米, 根據(jù)勾股定理得:CD==100米, 則BE=CD=100米. 點(diǎn)評(píng): 此題考查了四邊形綜合題,涉及的知識(shí)有:全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形,等腰直角三角形,以及正方形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵. 5、(2013?紹興)若一個(gè)矩形的一邊是另一邊的兩倍,則稱(chēng)這個(gè)矩形為方形,如圖1,矩形ABCD中,BC=2AB,則稱(chēng)ABCD為方形. (1)設(shè)a,b是方形的一組鄰邊長(zhǎng),寫(xiě)出a,b的值(一組即可). (2)在△ABC中,將AB,AC分別五等分,連結(jié)兩邊對(duì)應(yīng)的等分點(diǎn),以這些連結(jié)為一邊作
9、矩形,使這些矩形的邊B1C1,B2C2,B3C3,B4C4的對(duì)邊分別在B2C2,B3C3,B4C4,BC上,如圖2所示. ①若BC=25,BC邊上的高為20,判斷以B1C1為一邊的矩形是不是方形?為什么? ②若以B3C3為一邊的矩形為方形,求BC與BC邊上的高之比. 考點(diǎn): 四邊形綜合題. 分析: (1)答案不唯一,根據(jù)已知舉出即可; (2)①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4,推出==,==,==,==,求出B1C1=5,B2C2=10,B3C3=15,B4C4=20,AE=4,AH=8,AG=12,AN=16,MN=GN=GH=HE=4,
10、BQ=B2O=B3Z=B4K=4,根據(jù)已知判斷即可; ②設(shè)AM=h,根據(jù)△ABC∽△AB3C3,得出==,求出MN=GN=GH=HE=h,分為兩種情況:當(dāng)B3C3=2×h,時(shí),當(dāng)B3C3=×h時(shí),代入求出即可. 解答: 解:(1)答案不唯一,如a=2,b=4; (2)①以B1C1為一邊的矩形不是方形. 理由是:過(guò)A作AM⊥BC于M,交B1C1于E,交B2C2于H,交B3C3于G,交B4C4于N,則AM⊥B4C4,AM⊥B3C3,AM⊥B2C2,AM⊥B1C1, ∵由矩形的性質(zhì)得:BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4, ∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C
11、3∽△AB4C4, ∴=,==,==,==, ∵AM=20,BC=25, ∴B1C1=5,B2C2=10,B3C3=15,B4C4=20,AE=4,AH=8,AG=12,AN=16, ∴MN=GN=GH=HE=4, ∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4, 即B1C1≠2B1Q,B1Q≠2B1C1, ∴以B1C1為一邊的矩形不是方形; ②∵以B3C3為一邊的矩形為方形,設(shè)AM=h, ∴△ABC∽△AB3C3, ∴==, 則AG=h, ∴MN=GN=GH=HE=h, 當(dāng)B3C3=2×h,時(shí),=; 當(dāng)B3C3=×h時(shí),=. 綜合上述:BC與BC邊上的高之比是或. 點(diǎn)
12、評(píng): 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定和矩形的性質(zhì)的應(yīng)用,注意:相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比. 6、(2013?資陽(yáng))在一個(gè)邊長(zhǎng)為a(單位:cm)的正方形ABCD中,點(diǎn)E、M分別是線(xiàn)段AC,CD上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)DE并延長(zhǎng)交正方形的邊于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DF于H,交AD于N. (1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合,求證:DF=MN; (2)如圖2,假設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā),以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0); ①判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假,并說(shuō)明理由. ②連結(jié)FM、FN,△M
13、NF能否為等腰三角形?若能,請(qǐng)寫(xiě)出a,t之間的關(guān)系;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由. 考點(diǎn): 四邊形綜合題 分析: (1)證明△ADF≌△DNC,即可得到DF=MN; (2)①首先證明△AFE∽△CDE,利用比例式求出時(shí)間t=a,進(jìn)而得到CM=a=CD,所以該命題為真命題; ②若△MNF為等腰三角形,則可能有三種情形,需要分類(lèi)討論. 解答: (1)證明:∵∠DNC+∠ADF=90°,∠DNC+∠DCN=90°, ∴∠ADF=∠DCN. 在△ADF與△DNC中, , ∴△ADF≌△DNC(ASA), ∴DF=MN. (2)解:①該命題是真命題. 理由如下:當(dāng)點(diǎn)F是邊
14、AB中點(diǎn)時(shí),則AF=AB=CD. ∵AB∥CD,∴△AFE∽△CDE, ∴, ∴AE=EC,則AE=AC=a, ∴t==a. 則CM=1?t=a=CD, ∴點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn). ②能.理由如下: 易證AFE∽△CDE,∴,即,得AF=. 易證△MND∽△DFA,∴,即,得ND=t. ∴ND=CM=t,AN=DM=a﹣t. 若△MNF為等腰三角形,則可能有三種情形: (I)若FN=MN,則由AN=DM知△FAN≌△NDM, ∴AF=DM,即=t,得t=0,不合題意. ∴此種情形不存在; (II)若FN=FM,由MN⊥DF知,HN=HM,∴DN=DM=MC, ∴
15、t=a,此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合; (III)若FM=MN,顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上,如下圖所示: 易得△MFC≌△NMD,∴FC=DM=a﹣t; 又由△NDM∽△DCF,∴,即,∴FC=. ∴=a﹣t, ∴t=a,此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合. 綜上所述,當(dāng)t=a或t=a時(shí),△MNF能夠成為等腰三角形. 點(diǎn)評(píng): 本題是運(yùn)動(dòng)型幾何綜合題,考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識(shí)點(diǎn).解題要點(diǎn)是:(1)明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程;(2)明確運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,各組成線(xiàn)段、三角形之間的關(guān)系;(3)運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,避免漏解. 7、(2013?寧波)若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)把四邊
16、形分成兩個(gè)等腰三角形,我們把這條對(duì)角線(xiàn)叫這個(gè)四邊形的和諧線(xiàn),這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形. (1)如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求證:BD是梯形ABCD的和諧線(xiàn); (2)如圖2,在12×16的網(wǎng)格圖上(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)有一個(gè)扇形BAC,點(diǎn)A.B.C均在格點(diǎn)上,請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D,使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)都是和諧線(xiàn),并畫(huà)出相應(yīng)的和諧四邊形; (3)四邊形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四邊形ABCD的和諧線(xiàn),求∠BCD的度數(shù). 考點(diǎn):
17、 四邊形綜合題. 分析: (1)要證明BD是四邊形ABCD的和諧線(xiàn),只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以; (2)根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等,只要D在上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形;連接BC,在△BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD,構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形, (3)由AC是四邊形ABCD的和諧線(xiàn),可以得出△ACD是等腰三角形,從圖4,圖5,圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù). 解答: 解:(1)∵AD∥BC, ∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADB=∠DBC.
18、∵∠BAD=120°, ∴∠ABC=60°. ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC=30°, ∴∠ABD=∠ADB, ∴△ADB是等腰三角形. 在△BCD中,∠C=75°,∠DBC=30°, ∴∠BDC=∠C=75°, ∴△BCD為等腰三角形, ∴BD是梯形ABCD的和諧線(xiàn); (2)由題意作圖為:圖2,圖3 (3)∵AC是四邊形ABCD的和諧線(xiàn), ∴△ACD是等腰三角形. ∵AB=AD=BC, 如圖4,當(dāng)AD=AC時(shí), ∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形, ∴∠BAC=∠BCA=60°. ∵∠BAD=90°, ∴
19、∠CAD=30°, ∴∠ACD=∠ADC=75°, ∴∠BCD=60°+75°=135°. 如圖5,當(dāng)AD=CD時(shí), ∴AB=AD=BC=CD. ∵∠BAD=90°, ∴四邊形ABCD是正方形, ∴∠BCD=90° 如圖6,當(dāng)AC=CD時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于F, ∵AC=CD.CE⊥AD, ∴AE=AD,∠ACE=∠DCE. ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°, ∴四邊形ABFE是矩形. ∴BF=AE. ∵AB=AD=BC, ∴BF=BC, ∴∠BCF=30°. ∵AB=BC, ∴∠ACB=∠BAC. ∵AB∥CE, ∴∠B
20、AC=∠ACE, ∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°, ∴∠BCD=15°×3=45°. 點(diǎn)評(píng): 本題是一道四邊形的綜合試題,考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用,和諧四邊形的判定,等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,正方形的性質(zhì)的運(yùn)用,30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.解答如圖6這種情況容易忽略,解答時(shí)合理運(yùn)用分類(lèi)討論思想是關(guān)鍵. 8、(2013年武漢)已知四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G. (1)如圖①,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求證; (2)如圖②,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:當(dāng)∠B與∠EGC滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí),使得成立?
21、并證明你的結(jié)論; (3)如圖③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°,DE⊥CF,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值. 解析: (1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=90°, ∵DE⊥CF,∴∠ADE=∠DCF,∴△ADE∽△DCF,∴. (2)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí),成立,證明如下: 在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)M,使CM=CF,則∠CMF=∠CFM. ∵AB∥CD,∴∠A=∠CDM, ∵∠B+∠EGC=180°, ∴∠AED=∠FCB,∴∠CMF=∠AED. ∴△ADE∽
22、△DCM, ∴,即. (3). 9、(2013杭州壓軸題)如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)P,點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在AB邊上,且滿(mǎn)足條件∠EPF=45°,圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線(xiàn)AC成軸對(duì)稱(chēng),設(shè)它們的面積和為S1. (1)求證:∠APE=∠CFP; (2)設(shè)四邊形CMPF的面積為S2,CF=x,. ①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍,并求出y的最大值; ②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱(chēng)時(shí),求y的值. 考點(diǎn):四邊形綜合題. 分析:(1)利用正方形與三角形的相關(guān)角之間的關(guān)系可以證明結(jié)論; (2)本問(wèn)關(guān)鍵是求出y與x之間的函
23、數(shù)解析式. ①首先分別用x表示出S1與S2,然后計(jì)算出y與x的函數(shù)解析式.這是一個(gè)二次函數(shù),求出其最大值; ②注意中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)的幾何性質(zhì). 解答:(1)證明:∵∠EPF=45°, ∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°; 而在△PFC中,由于PF為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn),則∠PCF=45°, 則∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°, ∴∠APE=∠CFP. (2)解:①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°, ∴△APE∽△CPF,則. 而在正方形ABCD中,AC為對(duì)角線(xiàn),則AC=AB=, 又∵P為對(duì)稱(chēng)中心,則AP=CP=, ∴AE=
24、==. 如圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H,PG⊥BC于點(diǎn)G, P為AC中點(diǎn),則PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2. S△APE==×2×=, ∵陰影部分關(guān)于直線(xiàn)AC軸對(duì)稱(chēng), ∴△APE與△APN也關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng), 則S四邊形AEPN=2S△APE=; 而S2=2S△PFC=2×=2x, ∴S1=S正方形ABCD﹣S四邊形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x, ∴y===+﹣1. ∵E在AB上運(yùn)動(dòng),F(xiàn)在BC上運(yùn)動(dòng),且∠EPF=45°, ∴2≤x≤4. 令=a,則y=﹣8a2+8a﹣1,當(dāng)a==,即x=2時(shí),y取得最大值. 而x=2在x的取值范圍內(nèi),代入x=2,則y最
25、大=4﹣2﹣1=1. ∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為:y=+﹣1(2≤x≤4),y的最大值為1. ②圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱(chēng), 而此兩塊圖形也關(guān)于直線(xiàn)AC成軸對(duì)稱(chēng),則陰影部分圖形自身關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng), 則EB=BF,即AE=FC, ∴=x,解得x=, 代入x=,得y=﹣2. 點(diǎn)評(píng):本題是代數(shù)幾何綜合題,考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形、二次函數(shù)的解析式與最值、幾何變換(軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng))、圖形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn),涉及的考點(diǎn)較多,有一定的難度.本題重點(diǎn)與難點(diǎn)在于求出y與x的函數(shù)解析式,在計(jì)算幾何圖形面積時(shí)涉及大量的計(jì)算,需要細(xì)心計(jì)算避免出錯(cuò). 16 學(xué)習(xí)是一件快樂(lè)的事情,大家下載后可以自行修改
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