新版浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題三 第2講 高考中的數(shù)列解答題型

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1、 1

2、 1 考 點(diǎn) 考 情 等差、等比數(shù)列的判定與證明 1.數(shù)列求和問題，多以考查公式法、錯位相減法和裂項(xiàng)相消法為主，且考查頻率較高，是高考命題的熱點(diǎn)，如浙江T18等．[來源:學(xué)§科§網(wǎng)] 2．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題也是高考考查的重點(diǎn)，主要考查利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問題以及用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，多為中檔題，如天津T19等． 3．?dāng)?shù)列與解析幾何交匯主

3、要涉及點(diǎn)列問題，難度中等及以上． 4．?dāng)?shù)列應(yīng)用題主要以等差數(shù)列、等比數(shù)列及遞推數(shù)列為模型進(jìn)行考查，難度中等及以上.[來源:Z_xx_k.Com][來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K][來源:Z+xx+k.Com] 數(shù)列求和問題[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K] 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 數(shù)列與解析幾何的綜合問題 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題 新情境、新定義問題 1．(20xx·浙江高考)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 解：(1)由題意

4、得5a3·a1＝(2a2＋2)2，a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d且a1＝10. 整理得d2－3d－4＝0. 故d＝－1或d＝4. 所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*)． (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 因?yàn)閐<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11. 則當(dāng)n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n. 當(dāng)n≥12時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 綜上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ 2．(20xx·天津高考)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減

5、數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值． 解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－.故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝×n－1＝(－1)n－1·. (2)由(1)得Sn＝1－n＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1

6、－＝. 當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－. 綜上，對于n∈N*，總有－≤Sn－≤. 所以數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為－. 一、遞推公式求通項(xiàng)常用的方法和技巧 1．a(chǎn)n＋1＝an＋f(n)，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－an＝f(n)，再利用累加法求解． 2．a(chǎn)n＋1＝f(n)an，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為＝f(n)，再利用累乘法求解． 3．a(chǎn)n＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解． 二、數(shù)列求和

7、常用的方法 1．分組求和法：分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cn＝an＋bn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中{an}與{bn}是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列． 2．裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個代數(shù)式子的差，即an＝f(n＋1)－f(n)的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的求和方法．形如(其中{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列等． 3．錯位相減法：形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分三步：①巧拆分；②構(gòu)差式；③求和． 4．倒序求和法：距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等，可以用此法，一般步驟：①求通項(xiàng)公式；②定和值；③倒序

8、相加；④求和；⑤回顧反思． 熱點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的判定與證明 [例1]　(20xx·北京高考)已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列．該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an＋1，an＋2，…的最小值記為Bn，dn＝An－Bn. (1)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，an＋4＝an)，寫出d1，d2，d3，d4的值； (2)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)．證明：dn＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列； (3)證明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，…)，則{an}的項(xiàng)只能是1或者2，

9、且有無窮多項(xiàng)為1. [自主解答]　(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3. (2)證明：(充分性)因?yàn)閧an}是公差為d的等差數(shù)列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…， 因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，…)． (必要性)因?yàn)閐n＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以An＝Bn＋dn≤Bn，又an≤An，an＋1≥Bn， 所以an≤an＋1， 于是，An＝an，Bn＝an＋1， 因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d， 即{an}是公差為d的等差數(shù)列． (3)證明：因?yàn)閍1＝2，d1＝1， 所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1

10、＝1. 故對任意n≥1，an≥B1＝1. 假設(shè){an}(n≥2)中存在大于2的項(xiàng)． 設(shè)m為滿足am>2的最小正整數(shù)， 則m≥2，并且對任意1≤k2. 于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，與dm－1＝1矛盾． 所以對于任意n≥1，有an≤2，即非負(fù)整數(shù)列{an}的各項(xiàng)只能為1或2. 因?yàn)閷θ我鈔≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2. 故Bn＝An－dn＝2－1＝1. 因此對于任意正整數(shù)n，存在m滿足m>n，且am＝1，即數(shù)列{an

11、}有無窮多項(xiàng)為1. 證明(或判斷)數(shù)列是等差(比)數(shù)列的四種基本方法 (1)定義法：an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；＝q(q是非零常數(shù))?{an}是等比數(shù)列； (2)等差(比)中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；a＝an·an＋2(n∈N*，an≠0)?{an}是等比數(shù)列； (3)通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；an＝a1·qn－1(其中a1，q為非零常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列；Sn＝Aqn－A(

12、A為非零常數(shù)，q≠0,1)?{an}是等比數(shù)列． 1．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足：a1＝0，b1＝2 013，且對任意的正整數(shù)n，an，an＋1，bn和an＋1，bn＋1，bn均成等差數(shù)列． (1)求a2，b2的值； (2)證明：{an－bn}和{an＋2bn}均成等比數(shù)列； (3)是否存在唯一的正整數(shù)c，使得an

13、， 又a1＋2b1＝4 026≠0，所以，{an＋2bn}是首項(xiàng)為4 026，公比為1的等比數(shù)列． (3)由(2)得 解得n∈N*. 顯然，{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，且an<1 3421 342. 而210＝1 024，212＝4 096， 所以2n－2≥12，n≥7. 即對任意的n∈N*當(dāng)n≥7時，1 341

14、意的n∈N*，有an

15、自主解答]　(1)設(shè)各行依次組成的等差數(shù)列的公差是d，各列依次組成的等比數(shù)列的公比是q(q>0)， 則a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)?q(1＋2d)＝6， a3,2＝q2a1,2＝q2(1＋d)?q2(1＋d)＝8， 解得d＝1，q＝2.a1,2＝2?an,2＝2×2n－1＝2n. (2)bn＝，則Sn＝＋＋＋…＋， 則Sn＝＋＋＋…＋， 兩式相減得Sn＝＋＋＋…＋－＝1－， 所以Sn＝2－. 若本例(2)中bn＝＋(－1)na1，n，如何求Sn? 解：由例題可知bn＝＋(－1)nn， Sn＝＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]． 設(shè)Tn＝＋＋＋…＋， 則Tn

16、＝＋＋＋…＋ 兩式相減得Tn＝＋＋＋…＋－＝1－， 所以Tn＝2－.　　 又－1＋2－3＋…＋(－1)n·n＝ 故Sn＝　 六招解決數(shù)列求和問題 (1)轉(zhuǎn)化法：將數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行分組重組，使之轉(zhuǎn)化為n個等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用公式求和． (2)錯位相減法：(見要點(diǎn)歸納) (3)裂項(xiàng)相消法：(見要點(diǎn)歸納) (4)倒序相加法：(見要點(diǎn)歸納) (5)并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起求和，然后再求Sn. (6)歸納猜想法：通過對S1，S2，S3，…的計算進(jìn)行歸納分析，尋求規(guī)律，猜想出Sn，然后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明． 2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3

17、，若數(shù)列{Sn＋1}是公比為4的等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)由題意知Sn＋1＝(S1＋1)·4n－1＝4n， 所以Sn＝4n－1. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，且a1＝3滿足上式， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3·4n－1. (2)bn＝＝ ＝， Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋·－＋…＋ ＝＝－. 熱點(diǎn)三 數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合應(yīng)用 [例3]　(20xx·成都模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2，過點(diǎn)C1(1,0)作x軸的垂線l1交函數(shù)f(x)圖像于點(diǎn)A1，以

18、A1為切點(diǎn)作函數(shù)f(x)圖像的切線交x軸于點(diǎn)C2，再過C2作x軸的垂線l2交函數(shù)f(x)圖像于點(diǎn)A2，…，以此類推得點(diǎn)An，記An的橫坐標(biāo)為an，n∈N*. (1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式； (2)設(shè)直線ln與函數(shù)g(x)＝logx的圖像相交于點(diǎn)Bn，記bn＝n·n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. [自主解答]　(1)以點(diǎn)An－1(an－1，a)(n≥2)為切點(diǎn)的切線方程為y－a＝2an－1(x－an－1)． 當(dāng)y＝0時，得x＝an－1，即an＝an－1. 又∵a1＝1， ∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． ∴通項(xiàng)公式為an＝n－

19、1. (2)由題意，得Bn. ∴bn＝n·n＝n－1＋n－1·(n－1)＝nn－1. ∵Sn＝1×0＋2×1＋…＋n×n－1， Sn＝1×1＋2×2＋…＋n×n， 兩式相減，得Sn＝1×0＋1×1＋…＋n－1－n×n＝－n×n， 化簡，得Sn＝－×n＝－. 解決數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合問題的三個轉(zhuǎn)化方向 (1)函數(shù)條件的轉(zhuǎn)化．直接利用函數(shù)與數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系，把函數(shù)解析式中的自變量x換為n即可； (2)方程條件的轉(zhuǎn)化．一般要根據(jù)方程解的有關(guān)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化； (3)數(shù)列向函數(shù)的轉(zhuǎn)化．可將數(shù)列中的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的相應(yīng)問題求解，但要注意自變量取值范圍的限制．對于數(shù)列中的最值、范圍等問

20、題的求解，可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性或利用方程有解的條件來求解． 3．已知函數(shù)f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)．?dāng)?shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，點(diǎn)(an＋1，S2n－1)在函數(shù)f(x)的圖像上；數(shù)列{bn}滿足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{bn－1}是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{cn}滿足cn＝，證明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<3. 解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)(an＋1，S2n－1)在函數(shù)f(x)的圖像上，所以a＝S2n－1. 分別令n＝1，n＝2，得 即解得a1＝1，d＝2(

21、d＝－1舍去)，則an＝2n－1. 由(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)，得4(bn－bn＋1)·(bn－1)＝(bn－1)2. 由題意bn≠1，所以4(bn－bn＋1)＝bn－1， 即3(bn－1)＝4(bn＋1－1)，所以＝. 又因?yàn)閎1＝2，所以b1－1＝1. 所以數(shù)列{bn－1}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． (2)證明：由(1)得bn－1＝n－1. cn＝＝＝. 令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn， 則Tn＝＋＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②得，Tn＝＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－. 所以Tn＝3－，所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝

22、3－<3. 熱點(diǎn)四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 [例4]　為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟(jì)效益，長沙市計劃用若干年時間更換一萬輛燃油型公交車．每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛，計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛． (1)求經(jīng)過n年，該市被更換的公交車總數(shù)S(n)； (2)若該市計劃用7年的時間完成全部更換，求a的最小值． [自主解答]　(1)設(shè)an、bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量， 依題意知，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為

23、128，公比為1＋50%＝的等比數(shù)列；數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為400，公差為a的等差數(shù)列． 所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和 Sn＝＝256， 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝400n＋a. 所以經(jīng)過n年，該市更換的公交車總數(shù) S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a. (2)若用7年的時間完成全部更換，則S(7)≥10 000， 即256＋400×7＋a≥10 000， 即21a≥3 082， 所以a≥. 又a∈N*，所以a的最小值為147. 求解數(shù)列應(yīng)用題必須明確三點(diǎn) (1)該應(yīng)用題屬于哪種數(shù)列模型，是等差數(shù)列還是等比數(shù)列； (2)是求通項(xiàng)問題還是求項(xiàng)數(shù)問題，或是求和問題

24、； (3)題目中涉及哪幾個量，這幾個量之間存在什么關(guān)系． 4．祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)．某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設(shè)f(n)表示前n年的純收入．(f(n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額) (1)從第幾年開始該臺商獲利？ (2)若干年后，該臺商為開發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；②純利潤總和

25、最大時，以16萬美元出售該廠，問哪種方案最合算？ 解：由題意知，每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列． 設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f(n)， 則f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72. (1)獲取純利潤就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2