新版浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題二 第4講 高考中的三角函數(shù)解答題型

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1、 1

2、 1 考 點(diǎn) 考 情 三角恒等變換  1.三角恒等變換是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,在解答題中多作為一種化簡(jiǎn)工具考查,其中升冪公式、降冪公式、輔助角公式是考查的重點(diǎn),如湖南T17等. 2.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考考查的另一個(gè)熱點(diǎn),側(cè)重于對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及最值等的考查,常與其他知識(shí)交匯以解答題的形式考查,難度中等

3、,如安徽T16等. 3.正弦定理、余弦定理以及解三角形的問題是高考的必考內(nèi)容.在解答題中主要考查:(1)邊和角的計(jì)算;(2)面積的計(jì)算;(3)有關(guān)范圍的問題.由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng),解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題也常出現(xiàn)在高考解答題中,如重慶T20等. 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 解三角形 向量與三角函數(shù)的綜合問題 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 1.(20xx·湖南高考)已知函數(shù)f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2. (1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值; (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合. 解:f(x)=sin+cos =sin x-cos x+co

4、s x+sin x=sin x, g(x)=2sin2=1-cos x. (1)由f(α)=得sin α=. 又α是第一象限角,所以cos α>0. 從而g(α)=1-cos α=1-=1-=. (2)f(x)≥g(x)等價(jià)于sin x≥1-cos x, 即sin x+cos x≥1. 于是sin≥. 從而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z, 即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為. 2.(20xx·重慶高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a2+b2 +ab=c2. (1)求C; (2)設(shè)cos Acos B

5、=,=,求tan α的值. 解:(1)因?yàn)閍2+b2+ab=c2, 由余弦定理有cos C===-, 故C=. (2)由題意得 =. 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=, tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=, tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.?、? 因?yàn)镃=,A+B=,所以sin(A+B)=, 因?yàn)閏os(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 即-sin Asin B=, 解得sin

6、 Asin B=-=. 由①得tan2α-5tan α+4=0, 解得tan α=1或tan α=4. 3.(20xx·江蘇高考)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|=,求證:a⊥b; (2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值. 解:(1)證明:由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因?yàn)閍2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b. (2)因?yàn)閍+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1), 所以 由

7、此,得cos α=cos (π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=. 1.輔助角公式 asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tan φ=. 可利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間和周期. 2.三角形的面積公式 (1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別是邊a,b,c上的高); (2)S=absin C=bcsin A=acsin B; (3)S△ABC=(海倫公式). 3.解三角形常見問題 (1)已知一邊和兩角解三角形; (2)已知兩邊

8、及其中一邊的對(duì)角解三角形; (3)已知兩邊及其夾角解三角形; (4)已知三邊解三角形; (5)三角形形狀的判定; (6)三角形的面積問題; (7)正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用. 熱點(diǎn)一 三角變換與求值 [例1] (20xx·北京高考)已知函數(shù)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)若α∈,且f(α)=,求α的值. [自主解答] (1)因?yàn)閒(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x =cos 2xsin 2x+cos 4x =(sin 4x+cos 4x) =sin, 所以f(x)的

9、最小正周期為,最大值為. (2)因?yàn)閒(α)=,所以sin=1. 因?yàn)棣痢剩? 所以4α+∈, 即4α+=.故α=. 在本例中,若F(x)=f(x)·f(-x)+f2(x),求F(x)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間. 解:∵f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x =, ∴F(x)=f(x)·f(-x)+f2(x)  =(cos 4x+sin 4x)(cos 4x-sin 4x)+(sin 4x+cos 4x)2 =cos 8x+(1+2sin 4xcos 4x) =cos 8x+sin 8x+ =+ =sin+, ∴F(x)max=+=. 由-+2kπ

10、≤8x+≤+2kπ,k∈Z,得 -+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 故函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 1.條件求值的一般思路 (1)先化簡(jiǎn)所求式子或所給條件; (2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手); (3)將已知條件代入所求式子,化簡(jiǎn)求值. 2.三角恒等變換的“五遇六想” (1)遇正切,想化弦;(2)遇多元,想消元;(3)遇差異,想聯(lián)系;(4)遇高次,想降次;(5)遇特角,想求值;(6)想消元,引輔角. 1.已知向量a=,b=,函數(shù)f(x)=2a·b-為偶函數(shù),且θ∈[0,π]. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)設(shè)x∈(0,

11、π),f(x)=1,求x的值. 解:(1)f(x)=2sincos+2cos2-=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin. 由f(x)為偶函數(shù)得θ+=kπ+,k∈Z, ∴θ=kπ+,k∈Z.又θ∈[0,π],∴θ=, 故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sin=2cos 2x. (2)由f(x)=1得cos 2x=. 又x∈(0,π),所以2x∈(0,2π), 所以2x=或2x=, 即x=或. 2.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin xcos2+cos xsin φ-sin x(0<φ<π)在x=π處取最小值. (1)求φ的值; (2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,

12、B,C的對(duì)邊,已知a=1,b=,f(B)=-,求的值. 解:(1)f(x)=2sin xcos2+cos xsin φ-sin x =sin x+cos xsin φ =sin xcos φ+cos xsin φ=sin(x+φ), 依題意,sin(π+φ)=-1,∵0<φ<π,∴φ=. (2)由(1)知f(x)=sin(x+φ)=sin=cos x, ∵f(B)=-,∴cos B=-. ∵0

13、圖像與性質(zhì) [例2] (20xx·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為. (1)求ω的值; (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. [自主解答] (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx =-·-sin 2ωx =cos 2ωx-sin 2ωx =-sin. 因?yàn)閳D像的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為, 又ω>0,所以=4×, 因此ω=1. (2)由(1)知f(x)=-sin. 當(dāng)π≤x≤時(shí),≤2x-≤, 所以-≤sin≤1. 因此-1≤f(x)

14、≤. 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為,-1. 研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的常用方法 (1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性,往往是在定義域內(nèi),先化簡(jiǎn)三角函數(shù)式,盡量化為y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求解. (2)對(duì)于形如y=asin ωx+bcos ωx型的三角函數(shù),要通過引入輔助角化為y=sin(ωx+φ)的形式來求. 3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的一段圖像如圖所示. (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖像向右平移個(gè)單位,得到y(tǒng)=g(x)的圖像.求直線y=與函數(shù)y=f(x)+g(x)的圖像在(0

15、,π)內(nèi)所有交點(diǎn)的坐標(biāo). 解:(1)由題意知A=2,T=π,于是ω==2, 將y=2sin 2x的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度, 得f(x)=2sin 2=2sin. (2)依題意得g(x)=2sin=-2cos. 故y=f(x)+g(x)=2sin-2cos= 2sin. 由2sin=,得sin=. ∵0

16、,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,滿足=,求函數(shù)f(A)的取值范圍. 解:(1)f(x)=(sin ωx+cos ωx)cos ωx =sin 2ωx+cos 2ωx+ =sin+. 據(jù)題意,2ω·+=kπ,k∈Z, ω=,k∈Z, ∵0<ω<,∴當(dāng)k=1時(shí),ω=. 從而f(x)=sin+, 故a=. 2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z, 單調(diào)遞減區(qū)間是,k∈Z. (2)2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C,2sin Acos B=sin(B+C),cos B=,∴B=. f(A)=sin+,0

17、∈. 熱點(diǎn)三 正弦、余弦定理及解三角形 [例3] 在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A的大??; (2)若△ABC的面積S=5,b=5,求sin Bsin C的值. [自主解答] (1)由cos 2A-3cos(B+C)=1, 得2cos2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2)=0, 解得cos A=或cos A=-2(舍去). 因?yàn)?

18、ccos A=25+16-20=21,故a=. 又由正弦定理得sin Bsin C=sin A·sin A=sin2A=×=. 保持本例條件不變,若a=6,b+c=8,求△ABC的面積. 解:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36. 又b+c=8,所以bc=. 由三角形面積公式S=bcsin A,得△ABC的面積為. 三角形的基本量的求法 (1)先將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,若要把“邊”化為“角”,常利用a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,若要把“角”化為“邊”,常利用sin A=,sin B=,sin C=,c

19、os C=等; (2)然后利用三角形的內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角等知識(shí)求出三角形的基本量. 5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,(a+b+c)·(a-b+c)=ac. (1)求B; (2)若sin Asin C=,求C. 解:(1)因?yàn)?a+b+c)(a-b+c)=ac, 所以a2+c2-b2=-ac. 由余弦定理得cos B==-, 因此B=120°. (2)由(1)知A+C=60°, 所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C =cos(A+C)+2si

20、n Asin C =+2×=,故A-C=30°或A-C=-30°, 因此C=15°或C=45°. 6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=. (1)求a,c的值; (2)求sin(A-B)的值. 解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9. 解得a=3,c=3. (2)在△ABC中,sin B= =, 由正弦定理得sin A==. 因?yàn)閍=c,所以A為銳角,所以cos A= =. 因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.

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