新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章第2節(jié) 雙曲線及其性質(zhì)

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1、 第二節(jié) 雙曲線及其性質(zhì) 題型118 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 1.（20xx湖北文2）已知，則雙曲線：與：的（ ）. A．實(shí)軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 2. (20xx天津文11）已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦 點(diǎn)， 且雙曲線的離心率為，則該雙曲線的方程為 . 1.（20xx天津文6）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，則雙曲線的方程為（ ）. A. B. C. D. 2.（20xx大綱文11）雙曲線C：的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則

2、C的焦距等于（ ）. A．2 B． C．4 D． 3. （20xx廣東文8）若實(shí)數(shù)滿足，則曲線與曲線的（ ）. A.實(shí)半軸長相等 B.虛半軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等 4.（20xx江西文9）過雙曲線的右頂點(diǎn)作軸的垂線，與的一條漸近線相交于.若以的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為的圓經(jīng)過則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 5.（20xx北京文10）設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，一個(gè)頂點(diǎn)是， 則的方程為 . 1.（

3、20xx天津文5）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且雙曲 線的漸近線與圓相切，則雙曲線的方程為（ ）. A． B． C． D． 1．解析 由雙曲線的漸近線與圓相切得， 由，解得 .故選D. 評注 由雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，依題意，，所以，雙曲線方程為. 2.（20xx北京文12）已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則 . 2. 解析 依題意，由是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，得， 即，又，得. 3.（20xx全國II文15）已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲 線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 3. 解析 根據(jù)題意知，雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的

4、方程為： ，把點(diǎn) 代入得.所以雙曲線的方程為. 評注 雙曲線的問題多在小題中出現(xiàn)，注意基本的等量關(guān)系及定義，特別是特有的漸近線方程的求解. 1.（20xx天津文4）已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（ ）. A. B. C. D. 1. A 解析 由題意得，解得，所以雙曲線的方程為. 故選. 2.（20xx江蘇3）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距是 . 2. 解析 ，故焦距為. 3.（20xx北京文12）已知雙曲線的一條漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為，則_______；_______

5、. 3. 8. 解析 雙曲線的漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為.再由題設(shè)，可得，解得. 1.（20xx全國1卷文5）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且與軸垂直，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的面積為（ ）. A． B． C． D． 1. 解析 由，得，所以，將代入，得，所以，又A的坐標(biāo)是(1，3)，故的面積為.故選D. 2.（20xx天津卷文5）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（ ）. A. B. C. D. 2. 解析 因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以， 不妨設(shè)點(diǎn)在第

6、二象限內(nèi)，則點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，由，得，所以，則雙曲線的方程為.故選D． 題型119 雙曲線的漸近線 1．(20xx福建文4）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（ ）. A． B． C． D． 2.（20xx山東文11）拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn) 的連線交于第一象限的點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則 （ ）. A. B. C. D. 3.（20xx江蘇3）雙曲線的兩條漸近線的方程為

7、 . 1. （20xx山東文15）已知雙曲線的焦距為，右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為F，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為　　　　　　. 1.（20xx安徽文6）下列雙曲線中，漸近線方程為的是（ ）. A． B． C． D． 1．解析 由雙曲線的漸近線的公式為， 可知選項(xiàng)A的漸近線方程為.故選A. 2.（20xx四川文7）過雙曲線的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線交該雙曲線的兩條 漸近線于兩點(diǎn)，則（ ）.] A. B. C. 6 D. 2.解析 由題意可得，，故.所以漸近線的方程為. 將代入

8、漸近線方程，得，則.故選D. 3.（20xx江蘇12）在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個(gè)動點(diǎn)． 若點(diǎn)到直線的距離大于恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為 ． 3. 9．解析 利用幾何意義，即找到到直線的最小距離（或取不到），該值即為實(shí)數(shù)的最大值． 由雙曲線的漸近線為，易知與平行，因此該兩平行線間的距離即為最小距離（且無法達(dá)到），故實(shí)數(shù)的最大值為． 9.（20xx上海文21（1））雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn).若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程. 9.解析由已知，，不妨取，則， 由題意，又，， 所以，即，解得， 因此漸近線方

9、程為. 1.（20xx全國3卷文14）雙曲線的一條漸近線方程為，則 . 1.解析 漸近線方程為，由題可知. 評注 本題著重考查雙曲線的基本知識點(diǎn)，考查雙曲線的方程及其漸近線的公式，難度偏低. 2.（20xx山東卷文15）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為 . 2. 解析 . 又，可得，所以，解得， 所以雙曲線的漸近線方程為. 3.（20xx江蘇卷8）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，其焦點(diǎn)是，則四邊形的面積是 ． 3.解析 雙曲線的

10、漸近線方程為，而右準(zhǔn)線為，所以，， 從而． 題型120 雙曲線離心率的值及取值范圍 1. （20xx浙江文9）如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分 別是，在第二.四象限的公共點(diǎn).若四邊形為矩形，則的離心率是（ ） A. B. C. D. 2. (20xx重慶文10）設(shè)雙曲線的中心為點(diǎn)，若有且只有一對相交于點(diǎn)，所成的角為 的直線和 ，使，其中和分別是這對直線與雙曲 線的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）. A. B.

11、 C. D. 3. (20xx陜西文11）雙曲線的離心率為 . 4. (20xx湖南文14） 設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).若在上 存在一點(diǎn)，使，且，則的離心率為________________. 1.（20xx新課標(biāo)Ⅰ文4）已知雙曲線的離心率為，則（ ） A. B. C. D. 2.（20xx重慶文8）設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得則該雙曲線的離心率為（ ）. A. B. C.4 D. 3.（20xx四川文11）雙曲線的離心率等于______

12、______. 4.（20xx浙江文17）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是______________. 1.（20xx湖北文9）將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長同時(shí)增 加個(gè)單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ）. A．對任意的，， B．當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)時(shí)， C．對任意的，， D．當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 1. 解析 由題意，， 當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.故選D. 2.（20xx湖南文6）若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離 心率為（ ）. A. B.

13、 C. D. 2. 解析 雙曲線的漸近線為，由已知漸近線經(jīng)過點(diǎn)， 所以，.故選D. 3. (20xx山東文15)過雙曲線的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平 行的直線，交于點(diǎn). 若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的離心率為 . 3. 解析 假設(shè)過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與漸近線平行， 右焦點(diǎn)為，所以.又在雙曲線上，且為第四象限內(nèi)一點(diǎn)， 可得，所以.整理得，即. 所以離心率. 1. （20xx山東文14）已知雙曲線，若矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在上，，的中點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的離心率是_______. 1. 解析 由題意，又因?yàn)?，則，于是點(diǎn)在

14、雙曲線上，代入方程，得，再由得的離心率為. 2.（20xx四川文19）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，其中， （1）若，，成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，求. 2. 解析 （1）由已知，， 兩式相減得到，. 又由，得到，故對所有都成立. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.從而. 由，，成等差數(shù)列，可得，所以，故. 所以. （2）由（1）可知，. 所以雙曲線的離心率. 由，解得. 所以 1.（20xx全國2卷文5）若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）. A. B. C. D

15、. 1.解析 由題意，，因?yàn)椋?，則. 故選C. 2.（20xx北京卷文10）若雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)_________. 2．解析 解法一（基本量法）：由，，，，即. 解法二：由，即. 題型121 雙曲線的焦點(diǎn)三角形 1.（20xx浙江文13）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.若點(diǎn)在雙曲線上，且為銳角三角形，則的取值范圍是_______. 1. 解析 由已知得，，，則.設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，由對稱性不妨設(shè)在右支上，由于為銳角三角形，所以為銳角.則.由三角形大邊對大角，則也為銳角. ，，為銳角，則，即，解得，所以.由，得. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org