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1、
第65練 雙曲線
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)理解雙曲線定義并會靈活應(yīng)用;(2)會求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)理解雙曲線的幾何性質(zhì)并能利用幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題.
訓(xùn)練題型
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求離心率;(3)求漸近線方程;(4)幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
解題策略
(1)熟記相關(guān)公式;(2)要善于利用幾何圖形,數(shù)形結(jié)合解決離心率范圍問題、漸近線夾角問題.
一、選擇題
1.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0),離心率等于,則C的方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.已知0<θ<,則雙曲線C1:-=1與C2:-=1的(
2、 )
A.實軸長相等 B.虛軸長相等
C.離心率相等 D.焦距相等
3.(20xx·江南十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C:-=1的一條漸近線,P是l上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是C的左,右焦點,若·=0,則點P到x軸的距離為( )
A. B.
C.2 D.
4.(20xx·宜賓一模)已知點F1(-,0),F(xiàn)2(,0),動點P滿足|PF2|-|PF1|=2,當(dāng)點P的縱坐標(biāo)為時,點P到坐標(biāo)原點的距離是( )
A. B.
C. D.2
5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(4,3),則此雙曲線的方程為(
3、 )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
6.設(shè)雙曲線-=1的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線l交雙曲線左支于A,B兩點,則|BF2|+|AF2|的最小值為( )
A. B.11
C.12 D.16
7.設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的兩個焦點,P是雙曲線上的一點,且3|PF1|=4|PF2|,則△PF1F2的面積等于( )
A.4 B.8
C.24 D.48
8.過雙曲線-=1(b>a>0)的右頂點A作斜率為-1的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B,C,若A,B,C三點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列,則雙曲線的離心率為( )
4、A. B.
C. D.
二、填空題
9.雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率是2,則的最小值是________.
10.(20xx·安徽江南十校聯(lián)考)以橢圓+=1的頂點為焦點,焦點為頂點的雙曲線C,其左,右焦點分別是F1,F(xiàn)2,已知點M的坐標(biāo)為(2,1),雙曲線C上的點P(x0,y0)(x0>0,y0>0)滿足=,則S△PMF1-S△PMF2=________.
11.圓x2+y2=4與y軸交于點A,B,以A,B為焦點,坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線與圓在y軸左邊的交點分別為C,D,當(dāng)梯形ABCD的周長最大時,此雙曲線的方程為________________.
12.(20xx·淮北一模
5、)稱離心率為e=的雙曲線-=1(a>0,b>0)為黃金雙曲線,如圖是雙曲線-=1(a>0,b>0,c=)的圖象,給出以下幾個說法:
①雙曲線x2-=1是黃金雙曲線;
②若b2=ac,則該雙曲線是黃金雙曲線;
③若F1,F(xiàn)2為左,右焦點,A1,A2為左,右頂點,B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線;
④若MN經(jīng)過右焦點F2,且MN⊥F1F2,∠MON=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線.
其中正確命題的序號為________.
答案精析
1.B [由題意可知c=3,a=2,b===,故雙曲線的方程為
-=1.]
2.D [
6、雙曲線C1的半焦距c1==1,又雙曲線C2的半焦距c2==1,故選D.]
3.C [由題意知F1(-,0),F(xiàn)2(,0),不妨設(shè)l的方程為y=x,點P(x0,x0),
由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3x-6=0,得x0=±,
故點P到x軸的距離為|x0|=2.故選C.]
4.A [由已知可得動點P的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線的左支,且c=,a=1,
∴b=1,∴雙曲線方程為x2-y2=1(x≤-1).
將y=代入上式,可得點P的橫坐標(biāo)為x=-,
∴點P到原點的距離為=.]
5.A [由題意可知c==5,
∴a2+b2=c2=25,①
又點(4,3)在y=x
7、上,故=,②
由①②解得a=3,b=4,∴雙曲線的方程為-=1,故選A.]
6.B [由雙曲線定義可得|AF2|-|AF1|=2a=4,|BF2|-|BF1|=2a=4,兩式相加可得|AF2|+|BF2|=|AB|+8,由于AB為經(jīng)過雙曲線的左焦點與左支相交的弦,而|AB|min==3,故|AF2|+|BF2|=|AB|+8≥3+8=11.]
7.C [雙曲線的實軸長為2,焦距為|F1F2|=2×5=10.
據(jù)題意和雙曲線的定義知,2=|PF1|-|PF2|=|PF2|-|PF2|=|PF2|,
∴|PF2|=6,|PF1|=8.
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
8、∴PF1⊥PF2,
∴S△PF1F2=|PF1|·|PF2|=×6×8=24.]
8.C [由題意可知,經(jīng)過右頂點A的直線方程為y=-x+a,
聯(lián)立解得x=.聯(lián)立解得x=.因為b>a>0,所以<0,且>0,又點B的橫坐標(biāo)為等比中項,所以點B的橫坐標(biāo)為,則a·=()2,解得b=3a,所以雙曲線的離心率e===.]
9.
解析?。??=4?a2+b2=4a2?3a2=b2,則==a+
≥2 =,當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=時,取得最小值.
10.2
解析 雙曲線方程-=1,
|PF1|-|PF2|=4,
由=可得
=,
得F1M平分∠PF1F2.
又結(jié)合平面幾何知識可得,
△F
9、1PF2的內(nèi)心在直線x=2上,
所以點M(2,1)就是△F1PF2的內(nèi)心,
故=(|PF1|-|PF2|)×1=×4×1=2.
11.-=1
解析 設(shè)雙曲線的方程為-=1 (a>0,b>0),
C(x′,y′)(x′<0,y′>0),
|BC|=t(0
10、,又點C在雙曲線的上支上,且A,B為焦點,
∴|AC|-|BC|=2a,即2a=2-2,
∴a=-1,
∴b2=2,
∴所求方程為-=1.
12.①②③④
解析?、匐p曲線x2-=1,
a2=1,c2=1+=,
∴e===,
∴命題①正確;
②若b2=ac,c2-a2=ac,∴e=,
∴命題②正確;
③|B1F1|2=b2+c2,|B1A2|=c,
由∠F1B1A2=90°,
得b2+c2+c2=(a+c)2,
即b2=ac,e=,
∴命題③正確;
④若MN經(jīng)過右焦點F2,且MN⊥F1F2,∠MON=90°,則c=,
即b2=ac,e=,
∴命題④正確.
綜上,正確命題的序號為①②③④.