考研數(shù)學(xué)概率論筆記MicrosoftW

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1、 概率論基礎(chǔ)知識(shí) 第一章 隨機(jī)事件及其概率 一 隨機(jī)事件 §1幾個(gè)概念 1、隨機(jī)實(shí)驗(yàn):滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)；（1）試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且所有可能結(jié)果是已知的；（3）每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是未知的；隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)，并常記為E。 ?? 例如：E1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況； ?? E3：觀察某電話交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。 2、隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱(chēng)為隨機(jī)事件：常記為 A，B，C…… ?? 例如，在E1中，A表示“擲出2點(diǎn)”，B表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)

2、”均為隨機(jī)事件。 3、必然事件與不可能事件：每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱(chēng)為必然事件，記為Ω。每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事情稱(chēng)為不可能事件，記為Φ。 ?? 例如，在E1中，“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事件,以后，隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為事件。 4、基本事件：試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱(chēng)為基本事件。 ?? 例如，在E1中，“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”，……，“擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件。 ?? 由基本事件構(gòu)成的事件稱(chēng)為復(fù)合事件，例如，在E1中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。 5、樣本空間：從集合觀點(diǎn)看，稱(chēng)構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)，常記為

3、e. ?? 例如，在E1中，用數(shù)字1，2，……，6表示擲出的點(diǎn)數(shù)，而由它們分別構(gòu)成的單點(diǎn)集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}顯然，任何事件均為某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。 ??? 例如， 在E1中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的事件便可表為{2，4，6}。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為樣本空間。記為Ω。 ??? 例如， ??? 在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} ??? 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T

4、，H），（T，T）} ??? 在E3中，Ω={0，1，2，……} 例1，一條新建鐵路共10個(gè)車(chē)站，從它們所有車(chē)票中任取一張，觀察取得車(chē)票的票種。 ???? 此試驗(yàn)樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為NΩ=P 210=90.（排列：和順序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京） ???? 若觀察的是取得車(chē)票的票價(jià)，則該試驗(yàn)樣本空間中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 (組合) 例2．隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗(yàn)的樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ??????? 第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列 §2事件間的關(guān)系與運(yùn)算 ?? 1、包含:“若事件A的

5、發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱(chēng)事件B包含事件A，記為A B或B A。 ?例如，在E1中，令A(yù)表示“擲出2點(diǎn)”的事件，即A={2} B表示“擲出偶數(shù)”的事件，即B={2，4， 6}則 ?? 2、相等：若A B且B A，則稱(chēng)事件A等于事件B，記為A=B ? 例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A(yù)表示“取得到少有3張紅桃”的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事件。顯然A=B ? 3、和：稱(chēng)事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B的和事件簡(jiǎn)稱(chēng)為和，記為A B，或A+B ? 例如，甲，乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B表示“乙擊中目標(biāo)”的事件，則AUB表

6、示“目標(biāo)被擊中”的事件。 ? 推廣： 有限個(gè) 無(wú)窮可列個(gè) ?? 4、積：稱(chēng)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡(jiǎn)稱(chēng)為積，記為A B或AB。 ? 例如，在E3中，即觀察某電話交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中，令A(yù)={接到偶數(shù)次呼喚}，B={接到奇數(shù)次呼喚}，則A B={接到6的倍數(shù)次呼喚} 推廣： ????? 任意有限個(gè) ????? 無(wú)窮可列個(gè) ?? 5、差：稱(chēng)事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件簡(jiǎn)稱(chēng)為差，記為A-B。 ? 例如，測(cè)量晶體管的β參數(shù)值，令A(yù)={測(cè)得β值不超過(guò)50}，B=｛測(cè)得β值不超過(guò)10

7、0｝，則，A-B=φ，B-A=｛測(cè)得β值為50﹤β≤100｝ ? 6、互不相容：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ，則稱(chēng)A與B是互不相容的。 ? 例如，觀察某定義通路口在某時(shí)刻的紅綠燈：若A={紅燈亮}，B={綠燈亮}，則A與B便是互不相容的。 7、對(duì)立：稱(chēng)事件A不發(fā)生的事件為A的對(duì)立事件，記為 顯然 ，A∩ =φ 例如，從有3個(gè)次品，7個(gè)正品的10個(gè)產(chǎn)品中任取3個(gè)，若令A(yù)={取得的3個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)次品}，則 ={取得的3個(gè)產(chǎn)品均為正品}。 ? §3事件的運(yùn)算規(guī)律 1、交換律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A 2、結(jié)合律 （A∪B）∪C=A∪（B

8、∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C） 3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C） 4、對(duì)偶律 ??此外，還有一些常用性質(zhì)，如 ?? A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求積越?。? 若A B，則A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等。 例3，從一批產(chǎn)品中每次取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，令A(yù)i={第i次取得合格品},i=1,2,3,試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有兩次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多

9、有一次取得合格品｝ 解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ 表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表為 ??? 或 例4，一名射手連續(xù)向某一目標(biāo)射擊三次，令Ａi={第i次射擊擊中目標(biāo)} , i=1,2,3，試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录? 解： A1A2A3={三次射擊都擊中目標(biāo)} A3-A2={第三次擊中目標(biāo)但第二次未擊中目標(biāo)} 例5，下圖所示的電路中，以A表示“信號(hào)燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點(diǎn)，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，閉合，試寫(xiě)出事件A,B,C,D之間的關(guān)系。 解，不難看出有如下一些關(guān)系： ? 二 事件的概率 §1概率的定義 所謂事件A的概率是指事

10、件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P（A）。規(guī)定P(A)≥0，P（Ω）=1。 1、古典概型中概率的定義 古典概型：滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q(chēng)為古典概型。 （1）所有基本事件是有限個(gè)； （2）各基本事件發(fā)生的可能性相同； 例如：擲一勻稱(chēng)的骰子，令A(yù)={擲出2點(diǎn)}={2}，B={擲出偶數(shù)總}(cāng)={2，4，6}。此試驗(yàn)樣本空間為 Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，應(yīng)有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）= 。 而P（B）=3P（A）= 定義1：在古典概型中，設(shè)其樣本空間Ω所含的樣本點(diǎn)總數(shù)，即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為NΩ而事件A所含的樣本數(shù)，即有利于事件A發(fā)生的基本事件數(shù)為NA，

11、則事件A的概率便定義為： 例1，將一枚質(zhì)地均勻的硬幣一拋三次，求恰有一次正面向上的概率。 解：用H表示正面，T表示反面，則該試驗(yàn)的樣本空間 Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。 可見(jiàn)NΩ=8 令A(yù)={恰有一次出現(xiàn)正面}，則A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）} 可見(jiàn)，令NA=3 故 例2，（取球問(wèn)題）袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，分別按下列三種取法在袋中取球。 （1）有放回地取球：從袋中取三次球，每次取一個(gè)，看后放回袋中，再取下一個(gè)球； （2）無(wú)放回地取球：從袋中取三次球，每

12、次取一個(gè)，看后不再放回袋中，再取下一個(gè)球； （3）一次取球：從袋中任取3個(gè)球。在以上三種取法中均求A={恰好取得2個(gè)白球}的概率。 解：（1）有放回取球 NΩ=8×8×8=83=512 (袋中八個(gè)球，不論什么顏色，取到每個(gè)球的概率相等) （先從三個(gè)球里取兩個(gè)白球，第一次取白球有五種情況，第二次取白球還有五種情況<注意是有放回>，第三次取黑球只有三種情況） ? （2）無(wú)放回取球 故 ? （3）一次取球 故 屬于取球問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例： 設(shè)有100件產(chǎn)品，其中有5%的次品，今從中隨機(jī)抽取15件，則其中恰有2件次品的概率便為 （屬于一次取球模型）

13、 例3（分球問(wèn)題）將n個(gè)球放入N個(gè)盒子中去，試求恰有n個(gè)盒子各有一球的概率（n≤N）。 解： 令A(yù)={恰有n個(gè)盒子各有一球}，先考慮基本事件的總數(shù) 先從N個(gè)盒子里選n個(gè)盒子，然后在n個(gè)盒子里n個(gè)球全排列 故 屬于分球問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例： 全班有40名同學(xué)，向他們的生日皆不相同的概率為多少？令A(yù)={40個(gè)同學(xué)生日皆不相同}，則有 (可以認(rèn)為有365個(gè)盒子，40個(gè)球)故 例4（取數(shù)問(wèn)題） 從0，1，……,9共十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的不放回的接連取四個(gè)數(shù)字，并按其出現(xiàn)的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）??四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)；（2）??四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù)；（3）??四個(gè)數(shù)排成一個(gè)

14、四位偶數(shù)； 解：令A(yù)={四個(gè)數(shù)排成一個(gè)偶數(shù)}，B={四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位數(shù)}，C={四個(gè)數(shù)排成一個(gè)四位偶數(shù)} ????? ， ， 例5（分組問(wèn)題）將一幅52張的樸克牌平均地分給四個(gè)人，分別求有人手里分得13張黑桃及有人手里有4張A牌的概率各為多少？ 解：令A(yù)={有人手里有13張黑桃}，B={有人手里有4張A牌} 于是 ???? ，故 ?不難證明，古典概型中所定義的概率有以下三條基本性質(zhì)： 1° P（A）≥0 2° P（Ω）=1 3° 若A1，A2，……，An兩兩互不相容，則 2、概率的統(tǒng)計(jì)定義 頻率：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A出現(xiàn)了nA次，

15、則稱(chēng)：為事件A的頻率。頻率具有一定的穩(wěn)定性。示例見(jiàn)下例表 試驗(yàn)者 拋硬幣次數(shù)?n 正面（A）出現(xiàn)次數(shù)nA 正面（A）出現(xiàn)的 頻率 德·摩爾根 2048 1061 0．5180 浦豐 4040 2148 0．5069 皮爾遜 12000 6019 0．5016 皮爾遜 24000 12012 0．5005 維尼 30000 14994 0．4998 定義2：在相同條件下，將試驗(yàn)重復(fù)n次，如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n的增大，事件A的頻率fn(A)越來(lái)越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，則稱(chēng)常數(shù)p為事件A的概率，即P（A）=p 不難證明頻率有以

16、下基本性質(zhì)： 1° 2° 3° 若A1，A2，……，兩兩互不相容，則 3、概率的公理化定義 （數(shù)學(xué)定義） 定義3：設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為Ω，對(duì)其中每個(gè)事件A定義一個(gè)實(shí)數(shù)P（A），如果它滿足下列三條公理： 1° P（A） ≥0（非負(fù)性） 2° P（Ω）=1（規(guī)范性） 3° 若A1，A2，……，An……兩兩互不相容，則 （可列可加性，簡(jiǎn)稱(chēng)可加性） 則稱(chēng)P（A）為A的概率 4、幾何定義 定義4：假設(shè)Ω是Rn(n=1,2,3)中任何一個(gè)可度量的區(qū)域，從Ω中隨機(jī)地選擇一點(diǎn)，即Ω中任何一點(diǎn)都有同樣的機(jī)會(huì)被選到，則相應(yīng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間就是Ω，假設(shè)事件A是Ω中任何一個(gè)可度量的子集

17、，則 P(A)==ū(A)/ ū(Ω) §2概率的性質(zhì) 性質(zhì)1：若A B, 則P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差 證： 因?yàn)椋篈 B 所以：B=A∪(B-A)且A∩(B-A)=φ,由概率可加性 得P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A）=P（B）-P（A） 性質(zhì)2：若A B， 則P（A）≤P（B） ——概率的單調(diào)性 證：由性質(zhì)1及概率的非負(fù)性得 0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即P（A）≤P（B） 性質(zhì)3：P（A）≤1 證明：由于A Ω，由性質(zhì)2及概率的規(guī)范性可得P（A）≤1

18、性質(zhì)4：對(duì)任意事件A，P（ ）=1-P（A） 證明：在性質(zhì)1中令B=Ω便有P（ ）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A） 性質(zhì)5：P（φ）=0 證：在性質(zhì)4中，令A(yù)=Ω，便有P（φ）=P（ ）=1-P（Ω）=1-1=0 性質(zhì)6 （加法公式）對(duì)任意事件A，B，有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB） 證：由于A∪B=A∪（B-AB）且A∩（B-AB）=φ（見(jiàn)圖） 由概率的可加性及性質(zhì)1便得 ???? P（A∪B）=P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB） ???? =P（A）+P（B）-P（AB） 推廣: P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C

19、）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） 例6 設(shè)10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)是次品，今從中任取3個(gè)，試求取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品的概率。 解：令C={取出產(chǎn)品中至少有一個(gè)是次品}，則={取出產(chǎn)品中皆為正品}，于是由性質(zhì)4得 例7，甲，乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35，而同時(shí)下雨的概率為0.15，問(wèn)在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個(gè)城市下雨的概率。 解：令A(yù)={甲城下雨}，B={乙城下雨}，按題意所要求的是 P（A∪B）=P（A）+P（B）—P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6 例8．設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25

20、,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。 于是所求的概率為 三 條件概率 §1條件概率的概念及計(jì)算 在已知事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的概率稱(chēng)為事件A的條件概率，記為P（A/B）。條件概率P（A/B）與無(wú)條件概率P（A）通常是不相等的。 例1：某一工廠有職工500人，男女各一半，男女職工中非熟練工人分別為40人和10人，即該工廠職工人員結(jié)構(gòu)如下： 人數(shù) 男 女 總和 非熟練工人 40 10 50 其他職工 210 240 450 總和 250 250 500 現(xiàn)

21、從該廠中任選一職工，令A(yù)= {選出的職工為非熟練工人}，B= {選出的職工為女職工} 顯然，；而 ， 定義1 設(shè)A、B為兩事件，如果P（B）>0，則稱(chēng)為在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率。同樣,如果P（A）>0，則稱(chēng)為在事件A發(fā)生條件下，事件B的條件概率。 條件概率的計(jì)算通常有兩種辦法： (1)由條件概率的含義計(jì)算（通常適用于古典概型）， (2)由條件概率的定義計(jì)算。 例2：一盒子內(nèi)有10只晶體管，其中4只是壞的，6只是好的，從中無(wú)放回地取二次晶管，每次取一只，當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時(shí)，向第二次取的也是好的晶體管的概率為多少？ 解： 令

22、 A={第一次取的是好的晶體管}，B={第二次取的是好的晶體管} 按條件概率的含義立即可得： 按條件概率的定義需先計(jì)算：；于是 例3：某種集成電路使用到2000小時(shí)還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時(shí)還能正常工作的概率為0.87 .有一塊集成電路已工作了2000小時(shí),向它還能再工作1000小時(shí)的概率為多大? 解：令 A={集成電路能正常工作到2000小時(shí)}，B={集成電路能正常工作到3000小時(shí)} 已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且 ，既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87 按題意所要求的概率為： §2關(guān)于條件概率的三個(gè)重要公

23、式 1.乘法公式 定理1: ， 例4:已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級(jí)品,今從這批產(chǎn)品中任取一件,求取得的為一級(jí)的概率. 解: 令 A= {任取一件產(chǎn)品為一級(jí)品}, B= {任取一件產(chǎn)品為合格品}，顯然 ，即有AB=A 故P（AB）=P（A）。于是, 所要求的概率便為 例5:為了防止意外,在礦內(nèi)安裝兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)a和b,每個(gè)報(bào)警系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí),系統(tǒng)a有效的概率為0.92,系統(tǒng)b的有效概率為0.93,而在系統(tǒng)a失靈情況下,系統(tǒng)b有效的概率為0.85，試求：(1)當(dāng)發(fā)生意外時(shí),兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率；(2)在系統(tǒng)b失靈情況下,系統(tǒng)a有效的概率.

24、解: 令 A={系統(tǒng)a有效} B={系統(tǒng)b 有效} 已知 , , 對(duì)問(wèn)題(1) ,所要求的概率為 ??????? ，其中 (見(jiàn)圖) = = 于是 對(duì)問(wèn)題(2),所要求的概率為：= 推廣：如果 ????? 證:由于 所以上面等式右邊的諸條件概率均存在,且由乘法公式可得 = =??? …… （依此類(lèi)推）= 例6：10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽,三個(gè)人參加抽簽(無(wú)放回)甲先,乙次,丙最后,試問(wèn)(1)??? 甲、乙、丙均抽得難簽的概率為多少? (2)??? 甲、乙、丙抽得難簽的概率各為多少? 解: 令A(yù),B,C分別表示甲、乙、丙抽

25、得難簽的事件， 對(duì)問(wèn)題(1),所求的概率為： 對(duì)問(wèn)題(2), 甲抽得難簽的概率為： 乙抽得難簽的概率為 丙抽得難簽的概率為??? ??? ?其中 ???? ???? 于是 2.全概率公式 完備事件組:如果一組事件 在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè), 即 則稱(chēng)此事件組為該試驗(yàn)的一個(gè)完備事件組 例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中，以下事件組均為完備事件組：① {1}，{2}， {3}，{4}，{5}，{6}； ② {1，2，3}，{4，5 }， {6}； ③ Ａ ，（A為試驗(yàn)中任意一事件） 定理2： 設(shè) 為一完備事件組，且 ，則對(duì)于任意事件A有 證：由于 且

26、對(duì)于任意 ? ，于是由概率的可加性及乘法公式便得： 例7，某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對(duì)陣如下： 根據(jù)以往資料可知，中國(guó)勝美國(guó)的概率為0.4 ，中國(guó)勝日本的概率為0.9，而日本勝美國(guó)的概率為0.5，求中國(guó)得冠軍的概率。 解：令H= {日本勝美國(guó)}, ={美國(guó)勝日本}, A= {中國(guó)得冠軍} 由全概率公式便得所求的概率為 例8， 盒中放有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新的，第一次比賽時(shí)，從盒中任取3個(gè)使用，用后放會(huì)盒中，第二次比賽時(shí)，再取3個(gè)使用，求第二次取出都是新球的概率 解： 令 H ={第一次比賽時(shí)取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球}i=0，1，2，3，A = {第二次比賽取出

27、的3個(gè)球均為新球} 于是 , , , 而 , , , 由全概率公式便可得所求的概率 =0.146 3 貝葉斯公式 定理3： 設(shè) H ,H ,…….H 為一完備事件組，且 又設(shè)A為任意事件，且 P(A) >0，則有 證：由乘法公式和全概率公式即可得到 先驗(yàn)概率 例9：某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果：患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽(yáng)性的概率為0.95，不患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為0.95，并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，問(wèn)他是一個(gè)癌癥患者的概率是多少？ 解

28、： 令 H={做實(shí)驗(yàn)的人為癌癥患者}，={做實(shí)驗(yàn)的人不為癌癥患者}，A={實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陽(yáng)性}，{實(shí)驗(yàn)結(jié)果反應(yīng)為陰性}，由貝葉斯公式可求得所要求的概率： 例10：兩信息分別編碼為X和Y傳送出去，接收站接收時(shí)，X被誤收作為Y的概率0.02,而Y被誤作為X的概率為0.01.信息X與Y傳送的頻繁程度之比為2:1,若接收站收到的信息為X，問(wèn)原發(fā)信息也是X的概率為多少? 解：設(shè)H={原發(fā)信息為X} 由題意可知 由貝葉斯公式便可求得所要求的概率為 例11：設(shè)有一箱產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，已知其中 的產(chǎn)品是由甲廠生產(chǎn)的，乙、丙兩廠的產(chǎn)品各占 ，已知甲，乙兩廠的次品率為2%，丙廠

29、的次品率為4%，現(xiàn)從箱中任取一產(chǎn)品（1）?????? 求所取得產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率；（2）?????? 求所取得產(chǎn)品是次品的概率；（3）?????? 已知所取得產(chǎn)品是次品，問(wèn)他是由甲廠生產(chǎn)的概率是多少？ 解：令 分別表示所取得的產(chǎn)品是屬于甲、乙、丙廠的事件，A={所取得的產(chǎn)品為次品} 顯然 ， ， ， 對(duì)問(wèn)題（1），由乘法公式可得所要求的概率： 對(duì)問(wèn)題（2），由全概率公式可得所要求的概率 ????????? 對(duì)問(wèn)題（3），由貝葉斯公式可得所要求的概率 四 獨(dú)立性 §1事件的獨(dú)立性 如果事件B的發(fā)生不影響事件A的概率，即 則稱(chēng)事件A對(duì)事件B獨(dú)立。

30、 如果事件A的發(fā)生不影響事件B的概率，即 ， 則稱(chēng)事件B對(duì)事件A獨(dú)立。 不難證明，當(dāng) 時(shí)，上述兩個(gè)式子是等價(jià)的。 事實(shí)上，如果 ，則有 反之，如果 ，則有 即 同樣可證 總之 ，可見(jiàn)事件獨(dú)立性是相互的。 定義1 設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果 ，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立。 例1,袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中（1）有放回；（2）無(wú)放回的取兩次球，每次取一球，令 A={第一次取出的是白球} B={第二次取出的是白球} 問(wèn)A，B是否獨(dú)立？ 解：（1）有放回取球情況，則有 2*3 可見(jiàn)， ，可見(jiàn)A，B獨(dú)立。 （2）無(wú)放回取球情況

31、，則有 可見(jiàn)， ，故A，B不獨(dú)立。（實(shí)際上就是抓鬮模型） 例2,設(shè)有兩元件，按串聯(lián)和并聯(lián)方式構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)Ⅰ，Ⅱ（見(jiàn)圖）每個(gè)元件的可靠性(即元件正常工作的概率)為r(0

32、B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 則稱(chēng)A，B，C為相互獨(dú)立的。 定義2：設(shè)A1，A2，……An為n個(gè)事件，如果對(duì)任意正整數(shù) 及上述事件中的任意P則稱(chēng)這n個(gè)事件A1，A2……，An是相互獨(dú)立的。 下面幾個(gè)結(jié)論是常用的 ： 其它三個(gè)必成立。 證：設(shè)A，B成立，即 ， 于是有 故 獨(dú)立。利用這個(gè)結(jié)果便可證明其它結(jié)論，即 （2）如果相互獨(dú)立，則 (3) 如果相互獨(dú)立，則 　證： 例3：三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為 　求密碼能被譯出的概率 　解：令　Ai＝｛第 個(gè)人能譯出密碼｝，I=1,2,3 ；A={密碼能被譯出}，所要求的

33、概率為 例4：設(shè)每支步槍擊中飛機(jī)的概率為? ，(1)現(xiàn)有250支步槍同時(shí)射擊，求飛機(jī)被擊中的概率; (2)若要以 概率擊中飛機(jī)，問(wèn)需多少支步槍同時(shí)射擊？ 解：　令A(yù)i=｛第i支步槍擊中飛機(jī)｝　 1,2,……,n；A={飛機(jī)被擊中} 對(duì)問(wèn)題（1），n=250,所要求的概率為 對(duì)問(wèn)題（2），n為所需的步數(shù)，按題意,　 即 , 即 于是得 §2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在相同條件下，將某試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n 次，且每次試驗(yàn)中任何一事件的概率不受其它次試驗(yàn)結(jié)果的影響，此種試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。 ????? 稱(chēng)此試驗(yàn)為貝努里試驗(yàn) n重貝努里試驗(yàn) 將貝努里試驗(yàn)獨(dú)立

34、重得n次所構(gòu)成n次獨(dú)立重得試驗(yàn)稱(chēng)為n重貝努里試驗(yàn)。 例如， （1）將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)——10重貝努里試驗(yàn) （2）在裝有8個(gè)正品，2個(gè)次品的箱子中，有放回地取5次產(chǎn)品，每次取一個(gè)，觀察取得次品的次數(shù) ——5重貝努里試驗(yàn) （3）向目標(biāo)獨(dú)立地射擊n次，每次擊中目標(biāo)的概率為P，觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)—n重貝努里試驗(yàn)等等 一個(gè)重要的結(jié)果：在n重貝努里實(shí)驗(yàn)中，假定每次實(shí)驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為p（0

35、，而在另外n-k次A不出現(xiàn)的所有可能事件之和，這及事件的獨(dú)立性便可得到在n重貝努里試驗(yàn)中事件A恰好出現(xiàn)k次的概率為 例5：設(shè)電燈泡的耐用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2,求三個(gè)燈泡在使用了1000小時(shí)之后：（1）? 恰有一個(gè)燈泡損壞的概率；（2）?????? 至多有一個(gè)燈泡損壞的概率。 解：在某一時(shí)刻觀察三個(gè)燈泡損壞情況為3重貝努里實(shí)驗(yàn)。令 A={燈泡是壞的}，則p=P(A)=0.8 若令Bi={有i個(gè)燈泡損壞}，i=0，1 2 3；對(duì)于問(wèn)題（1），所求的概率為 對(duì)于問(wèn)題（2），所求的概率為? 例6：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其次品率為0.01 ，該廠以每10個(gè)產(chǎn)品為

36、一包出售，并保證若包內(nèi)多于一個(gè)次品便可退貨，問(wèn)賣(mài)出的產(chǎn)品與被退的比例多大 解：賣(mài)出產(chǎn)品被退回的比例也即賣(mài)出一包產(chǎn)品被退回的概率，觀測(cè)一包內(nèi)次品（即事件A，p=P(A)=0.01）數(shù)的實(shí)驗(yàn)可視為10重貝努里實(shí)驗(yàn)。令則 令C={賣(mài)出一包被退回}，則 如果廠方以20個(gè)產(chǎn)品為一包出售，并保證包內(nèi)多于2個(gè)次品便可退貨，情況又將如何呢？ 完全類(lèi)似可算得 第二章 隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 一 隨機(jī)變量及其分布函數(shù) §1隨機(jī)變量的概念 為了對(duì)各種各樣不同性質(zhì)的試驗(yàn)?zāi)芤越y(tǒng)一形式表示實(shí)驗(yàn)中的事件，并能將微積分等數(shù)學(xué)工具引進(jìn)概率論。我們需引入隨機(jī)變量的概念。 隨機(jī)變量：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω

37、，在Ω上定義一個(gè)單值實(shí)函數(shù)X=X(e),e∈Ω,對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果e,Ｘ＝Ｘ(e)有確定的值與之對(duì)應(yīng)。由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果是隨機(jī)的，那Ｘ＝Ｘ（e）的取值也是隨機(jī)的，我們便稱(chēng)此定義在樣本空間 上的單值實(shí)函數(shù)Ｘ＝Ｘ（e）為一個(gè)隨機(jī)變量。 引進(jìn)隨機(jī)變量后，試驗(yàn)中的每個(gè)事件便可以通過(guò)此隨機(jī)變量取某個(gè)值或在某范圍內(nèi)取值來(lái)表示了。（見(jiàn)圖） 通俗講，隨機(jī)變量就是依照試驗(yàn)結(jié)果而取值的變量。 例1 向靶子（見(jiàn)圖）射擊一次，觀察其得分，規(guī)定 擊中區(qū)域Ⅰ得２分 擊中區(qū)域Ⅱ得１分 擊中區(qū)域Ⅲ得０分 樣本空間Ω＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ｝。定義隨機(jī)變量X表示射擊一次的得分 即　　　　　　 于是， 　　　

38、 例2 觀察某電話交換臺(tái)，在時(shí)間Ｔ?xún)?nèi)接到的呼喚次數(shù)。 樣本空間Ω＝｛０，１，２，……｝?？啥x隨機(jī)變量Ｘ就表示在時(shí)間Ｔ?xún)?nèi)接到的呼喚次數(shù)。于是， Ａ＝｛接到呼喚次數(shù)不超過(guò)１０次｝＝｛Ｘ≤１０｝ Ｂ＝｛接到呼喚次數(shù)介于５至１０次之間｝＝｛５≤Ｘ≤１０｝ ,, 例3 從一批燈泡中任取一個(gè)燈泡作壽命試驗(yàn)。觀察所測(cè)燈泡的壽命（單位：小時(shí)） 樣本空間Ω＝［０，＋∞］?？啥x隨機(jī)變量Ｘ表示所測(cè)得燈泡的壽命于是， Ａ＝｛測(cè)得燈泡壽命大于５００（小時(shí)）｝＝｛Ｘ>500｝ Ｂ＝｛測(cè)得燈泡壽命不超過(guò)５０００（小時(shí)）｝＝｛Ｘ≤５０００｝。 不具明顯數(shù)量性質(zhì)的試驗(yàn)也可以定義隨

39、機(jī)變量表示試驗(yàn)中每個(gè)事件。 例4將一枚硬幣上拋一次，觀察正，反面出現(xiàn)的情況。 試驗(yàn)的樣本空間Ω＝｛Ｈ，Ｔ｝，Ｈ－正面，Ｔ－反面。 可定義隨機(jī)變量Ｘ表示上拋１次硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，即 　　　　 于是，Ａ＝｛出現(xiàn)正面｝＝｛Ｘ＝１｝。 用隨機(jī)變量表示事件常見(jiàn)形式有 等等（這里X為隨機(jī)變量，χ，χ1，χ2等為實(shí)數(shù)） §2分布函數(shù) 定義 設(shè)X為隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)χ，則稱(chēng)函數(shù) F（χ）=P{X≤χ} 為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 例1 機(jī)房?jī)?nèi)有兩臺(tái)設(shè)備，令X表示某時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，并知P{X=0}=0.5， P{X=1}=0.3，P{X=2}=0.2，求X的分布

40、函數(shù)F（χ）。 解：由于X的可能取值為0，1，2故應(yīng)分情況討論： （1）?????? 當(dāng)χ<0時(shí)，F(xiàn)（χ）=P{X≤χ}=0 （2）?????? 當(dāng)0≤χ<1時(shí)，F(xiàn)（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}=0.5 （3）?????? 當(dāng)1≤χ<2時(shí)，F(xiàn)（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}=0.5+0.3=0.8 （4）?????? 當(dāng)χ≥2時(shí)，F(xiàn)（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=1 總之， 例2 向一半徑為2米的圓形靶子射擊，假設(shè)擊中靶上任何一同心圓的概率為該同心圓的面積成正比，且每次射擊必中靶。令

41、X表示彈著點(diǎn)到靶心距離，求X的分布函數(shù)F（χ）。 解： 當(dāng)χ<0時(shí)，F(xiàn)（χ）=P{X≤χ}=0 當(dāng)0≤χ≤2時(shí)，F(xiàn)（χ）=P{X≤χ}=P{擊中半徑為χ的同心圓}=λπχ2 特別，當(dāng)χ=2時(shí)，1=F{2}=λπ4，解得λ=1/4π，代入上式便得 當(dāng)χ>2時(shí)，F(xiàn)（χ）=P{X≤χ}=1 性質(zhì) 1。F（χ）是單調(diào)不減的，即對(duì)任意χ1<χ2，有 F（χ1）≤F（χ2）； 2。0≤F（χ）≤1且F（-∞）=0，F(xiàn)（+∞）=1； 3。F（χ）為右連續(xù)的，即對(duì)任意χ，有F（χ+0）= F（χ）。

42、 可以證明（略）以上三條性質(zhì)是分布函數(shù)所具有的三條基本共同特性。 利用分布函數(shù)可求隨機(jī)變量落在某些區(qū)間上的概率，如 等等。 例3在前面打靶的例子中，已知X表示彈著點(diǎn)到靶心距離，并求得其分布函數(shù)為 于是便可以利用此分布函數(shù)，求出擊中靶上環(huán)形區(qū)域（見(jiàn)圖）的概率 隨機(jī)變量分類(lèi)： 二 離散型隨機(jī)變量及其分布律 §1離散型隨機(jī)變量及其分布律的概念 定義：如果隨機(jī)變量X的所有可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量。 X χ1 χ2 …… χn …… p …… ……

43、設(shè)X的所有可能取值為χ1，χ2，……χn，……，則稱(chēng)下列一組概率 P{X=χi}=ρi，i=1,2,……，n,…… 為X的分布律。分布律也常常寫(xiě)成表格形式 性質(zhì)： 1。pi≥0,一切I； 2。 例1 設(shè)袋中裝著分別標(biāo)有-1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個(gè)球，現(xiàn)從袋中任取一球，令X表示取得球上所標(biāo)的數(shù)字，求X的分布律。 X -1 2 3 p 1/6 1/2 1/3 解： X的可能取值為-1，2，3，且容易求得 故X的分布律為 例：相同條件下，獨(dú)立的向目標(biāo)射擊4次，設(shè)每次擊中目標(biāo)的概率為0.8，求擊中目標(biāo)次數(shù)X的分布律 解： X的可能取值為0，1，2

44、，3，4利用二項(xiàng)概率公式便可求得 X 0 1 2 3 4 p 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096 X的分布律為 例2 社會(huì)上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券，每券一元，中獎(jiǎng)率為p，某人每次買(mǎi)1張獎(jiǎng)券，如果沒(méi)有中獎(jiǎng)便繼續(xù)買(mǎi)一張，直到中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)券次數(shù)X的分布律。如果中獎(jiǎng)率為1%，問(wèn)他至少應(yīng)買(mǎi)多少?gòu)埅?jiǎng)券才能以不少于99%的概率中獎(jiǎng)。 解：（1） 令A(yù)i={第i次購(gòu)買(mǎi)的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)}，i=1,2,…… X的分布律為 X 1 2 3 …… i …… p p (1-

45、p)p (1-p)2p …… （1-p）i-1p …… （2）設(shè)n為所需購(gòu)買(mǎi)的獎(jiǎng)券數(shù)，按題意P{X≤n}≥99% 即 即 例4 某產(chǎn)品40件，其中有次品3件，現(xiàn)從中任取3件，（1）求取出的3件產(chǎn)品中所含次品數(shù)X的分布律；（2）求取出產(chǎn)品中至少有一件次品的概率；（3）求出X的分布函數(shù)F（x），并作其圖形。 解：（1）X的可能取值為0，1，2，3，且有 于是X的分布律為 X 0 1 2 3 P 0.7865 0.2022 0.0112 0.0001 （2）任取3件產(chǎn)品中至少含有一件次品的概率為

46、P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135或 P{X≥1}=1－P{X＜1＝1－P{X=0}=1－0.7865=0.2135 （3）由分布函數(shù)定義不難求得X的分布函數(shù)為 離散型隨機(jī)變量其分布函數(shù)的圖形有如下特點(diǎn)： (1)階梯形；（2）僅在其可能取值處有跳躍；（3）其躍度為此隨機(jī)變量在該處取值的概率。 一般，若X的分布律為P{X=χi }=pi ,i=1,2,……，則X落在區(qū)間I內(nèi)的概率便為 從而，X的分布函數(shù)與分布律的關(guān)系便為 X 0 1 p q p §2幾個(gè)重要分布 1

47、.兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量X的分布律為 其中0

48、則稱(chēng)X服從參數(shù)為（n,p）的二項(xiàng)分布，記為X~B（n,p） 實(shí)際背景：由第一章，獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)一段中可知，在n重貝努里實(shí)驗(yàn)中，如果每次實(shí)驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為p(0

49、 6 P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780 用水量正常天數(shù)不少于5天的概率為 例7 一批產(chǎn)品的廢品率為0.03，進(jìn)行20次獨(dú)立重復(fù)抽樣，求出現(xiàn)廢品的頻率為0.1的概率。 解：令X表示20次獨(dú)立重復(fù)抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù).????? X~B（20，0.03） （注意：不能用X表示頻率，若X表示頻率，則它就不服從二項(xiàng)分布）所求的概率為 泊松定理 如果 , 則有 近似公式：設(shè)n充分大, p足夠小(一般n≥10,p≤0.1)時(shí), 有 ? 例8:利用近似公式計(jì)算前例中的概率. 解: 例9

50、:有20臺(tái)同類(lèi)設(shè)備由一人負(fù)責(zé)維修,各臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01,且各臺(tái)設(shè)備工作是獨(dú)立的,試求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率.若由3人共同維修80臺(tái)設(shè)備情況又如何? 解: (1) 1人維修20臺(tái)設(shè)備. 令X表示某時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù). X~B(20,0.01) 于是,發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為 (2)3人維修80臺(tái)設(shè)備 假設(shè)X表示某時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，X~B（80，0.01）于是，發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為 3.泊松分布 如果隨機(jī)變量X的分布律為 其中λ＞0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~π(λ) 或者X~P(λ) 實(shí)際背景：滿足下列條件的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流

51、（一串重復(fù)出現(xiàn)的事件）稱(chēng)為泊松流。 （1）在時(shí)間 內(nèi)流過(guò)質(zhì)點(diǎn)數(shù)的概率僅與 有關(guān)，與t無(wú)關(guān)； (2)不相交的時(shí)間間隔內(nèi)流過(guò)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)彼此獨(dú)立； (3)在充分短的一瞬間只能流過(guò)一個(gè)或沒(méi)有質(zhì)點(diǎn)流過(guò)，要流過(guò)2個(gè)或2個(gè)以上質(zhì)點(diǎn)幾乎是不可能的?？梢宰C明泊松流在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)質(zhì)點(diǎn)數(shù)便服從泊松分布。 例如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)接到的呼喚次數(shù)； 單位時(shí)間內(nèi)走進(jìn)商店的顧客數(shù)等等；均可認(rèn)為它們服從泊松分布。 例10：設(shè) 且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4} 解：由于 ，即X的分布律為 于是有 由條件 P{X=1}=P{X=2} 可得方程

52、 即 即 解得 λ=2，0（棄去） 所以 于是 例11：設(shè)電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)λ=3的泊松分布。（1）求在一分鐘內(nèi)接到超7次呼喚的概率；（2）若一分鐘內(nèi)一次呼喚需要占用一條線路。求該交換臺(tái)至少要設(shè)置多少條線路才能以不低于90%的概率使用戶得到及時(shí)服務(wù)。 解：（1） ，其分布律為 于是，在一分鐘內(nèi)接到超過(guò)7次呼喚的概率為 （2）設(shè)所需設(shè)備的線路為K條，按題意應(yīng)有 P{X≤K}≥90% 即 P{X≤K}=1-P{X＞K}=1-P{X≥K+1}≥0.9 即 P{X≥K+1}≤0.1 查表得 P{X≥6}=

53、0.0839 而P{X≥5}=0.1847 ,故應(yīng)取 K+1=6，即 K=5 所以，至少要設(shè)置5條線路才能符合要求。 三 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 §1連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念 所謂連續(xù)型隨機(jī)變量是指此隨機(jī)變量的可能取值至少應(yīng)充滿某個(gè)區(qū)間且其分布函數(shù)應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的，連續(xù)型隨機(jī)變量X有以下特點(diǎn)： (1) 對(duì)任意實(shí)數(shù)x， 事實(shí)上，； (2) 下面建立連續(xù)型隨機(jī)變量X在實(shí)數(shù)x處的概率密度（概念的引入） 首先，考慮X落在區(qū)間 內(nèi)的概率 其次，求出X落在區(qū)間 內(nèi)的平均概率密度 最后，令 便得到X在x處的概率密度 令 ，從而便有 1.定義 設(shè) 為隨機(jī)變

54、量X的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù) 使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有 ，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量， 為X的概率密度。 性質(zhì) 一切x； 事實(shí)上由于 ， 2.一個(gè)重要結(jié)果 事實(shí)上， 3.幾何解釋 （1） ，表明密度曲線 在x軸上方； （2） 表明密度曲線 與x軸所夾圖形的面積為1； （3） 表明X落在區(qū)間（a,b）內(nèi)的概率等于以區(qū)間（a,b）為底，以密度曲線 為頂?shù)那吿菪蚊娣e。 4.關(guān)系： 例1：已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為求系數(shù)k及分布函數(shù)F（χ），并計(jì)算概率P{1.5

55、X的概率密度為 （2）當(dāng) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 總之， （3） 例2.一種電子管的使用壽命為X小時(shí)，其概率密度為某儀器內(nèi)裝有三個(gè)這樣電子管，試求使用150小時(shí)內(nèi)只有一個(gè)電子管需要換的概率。 解：首先計(jì)算一個(gè)電子管使用壽命不超過(guò)150小時(shí)的概率，此概率為 令Y表示工作150小時(shí)內(nèi)損壞的電子管數(shù)，則 Y服從二項(xiàng)分布 于是，此儀器工作150小時(shí)內(nèi)僅需要更換一個(gè)電子管的概率 §2幾個(gè)重要分布 1．? 均勻分布 如果隨機(jī)變量X的概率密度為則稱(chēng)X在區(qū)間[a,b ]上服從均勻分布，記為X~U[a,b]；其分布函數(shù)為 實(shí)際背景：如果實(shí)驗(yàn)中所定義的隨機(jī)變量X

56、僅在一個(gè)有限區(qū)間[a,b]上取值，且在其內(nèi)取值具有“等可能”性，則X~U[a,b]。 例2.某公共汽車(chē)從上午7:00起每隔15分鐘有一趟班車(chē)經(jīng)過(guò)某車(chē)站,即7:00,7:15,7:30,…時(shí)刻有班車(chē)到達(dá)此車(chē)站,如果某乘客是在7:00至7:30等可能地到達(dá)此車(chē)站候車(chē),問(wèn)他等候不超過(guò)5分鐘便能乘上汽車(chē)的概率。 解：設(shè)乘客于7點(diǎn)過(guò)X分鐘到達(dá)車(chē)站，則X~U[0,30],即其概率密度為 于是該乘客等候不超過(guò)5分鐘便能乘上汽車(chē)的概率為 2．指數(shù)分布 如果隨機(jī)變量X的概率密度為其中 ，則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X~E(λ)，其分布函數(shù)為 實(shí)際背景：在實(shí)踐中，如果隨機(jī)變

57、量X表示某一隨機(jī)事件發(fā)生所需等待的時(shí)間，則一般X~E(λ)。 例如，某電子元件直到損壞所需的時(shí)間（即壽命）；隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間；在某郵局等候服務(wù)的等候時(shí)間等等均可認(rèn)為是服從指數(shù)分布。 例3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ=0.015的指數(shù)分布， （1）?????? 求 ；（2）?????? 若要使 問(wèn)x應(yīng)當(dāng)在哪個(gè)范圍內(nèi)？ 解：由于X~E(0.015)即其概率密度為 于是，（1） （2）要使 即 取對(duì)數(shù)，便得 于是便解得 3.正態(tài)分布（高斯分布） △如果隨機(jī)變量X的概率密度為其中 為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù) 的正態(tài)分布，記為X~N 。 △實(shí)際

58、背景：在實(shí)踐中，如果隨機(jī)變量X表示許許多多均勻微小隨機(jī)因素的總效應(yīng)，則它通常將近似地服從正態(tài)分布，如：測(cè)量產(chǎn)生的誤差；彈著點(diǎn)的位置；噪聲電壓；產(chǎn)品的尺寸等等均可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布。 △正態(tài)密度曲線： 參數(shù) 對(duì)密度曲線的影響 開(kāi)拓思路： 怎樣利用導(dǎo)數(shù)作圖？ (1)?當(dāng) 不變 改變時(shí)，密度曲線 形狀不變，但位置要沿x軸方向左，右平移。（實(shí)際上就是落在曲邊梯形內(nèi)部的平均概率） (2)當(dāng)μ不變 改變時(shí)， 變大，曲線變平坦； 變小，曲線變尖窄 △分布函數(shù)： （積分是存在的，但是不能用初等函數(shù)表示） △標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： 稱(chēng) 的正態(tài)分布N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度為；分布函數(shù)為（其

59、值有表可查） 變量替換，積分限變化 公式 證： 例5.設(shè)X~ N(0,1) 求 解： 例6.設(shè)X~N(0,1),要使 問(wèn)λ應(yīng)為何值？ 解：由于 即 反查表，便得 6.一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)分布的關(guān)系： 若 ）,其分布函數(shù)為F(X)，則有 證： = 7.正態(tài)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率： 如果 則 事實(shí)上，由 立即可得 例7. 設(shè) 試求 解： 例8 從某地乘車(chē)前往火車(chē)站搭火車(chē)，有兩條路可走（1）走市區(qū)路程短，但交通擁擠，所需時(shí)間 ，(2)走郊區(qū)路程長(zhǎng)，但意外阻塞少，

60、所需時(shí)間 。 問(wèn)若有70分鐘可用，應(yīng)走哪條路線？ 解：走市區(qū)及時(shí)趕上火車(chē)的概率為 走郊區(qū)及時(shí)趕上火車(chē)的概率為 ；故應(yīng)走郊區(qū)路線。 如果還有65分鐘可用情況又如何呢？ 同樣計(jì)算，走市區(qū)及時(shí)趕上火車(chē)的概率為 而走郊區(qū)及時(shí)趕上火車(chē)的概率便為 此時(shí)便應(yīng)改走市區(qū)路線。 四 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 §1離散型隨機(jī)變量的情況 所謂隨機(jī)變量X的函數(shù)是指Y也是一個(gè)隨機(jī)變量，且每當(dāng)X取值為χ時(shí)， Y的取值便為 例如，車(chē)床車(chē)軸，若令X表示車(chē)出軸的直徑，Y表示車(chē)出軸的橫斷面積，則 問(wèn)題：已知X的分布，求的分布。 X -1 0 1 2 5/2 P 2/1

61、0 1/10 1/10 3/10 3/10 例 1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 求（1）Y=X-1，（2）的分布律 解：（1）由隨機(jī)變量函數(shù)的概念便可由X的可能值求出Y的可能值，見(jiàn)下表： Y=X-1 -2 -1 0 1 3/2 X -1 0 1 2 5/2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 Y=X-1 -2 -1 0 1 3/2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 于是便得Y的分布律 （2）Y=-2X2的可能值由下表給出 Y=-2X2 -2 0 -2

62、 -8 -25/2 X -1 0 1 2 5/2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 由于Y的值有相同的，即-2 ，因此應(yīng)將其合并，相應(yīng)的概率應(yīng)按概率的可加性進(jìn)行相加，即 Y=-2X2 -25/2 -8 -2 0 P 3/10 3/10 3/10 1/10 最后，得 Y的分布律為 §2連續(xù)型隨機(jī)變量的情況 “分布函數(shù)法”——先求Y=g(x)的分布函數(shù)，然后再求導(dǎo)便可得到Y(jié)的概率密度 例 2 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 ，試求X的線性函數(shù) [ 為常數(shù)] 的概率密度 解：Y的分布函數(shù) （分布函數(shù)的定義

63、） 當(dāng) 時(shí) 于是 （注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)） 當(dāng) 時(shí)， 于是， 以上 兩種情況所得結(jié)果可以合并為如下形式 特別，當(dāng) 時(shí)，則運(yùn)用上述結(jié)果便可得線性變換 的概率密度為? 此結(jié)果證明：正態(tài)分布的隨機(jī)變量經(jīng)線性變換后，仍是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 特別，取 代入上面結(jié)果便得Y的 分布為 即Y~N(0,1) 稱(chēng) 為標(biāo)準(zhǔn)化變換 例 3 證X~N(0,1),求 的概率密度 （非線性） 解：Y的分布函數(shù) 當(dāng)y>0時(shí)， 于是 當(dāng) 從而 總之 例5設(shè)電流I為隨機(jī)變量，它在9（安培）~11（安培）之間均勻分布

64、，若此電流通過(guò)2歐姆電阻， 求在此電阻上消耗功率 的概率密度 解：W的分布函數(shù)為 兩邊求導(dǎo)，便得W的概率密度 當(dāng) 因?yàn)镮~U[9,11],即其概率密度 所以 ， 故 第三章 二維隨機(jī)變量及其分布 一、 二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布 ?? 設(shè)Ω為某實(shí)驗(yàn)的樣本空間，X和Y是定義在Ω上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則稱(chēng)有序隨機(jī)變量對(duì)（X,Y）為二維隨機(jī)變量。 逗號(hào)代表二者同時(shí)發(fā)生 比如，研究某地區(qū)人口的健康狀況可能取身高和體重兩個(gè)參數(shù)作為隨機(jī)變量；打靶彈著點(diǎn)選取橫縱坐標(biāo)。 §3.1.1聯(lián)合分布函數(shù) 定義1：設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)χ，y，稱(chēng)二元函數(shù)F

65、（χ,y）=P{X≤χ,Y≤y}為（X，Y）的分布函數(shù)或稱(chēng)為X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 幾何上，F(xiàn)（χ，y）表示（X，Y）落在平面直角坐標(biāo)系中以（χ,y）為頂點(diǎn)左下方的無(wú)窮矩形內(nèi)的概率（見(jiàn)圖） y （x,y） 二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)F（x,y）具有以下四條基本性質(zhì)： 0 x 1°F(x,y)對(duì)每個(gè)自變量是單調(diào)不減的，即若x1

66、右連續(xù)的，即 F（x+0,y）= F（x,y）, F（x,y+0）= F（x,y） 4° 對(duì)任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0 事實(shí)上，由圖可見(jiàn)(見(jiàn)右圖) ??? F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1) 減了兩次 ? 例1設(shè)（X，Y）的分布函數(shù)為 解：由性質(zhì)4°可得 ?? ?? §3.1.2聯(lián)合分布律 定義2：如果二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為有限對(duì)或可列對(duì)，則稱(chēng)（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量 設(shè)（X，Y）的所有可能取值為（xi,yj）,i ,j=1,2,……，則稱(chēng)下列一組概率 P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，為（X，Y）的分布律，或稱(chēng)為X與Y 的聯(lián)合分布律,用表格表示: X Y y 1 y 2 …… yj …… χ1 p11 p12 …… p1j …… χ2 p21 p22 …… p2j …… ┆ ┆ ┆