新編高考理科導(dǎo)學(xué)案【第四章】三角函數(shù)、解三角形 學(xué)案22

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案22　簡單的三角恒等變換 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應(yīng)用.2.能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換． 自主梳理 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________； (2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)． 2．公式的逆向變換及有關(guān)變形 (1)sin αcos α＝______________

2、______?cos α＝； (2)降冪公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________； 升冪公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 變形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________________. 自我檢測 1．(2010·陜西)函數(shù)f(x)＝2sin xcos x是 (　　) A．最小正周期為2π的奇函數(shù) B．最小正周期為2π的偶函數(shù)

3、 C．最小正周期為π的奇函數(shù) D．最小正周期為π的偶函數(shù) 2．函數(shù)f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分別為 (　　) A．－3,1 B．－2,2 C．－3， D．－2， 3．函數(shù)f(x)＝sin xcos x的最小值是 (　　) A．－1 B．－ C. D．1 4．(2011·清遠月考)已知A、B為直角三角形的兩個銳角，則sin A·sin B (　　) A．有最大值，最小

4、值0 B．有最小值，無最大值 C．既無最大值也無最小值 D．有最大值，無最小值 探究點一　三角函數(shù)式的化簡 例1　求函數(shù)y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值． 變式遷移1　(2011·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)＝. (1)求f的值； (2)當(dāng)x∈時，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． 探究點二　三角函數(shù)式的求值 例2　已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tan α－－1的值． 變式遷移2　(1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求

5、的值． (2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值． 探究點三　三角恒等式的證明 例3　(2011·蘇北四市模擬)已知sin(2α＋β)＝3sin β，設(shè)tan α＝x，tan β＝y(tǒng)，記y＝f(x)． (1)求證：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f(x)的解析表達式； (3)若角α是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域． 變式遷移3　求證： ＝. 轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 例　(12分)(2010·江西)已知函數(shù)f(x)＝ sin2x＋msinsin. (1)當(dāng)m＝0時，求f(x)在區(qū)間

6、上的取值范圍； (2)當(dāng)tan α＝2時，f(α)＝，求m的值． 【答題模板】 解　(1)當(dāng)m＝0時，f(x)＝sin2x ＝sin2x＋sin xcos x＝ ＝，[3分] 由已知x∈，得2x－∈，[4分] 所以sin∈，[5分] 從而得f(x)的值域為.[6分] (2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－cos 2x ＝＋sin 2x－cos 2x ＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝， cos 2α＝＝＝－.[10分] 所以＝＋，[11分] 解得m＝－2.[12分] 【突破思維障礙】 三角

7、函數(shù)式的化簡是指利用誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等，將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果．化簡三角函數(shù)式的基本要求是：(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值；(2)使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少；(3)分式中的分母盡量不含根式等． 1．求值中主要有三類求值問題： (1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解． (2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)

8、值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系． (3)“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角． 2．三角恒等變換的常用方法、技巧和原則： (1)在化簡求值和證明時常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等． (2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，＝＋，是的二倍角等． (3)化繁為簡：變復(fù)角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有理式． 消除差異

9、：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(2011·平頂山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，則cos(α－π)等于 (　　) A. B．－ C. D．－ 2．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 (　　) A. B. C. D. 3．(2011·石家莊模擬)已知cos 2α＝ (其中α∈)，則sin α的值為 (　　) A.

10、 B．－ C. D．－ 4．若f(x)＝2tan x－，則f的值為 (　　) A．－ B．8 C．4 D．－4 5．(2010·福建廈門外國語學(xué)校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，則sin B的值是 (　　) A. B. C. D．1 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(2010·全國Ⅰ)已知α為第二象限的角，且sin

11、 α＝，則tan 2α＝________. 7．函數(shù)y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________． 8．若＝－，則cos α＋sin α的值為________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)化簡：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2). 10．(12分)(2011·南京模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin xcos x－cos xsin－. (1)求f(x)的最小正周期； (2)當(dāng)∈時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值． 11．(14分)(2010·北京)已知函數(shù)f(x)＝2cos 2x＋sin2x

12、－4cos x. (1)求f()的值； (2)求f(x)的最大值和最小值． 答案 自主梳理 1．(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α (3)　2.(1)sin 2α　(2)　　2cos2　2sin2　(sin α±cos α)2 自我檢測 1．C　2.C　3.B　4.D 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　化簡的原則是形式簡單，三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值．本題要充分利用倍角公式進行降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵． 解　y＝7－4sin xcos x＋

13、4cos2x－4cos4x ＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x) ＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x ＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6， 由于函數(shù)z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值為zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值為zmin＝(1－1)2＋6＝6， 故當(dāng)sin 2x＝－1時，y取得最大值10， 當(dāng)sin 2x＝1時，y取得最小值6. 變式遷移1　解　(1)f(x) ＝ ＝ ＝＝＝2cos 2x， ∴f＝2cos＝2cos ＝. (2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x ＝sin. ∵x∈，

14、∴2x＋∈， ∴當(dāng)x＝時，g(x)max＝， 當(dāng)x＝0時，g(x)min＝1. 例2　解題導(dǎo)引　(1)這類問題一般是先化簡再求值；化簡后目標(biāo)更明確； (2)如果能從已知條件中求出特殊值，應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角，可簡化運算，對切函數(shù)通常化為弦函數(shù)． 解　由sin(＋2α)·sin(－2α) ＝sin(＋2α)·cos(＋2α) ＝sin(＋4α)＝cos 4α＝， ∴cos 4α＝，又α∈(，)，故α＝， ∴2sin2α＋tan α－－1 ＝－cos 2α＋ ＝－cos 2α＋ ＝－cos－＝. 變式遷移2　解　(1)∵α是第一象限角，cos α＝， ∴sin α＝. ∴＝

15、 ＝ ＝＝＝－. (2)cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin ＝(cos 2α－sin 2α)， ∵≤α<π， ∴≤α＋<π. 又cos(α＋)＝>0， 故可知π<α＋<π， ∴sin(α＋)＝－， 從而cos 2α＝sin(2α＋) ＝2sin(α＋)cos(α＋) ＝2×(－)×＝－. sin 2α＝－cos(2α＋) ＝1－2cos2(α＋) ＝1－2×()2＝. ∴cos(2α＋)＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－) ＝－. 例3　解題導(dǎo)引　本題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明，對于三角恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條

16、件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同，特別是分析已知和要求的角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系，則容易找到思路．證明三角恒等式的實質(zhì)就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證．對于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手，利用兩角和的正切公式可得關(guān)系．第(3)小題則利用基本不等式求解即可． (1)證明　由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α] ＝3sin[(α＋β)－α]， 即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴ta

17、n(α＋β)＝2tan α. (2)解　由(1)得＝2tan α，即＝2x， ∴y＝，即f(x)＝. (3)解　∵角α是一個三角形的最小內(nèi)角， ∴0<α≤，0

18、　[因為α＋＋β－＝α＋β， 所以α＋＝(α＋β)－. 所以tan＝tan ＝＝.] 3．B　[∵＝cos 2α＝1－2sin2α， ∴sin2α＝.又∵α∈， ∴sin α＝－.] 4．B　[f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋ ＝＝ ∴f＝＝8.] 5．C　[由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化簡變形，得2cos2B－3cos B＋1＝0， ∴cos B＝或cos B＝1(舍)． ∴sin B＝.] 6．－ 解析　因為α為第二象限的角，又sin α＝， 所以cos α＝－，tan α＝＝－， 所以tan 2α＝＝－. 7．1－ 解析　∵y＝2

19、cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin＋1， ∴當(dāng)sin(2x＋)＝－1時，函數(shù)取得最小值1－. 8. 解析　∵＝ ＝－(sin α＋cos α)＝－， ∴cos α＋sin α＝. 9．解　(1)∵sin 2α＝2sin αcos α， ∴cos α＝，…………………………………………………………………………(2分) ∴原式＝··· ＝＝.……………………………………………………………………(6分) (2)原式＝………………………………………………………(9分) ＝＝＝tan4α.……………………………………

20、…………………(12分) 10．解　f(x)＝sin xcos x－cos xsin－ ＝sin 2x－cos 2x－1 ＝sin－1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T＝＝π，故f(x)的最小正周期為π.…………………………………………………(6分) (2)因為0≤x≤，所以－≤2x－≤. 所以當(dāng)2x－＝，即x＝時，f(x)有最大值0， ……………………………………………………………………………………………(10分) 當(dāng)2x－＝－，即x＝0時，f(x)有最小值－. ……………………………………………………………………………………………(12分) 11．解　(1)f()＝2cos＋sin2－4cos ＝－1＋－2＝－.………………………………………………………………………(4分) (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cos x ＝3cos2x－4cos x－1 ＝3(cos x－)2－，x∈R.………………………………………………………………(10分) 因為cos x∈[－1,1]， 所以，當(dāng)cos x＝－1時，f(x)取得最大值6； 當(dāng)cos x＝時，f(x)取得最小值－.…………………………………………………(14分)