新編高考數學人教A版理科含答案導學案【第二章】函數與基本初等函數I 學案4

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1、新編高考數學復習資料 第二章　函　數 學案4　函數及其表示 導學目標： 1.了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法等)表示函數.3.了解簡單的分段函數，并能簡單應用． 自主梳理 1．函數的基本概念 (1)函數定義 設A，B是非空的 ，如果按照某種確定的對應關系f,使對于集合A中的 ,在集合B中 ，稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數，x的取值范圍A叫做函數的__________，____________

2、______叫做函數的值域． (2)函數的三要素 __________、________和____________． (3)函數的表示法 表示函數的常用方法有：________、________、________. (4)函數相等 如果兩個函數的定義域和__________完全一致，則這兩個函數相等，這是判定兩函數相等的依據． (5)分段函數：在函數的________內，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的____________，這樣的函數通常叫做分段函數． 分段函數是一個函數，它的定義域是各段取值區(qū)間的________，值域是各段值域的________． 2．映射的概念

3、 (1)映射的定義 設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中 確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的 . （2）由映射的定義可以看出，映射是 概念的推廣，函數是一種特殊的映射，要注意構成函數的兩個集合，A、B必須是 數集. 自我檢測 1．(2011·佛山模擬)設集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列4個圖形，其中能表示集合M到N的函數關系的有(　　) A．0個

4、 B．1個 C．2個 D．3個 2．(2010·湖北)函數y＝的定義域為(　　) A．(，1) B．(，＋∞) C．(1，＋∞) D．(，1)∪(1，＋∞) 3．(2010·湖北)已知函數f(x)＝，則f(f())等于(　　) A．4 B. C．－4 D．－ 4．下列函數中，與函數y＝x相同的函數是(　　)

5、 A．y＝ B．y＝()2 C．y＝lg 10x D．y＝2log2x 5．(2011·衡水月考)函數y＝lg(ax2－ax＋1)的定義域是R，求a的取值范圍．  探究點一　函數與映射的概念 例1　(教材改編)下列對應關系是集合P上的函數的是________． (1)P＝Z，Q＝N*，對應關系f：對集合P中的元素取絕對值與集合Q中的元素相對應； y＝x2，x∈P，y∈Q； （2）P={-1,1,-2,2}，Q={1，4}，對應關系:f:x→y=x2,x∈P,

6、y∈Q; (3)P={三角形}，Q={x|x>0}，對應關系f:對P中三角形求面積與集合Q中元素對應. 變式遷移1 已知映射f:A→B.其中B．其中A＝B＝R，對應關系f：x→y＝－x2＋2x，對于實數k∈B，在集合A中不存在元素與之對應，則k的取值范圍是 (　　) A．k>1 B．k≥1 C．k<1 D．k≤1 探究點二　求函數的定義域 例2　(1)求函數y＝＋的定義域； (2)已知函數f(2x＋1)的定義域為(0

7、,1)，求f(x)的定義域． 變式遷移2　已知函數y＝f(x)的定義域是[0,2]，那么g(x)＝的定義域是________________________________________________________________________． 探究點三　求函數的解析式 例3　(1)已知f(＋1)＝lg x，求f(x)； (2)已知f(x)是一次函數，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)； (3)已知f(x)滿足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)． 變式遷移3　(2011·武漢模擬)給出下列兩個條件： (1)f(

8、＋1)＝x＋2； (2)f(x)為二次函數且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.試分別求出f(x)的解析式． 探究點四　分段函數的應用 例4　設函數f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關于x的方程f(x)＝x的解的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 變式遷移4　(2010·江蘇)已知函數f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范圍是________________． 1．與定義域有關的幾類問題 第一類是給出函數的解析式，這時函數

9、的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍； 第二類是實際問題或幾何問題，此時除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題或幾何問題有意義； 第三類是不給出函數的解析式，而由f(x)的定義域確定函數f[g(x)]的定義域或由f[g(x)]的定義域確定函數f(x)的定義域． 第四類是已知函數的定義域，求參數范圍問題，常轉化為恒成立問題來解決． 2．解析式的求法 求函數解析式的一般方法是待定系數法和換元法，除此還有代入法、拼湊法和方程組法． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．下列各組中的兩個函數是同一函數的為

10、 (　　) (1)y1＝，y2＝x－5； (2)y1＝，y2＝； (3)f(x)＝x，g(x)＝； (4)f(x)＝，F(xiàn)(x)＝x； (5)f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5. A．(1)(2) B．(2)(3) C．(4) D．(3)(5) 2．函數y＝f(x)的圖象與直線x＝1的公共點數目是 (　　) A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 3．(2011·洛陽模擬)已知f(x)＝若f(x)＝3，則x的值是 (　　) A．1 B．

11、1或 C．1，或± D. 4．(2009·江西)函數y＝的定義域為 (　　) A．(－4，－1) B．(－4,1) C．(－1,1) D．(－1,1] 5.（2011·臺州模擬）設f:x→x2是從集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，則A∩B為 (　　) A．? B．{1} C．?或{2} D．?或{1} 題號 1 2 3 4

12、 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．下列四個命題：(1)f(x)＝＋有意義；(2)函數是其定義域到值域的映射；(3)函數y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線；(4)函數y＝的圖象是拋物線．其中正確的命題個數是________． 7．設f(x)＝，g(x)＝， 則f[g(3)]＝________，g[f(－)]＝________. 8．(2010·陜西)已知函數f(x)＝若f(f(0))＝4a，則實數a＝______. 三、解答題(共38分) 9．(12分)(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表達式； (2)若2f(x)－f(－x)＝

13、x＋1，求f(x)的表達式； (3)若函數f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的表達式． 10．(12分)已知f(x)＝x2＋2x－3，用圖象法表示函數g(x)＝，并寫出g(x)的解析式． 11．(14分)(2011·湛江模擬)某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產產品x(百臺)，其總成本為G(x)萬元，其中固定成本為2萬元，并且每生產100臺的生產成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產成本)，銷售收入R(x)(萬元)滿足R(x)＝假定該產品產銷平衡，那么根據上述統(tǒng)計規(guī)律： (1)要使工廠有盈利，

14、產品x應控制在什么范圍？ (2)工廠生產多少臺產品時盈利最大？此時每臺產品的售價為多少？ 答案 自主梳理 1．(1)數集　任意一個數x　都有唯一確定的數f(x)和它對應　定義域　函數值的集合{f(x)|x∈A}　(2)定義域 值域　對應關系　(3)解析法　列表法　圖象法　(4)對應關系　(5)定義域　對應關系　并集　并集　2.(1)都有唯一　一個映射　(2)函數　非空 自我檢測 1．B　[對于題圖(1)：M中屬于(1,2]的元素，在N中沒有象，不符合定義； 對于題圖(2)：M中屬于(，2]的元素的象，不屬于集合N，因此它不表示M到N的函數關系；對于題圖(3)：符合

15、M到N的函數關系；對于題圖(4)：其象不唯一，因此也不表示M到N的函數關系．] 2．A　3.B　4.C 5．解　函數y＝lg(ax2－ax＋1)的定義域是R，即ax2－ax＋1>0恒成立． ①當a＝0時，1>0恒成立； ②當a≠0時，應有 ∴0

16、中集合P不是數集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函數．由題意知，(2)正確． 變式遷移1　A　[由題意知，方程－x2＋2x＝k無實數根，即x2－2x＋k＝0無實數根．∴Δ＝4(1－k)<0，∴k>1時滿足題意．] 例2　解題導引　在(2)中函數f(2x＋1)的定義域為(0,1)是指x的取值范圍還是2x＋1的取值范圍？f(x)中的x與f(2x＋1)中的2x＋1的取值范圍有什么關系？ 解　(1)要使函數有意義， 應有即 解得 所以函數的定義域是{x|－1≤x<1或1

17、)． 變式遷移2　(－1，－)∪(－，] 解析　由得－1

18、ax＋b，(a≠0) 則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋b＋5a＝2x＋17， ∴ ∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7. (3)2f(x)＋f()＝3x， ① 把①中的x換成，得 2f()＋f(x)＝， ② ①×2－②，得3f(x)＝6x－， ∴f(x)＝2x－. 變式遷移3　解　(1)令t＝＋1， ∴t≥1，x＝(t－1)2. 則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， 即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．

19、 (2)設f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， ∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c， 則f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴　∴ 又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3. 例4　解題導引　 ①本題可以先確定解析式，然后通過解方程f(x)＝x來確定解的個數；也可利用數形結合，更為簡潔． ②對于分段函數，一定要明確自變量所屬的范圍，以便于選擇與之相應的對應關系． ③分段函數體現(xiàn)了數學的分類討論思想，相應的問題處理應分段解決． C　[方法一　若x≤0，則f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2， ∴

20、 解得∴f(x)＝ 當x≤0，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x， 解得x＝－2，或x＝－1； 當x>0時，由f(x)＝x，得x＝2. ∴方程f(x)＝x有3個解． 方法二　由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的對稱軸是x＝－2，且頂點為(－2，－2)，于是可得到f(x)的簡圖(如圖所示)．方程f(x)＝x的解的個數就是函數圖象y＝f(x)與y＝x的圖象的交點的個數，所以有3個解．] 變式遷移4　(－1，－1) 解析　函數f(x)＝的圖象如圖所示： f(1－x2)>f(2x)?， 解得－1

21、1)定義域不同；(2)定義域不同；(3)對應關系不同；(4)定義域相同，且對應關系相同；(5)定義域不同．] 2．C　[有可能是沒有交點的，如果有交點，那么對于x＝1僅有一個函數值．] 3．D　[該分段函數的三段各自的值域為(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±，而－1

22、的；(4)該圖象是兩個不同的拋物線的兩部分組成的，不是拋物線．故只有(2)正確． 7．7　 8．2 9．解　(1)令t＝x＋1，則x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，∴f(x)＝2x2－4x＋3.………………………………………………………………………………………………(4分) (2)∵2f(x)－f(－x)＝x＋1，用－x去替換式子中的x，得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，……(6分) 即有， 解方程組消去f(－x)，得f(x)＝＋1.……………………………………………………(8分) (3)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2； 由f(x)＝x得＝x

23、，變形得x(－1)＝0，解此方程得x＝0或x＝，…(10分) 又∵方程有唯一解， ∴＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝， ∴f(x)＝.……………………………………………………………………………(12分) 10．解　函數f(x)的圖象如圖所示， ……………………………………(6分) g(x)＝…………………………………………………(12分) 11．解　依題意，G(x)＝x＋2，設利潤函數為f(x)，則 f(x)＝………………………………………………(4分) (1)要使工廠贏利，則有f(x)>0. 當0≤x≤5時，

24、有－0.4x2＋3.2x－2.8>0， 得15時，有8.2－x>0， 得x<8.2，所以55時，f(x)<8.2－5＝3.2. 所以當工廠生產400臺產品時，贏利最大，x＝4時，每臺產品售價為＝2.4(萬元/百臺)＝240(元/臺)．……………………………………………………………………………(14分)