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1、 1 1高三數學33個黃金考點總動員【考點剖析】1.最新考試說明：1.理解指數冪的概念，理解指數函數的單調性，會解決與指數函數性質有關的問題.2.理解對數的概念及其運算性質，會用換底公式將一般對數轉化為自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用3.理解對數函數的概念，能解決與對數函數性質有關的問題.4.結合函數yx，yx2，yx3，yx，的圖象，了解它們的變化情況2.命題方向預測：1.指數函數的概念、圖象與性質是近幾年高考的熱點2.通過具體問題考查指數函數的圖象與性質，或利用指數函數的圖象與性質解決一些實際問題是重點，也是難點，同時考查分類討論思想和數形結合思想3.高考考查的熱點是對數式的
2、運算和對數函數的圖象、性質的綜合應用，同時考查分類討論、數形結合、函數與方程思想4.關于冪函數常以5種冪函數為載體，考查冪函數的概念、圖象與性質，多以小題形式出現(xiàn)，屬容易題5.二次函數的圖象及性質是近幾年高考的熱點；用三個“二次”間的聯(lián)系解決問題是重點，也是難點6.題型以選擇題和填空題為主，若與其他知識點交匯，則以解答題的形式出現(xiàn).1. 課本結論總結：指數與指數函數1分數指數冪(1)規(guī)定：正數的正分數指數冪的意義是 (a0，m，nN*，且n1)；正數的負分數指數冪的意義是 (a0，m，nN*，且n1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義(2)有理指數冪的運算性質：arasars，
3、(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指數函數的圖象與性質對數與對數函數1對數的概念如果axN(a0且a1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作xlogaN，其中_a_叫做對數的底數，_N_叫做真數2對數的性質與運算法則(1)對數的運算法則如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM.(2)對數的性質alogaN_N_；logaaN_N_(a0且a1)(3)對數的重要公式換底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣logablo
4、gbclogcdlogad.3對數函數的圖象與性質二次函數與冪函數1二次函數(1)二次函數解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函數的圖象和性質解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a-2x得x-, ，單調遞減，由于，得3x+1-2x解得x-【經典理由】根據a的取值進行分類討論(3)新課標A版第 72 頁，例8 比較下列各組數中兩個數的大小：（1）log 2 3 . 4 與 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 與 log 0 . 3 2 .
5、7；（3）log a 5 . 1 與 log a 5 . 9 (且)解：（1） y = log 2 x 在 ( 0 , + ) 上是增函數且 3 . 48 . 5， log 2 3 . 4 log 2 8 . 5 ；（2） y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + )上是減函數且 1 . 82 . 7，log 0 . 3 1 . 8log 0 . 3 2 . 7； （3）解：當時， y = log a x在( 0 , + ) 上是增函數且5 . 15 . 9， log a 5 . 1log a 5 . 9，當0a1時， y = log a x在 ( 0 , + ) 上是減函數且5 .
6、 15 . 9， log a 5 . 1log a 5 . 9 【經典理由】以對數函數為載體，考查對數運算和對數函數的圖象與性質的應用(4)新課標A版第 822 頁，A組第10題已知冪函數，試求出此函數的解析式，并作出圖像，判斷奇偶性、單調性【分析】根據冪函數的概念設，將點的坐標代入即可求得n值，從而求得函數解析式要判斷函數的奇偶性我們可以根據函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性，判斷函數圖象在（0，+）的單調性，進而畫出函數的圖象【解析】設,因為冪函數,，這個函數解析式為 定義域為（0，+），它不關于原點對稱，所以，y=f（x）是非奇非偶函數當x0時，f（x）是單調減函數，函數的圖象如圖【經典理
7、由】本題通過待定系數法求冪函數解析式、解指數方程的解法、奇（偶）函數性、冪函數圖象考查學生對冪函數有關知識的掌握程度和對知識的綜合應用能力6.考點交匯展示：(1)基本初等函數與集合交匯例1【河北省“五個一名校聯(lián)盟”20xx高三教學質量監(jiān)測(一)1】設集合，則( )A.AB B.AB C.AB D.AB【答案】B考點：1.一元二次不等式解法；2.指數不等式解法；3.集合間關系與集合運算.例2 設集合，則等于(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】M，N，故考點：1.簡單不等式的解法；2.對數函數的性質；3.集合的運算.(2)基本初等函數與基本不等式交匯例1【成都石室中學高三上期“一診”模
8、擬考試（一）】已知二次函數的值域為，則的最小值為 .【答案】3【解析】由題意得：.考點：1.二次函數的圖象和性質；2.基本不等式.【考點分類】熱點1 指數函數、對數函數1. 【20xx高考四川，理8】設a，b都是不等于1的正數，則“”是“”的 （ ）（A） 充要條件 （B）充分不必要條件（C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】B考點:1.充要條件；2.指數函數、對數函數的性質.2. 設，函數在單調遞減，則（ ）A在上單調遞減，在上單調遞增 B在上單調遞增，在上單調遞減C在上單調遞增，在上單調遞增 D在上單調遞減，在上單調遞減【答案】A【解析】由的圖像可知，函數在在上單調遞增，在
9、上單調遞減，在單調遞增，因函數在單調遞減，故根據同增異減可知，故答案為A考點：1.對數函數的性質；2.復合函數的單調性.3.【20xx遼寧高考理第3題】已知，則（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：所以，故選C.考點：1.指數對數化簡；2.不等式大小比較.4. 下列函數中，在內單調遞減，并且是偶函數的是（ ）AB CD【答案】C考點：函數奇偶性與單調性【方法規(guī)律】1.求解與指數函數有關的復合函數問題，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題歸納為內層函數相關的問題加
10、以解決2.對數式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并(2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算.3比較對數值大小時若底數相同，構造相應的對數函數，利用單調性求解；若底數不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數再比較4利用對數函數的性質，求與對數函數有關的復合函數的值域和單調性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的【解
11、題技巧】1.圖像題要注意根據圖像的單調性和特殊點判斷2.指數形式的幾個數字比大小要注意構造相應的指數函數和冪函數3判斷指數函數圖象上底數大小的問題，可以先通過令x1得到底數的值再進行比較4指數函數yax (a0，a1)的性質和a的取值有關，一定要分清a1與0a0的解集為_【答案】x|2x3【解析】函數ylg(x22x3)有最小值，f(x)alg(x22x3)有最大值，0a1.由loga(x25x7)0，得0x25x71，解得2x3.不等式loga(x25x7)0的解集為x|2x3【易錯點】指數函數和對數函數中注意討論底數a的大小，復合函數的單調性往往也和a的取值有關熱點2 冪函數、二次函數1.
12、 【20xx高考天津，理8】已知函數 函數 ，其中，若函數 恰有4個零點，則的取值范圍是( )（A） （B） （C） （D）【答案】D考點:求函數解析、函數與方程思、數形結合.2.【20xx高考江蘇卷第10題】已知函數，若對于任意的都有，則實數的取值范圍為 .【答案】【解析】據題意解得考點:二次函數的性質3.【20xx浙江高考理第15題】設函數若，則實數的取值范圍是_【答案】考點：1.分段函數；2.二次函數的性質.4.【20xx高考上海理科第9題】若，則滿足的取值范圍是 .【答案】【解析】根據冪函數的性質，由于，所以當時，當時，因此的解集為.考點：冪函數的性質.【方法規(guī)律】1.二次函數在閉區(qū)間
13、上的最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關；2.常結合二次函數在該區(qū)間上的單調性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數圖象的頂點處取得最值.二次函數、二次方程、二次不等式之間可以相互轉化一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數值符號四個方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數的圖象、性質求解3.冪函數yx的圖象與性質由于的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查(1)的正負：0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；1時，曲線下凸；01時，曲線上凸；0時，圖象過
14、原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立【解題技巧】2. 做二次函數類型題是注意數形結合的應用，畫出函數的草圖能幫助我們理清思路3. 二次函數中如果含有參數，往往要進行分類討論3.對于函數yax2bxc，要認為它是二次函數，就必須滿足a0，當題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況4.冪函數的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.【易錯點睛】1.注意冪函數與指數函數的聯(lián)系與區(qū)別2.冪函
15、數的增減與的關系3.對于函數yax2bxc，要認為它是二次函數，就必須滿足a0，當題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況例 如圖是函數(m、nN*，m、n互質)的圖象，則下列判斷正確的是_m、n是奇數，且1m是偶數，n是奇數且1m是偶數，n是奇數且1m是奇數，n是偶數且1解析：將分數指數式化為根式，由定義域為R，值域為0，)知n為奇數，m為偶數，又由冪函數yx，當1時，圖象在第一象限的部分下凸，當01時，圖象在第一象限的部分上凸，故正確答案：【易錯點】冪函數的單調性和a有關，注意a與0和1的比較【熱點預測】1.函數的單調增區(qū)間與值域相同，則實數的取值為( )A B C D【答案】B
16、【解析】函數的單調增區(qū)間為當為函數的最小值，故有2.函數的圖象過一個定點P，且點P在直線上，則的最小值是（ ）A.12B.13C.24D.25【答案】D3.已知函數,且函數恰有3個不同的零點,則實數的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，其頂點為，點在函數圖象上，而點不在函數圖象上.結合圖形可知，當，函數恰有3個不同的零點.4.已知函數的值域是，則實數的取值范圍是 ( ) A； B； C； D.【答案】C5.已知函數是定義在實數集上的以2為周期的偶函數，當時，.若直線與函數的圖像在內恰有兩個不同的公共點，則實數的值是( ) A或； B0； C0或； D0或.【答案】D【解
17、析】根據已知可得函數，在直角坐標系中作出它的圖象，如圖，再作直線，可見當直線與拋物線相切時，或者直線過原點時，符合題意，此時或.6.【河南省安陽一中高三第一次月考】設函數在區(qū)間內有零點，則實數的取值范圍是（ ）ABCD【答案】7.【北京市重點中學高三8月開學測試】函數的零點個數為（ ）A. B. C. D.【答案】B.【解析】試題分析：令，則，即，如圖，分別作出與的圖象，則可知有兩個交點，即零點個數為兩個.8.【20xx天津高考理第4題】函數的單調遞增區(qū)間是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D9.【20xx高考浙江，理12】若，則 【答案】.【解析】，.10.【20xx高考上海，理
18、7】方程的解為 【答案】【解析】設，則11.已知函數是奇函數，則函數的定義域為 【答案】【解析】本題定義域不確定，不要用奇函數的必要條件來求參數，而就根據奇函數的定義有，即，化簡得恒成立，所以，則.由，解得.12.【20xx高考湖南，理15】已知，若存在實數，使函數有兩個零點，則的取值范圍是 .【答案】.13.【20xx高考四川，理15】已知函數，（其中）.對于不相等的實數，設，.現(xiàn)有如下命題：（1）對于任意不相等的實數，都有；（2）對于任意的a及任意不相等的實數，都有；（3）對于任意的a，存在不相等的實數，使得；（4）對于任意的a，存在不相等的實數，使得.其中的真命題有 （寫出所有真命題的序
19、號）.【答案】【解析】設.對（1），從的圖象可看出，恒成立，故正確.對（2），直線CD的斜率可為負，即，故不正確.對（3），由m=n得，即.令，則.由得：，作出的圖象知，方程不一定有解，所以不一定有極值點，即對于任意的a，不一定存在不相等的實數，使得，即不一定存在不相等的實數，使得.故不正確.對（4），由m=n得，即.令，則.由得：，作出的圖象知，方程必一定有解，所以一定有極值點，即對于任意的a，一定存在不相等的實數，使得，即一定存在不相等的實數，使得.故正確.所以（1）（4）14.【20xx高考浙江，理18】已知函數，記是在區(qū)間上的最大值.（1） 證明：當時，；（2）當，滿足，求的最大值.【答案】（1）詳見解析；（2）.，由，得，當，時，且在上的最大值為，即，的最大值為.
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