新版浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題二 第2講 三角恒等變換與解三角形選擇、填空題型
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1、 1
2、 1 考 點(diǎn) 考 情 三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式 1.對(duì)三角變換公式注重基礎(chǔ)考查,并在綜合試題中作為一種工具考查,主要考查利用各種三角公式進(jìn)行求值與化簡(jiǎn),其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點(diǎn),切化弦、角的變換是??嫉娜亲儞Q思想.如浙江T6等. 2.正弦定理和余弦定理及解三角形問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn),單獨(dú)命題的頻率較高,主
3、要涉及以下幾個(gè)問(wèn)題:(1)邊和角的計(jì)算;(2)三角形形狀的判斷;(3)面積的計(jì)算;(4)有關(guān)范圍的問(wèn)題.如遼寧T6,天津T6等. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 兩角和與差的三角函數(shù) 倍角公式 解三角形問(wèn)題 三角恒等變換與向量相結(jié)合問(wèn)題 1.(20xx·浙江高考)已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α=( ) A. B. C.- D.- 解析:選C 兩邊平方,再同時(shí)除以cos2α,得3tan2α-8tan α-3=0,tan α=3或tan α=-,代入tan 2α=,得到tan 2α=-. 2.(20xx·遼寧高考)在△ABC中
4、,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,則∠B=( ) A. B. C. D. 解析:選A 由正弦定理可得sin Asin Bcos C+sin C·sin Bcos A=sin B,因?yàn)閟in B≠0,所以sin Acos C+sin Ccos A=,即sin(A+C)=,故sin B=,因?yàn)閍>b,所以∠B=. 3.(20xx·天津高考)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,則sin ∠BAC=( ) A. B. C. D. 解析:選C 由余弦定理可得AC2=9+2-2×3××=5,所以AC=.
5、再由正弦定理得=,所以sin A===. 4.(20xx·福建高考)如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 解析:因?yàn)閟in∠BAC=,且AD⊥AC, 所以sin=,所以cos∠BAD=,在△BAD中,由余弦定理,得 BD= = =. 答案: 1.兩組三角公式 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. ③tan(α±β)= . (2)二倍角的正弦、余弦
6、、正切公式 ①sin 2α=2sin αcos α. ②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. ③tan 2α=. 2.兩個(gè)定理 (1)正弦定理 ===2R(2R為△ABC外接圓的直徑). 變形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; sin A=,sin B=,sin C=; a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (2)余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 推論:cos A=,cos B=, cos C=. 變形
7、:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C. 熱點(diǎn)一 三角變換與求值 [例1] (1)(20xx·重慶高考)4cos 50°-tan 40°=( ) A. B. C. D.2-1 (2)若tan=,且-<α<0,則=( ) A.- B.- C.- D. (3)若cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,0<β<<α<,則α+β的值為_(kāi)_______. [自主解答] (1)4cos 50°-tan 40°=4cos 50°- =-= == = ===.
8、 (2)由tan==,得tan α=-. 又-<α<0,所以sin α=-. 故==2sin α=-. (3)∵cos(2α-β)=-且<2α-β<π, ∴sin(2α-β)=. ∵sin(α-2β)=且-<α-2β<, ∴cos(α-2β)=. ∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β) =-×+×=. ∵<α+β <,∴α+β=. [答案] (1)C (2)A (3) —————————————————規(guī)律·總結(jié)—————————————— 1.化簡(jiǎn)求值的方法與思路
9、 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值可以采用“切化弦”“弦化切”來(lái)減少函數(shù)的種類,做到三角函數(shù)名稱的統(tǒng)一,通過(guò)三角恒等變換,化繁為簡(jiǎn),便于化簡(jiǎn)求值,其基本思路為:找差異,化同名(同角),化簡(jiǎn)求值. 2.解決條件求值應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn) (1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系,正確地用已知角來(lái)表示未知角. (2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示. (3)求解三角函數(shù)中給值求角的問(wèn)題時(shí),要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值,然后結(jié)合角的取值范圍,求出角的大小. 1.在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,則cos C的值是( ) A.- B.
10、 C. D.- 解析:選B 由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1,所以A+B=,則C=,cos C=. 2.已知cos=-,sin=,且<α<π,0<β<,則cos =________. 解析:因?yàn)?α<π,0<β<,則<<, -<-β<0,-<-<0, 所以<α-<π,-<-β<. 又cos=-<0,sin=>0, 所以<α-<π,0<-β<. 則sin= =, cos= =, 故cos =cos =coscos+sinsin =×+×=. 答案: 熱點(diǎn)二 利用正弦、余弦定理解三角形
11、 [例2] (1)(20xx·湖南高考)在銳角△ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asin B=b,則角A等于 ( ) A. B. C. D. (2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=80,b=100,A=30°,則此三角形( ) A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是鈍角三角形 D.可能是直角三角形,也可能是銳角三角形 (3)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知4sin2 -cos 2C=,且a+b=5,c=,則△ABC的面積為_(kāi)_______. [自主解答] (1)由已
12、知及正弦定理得2sin Asin B=sin B,因?yàn)閟in B>0,所以sin A=.又A∈,所以A=. (2)依題意得=,sin B===<,因此0°90°,此時(shí)△ABC是鈍角三角形;若120°
13、7,故3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18,所以ab=6,所以△ABC的面積S△ABC=absin C=×6×=. [答案] (1)A (2)C (3) 將本例(1)中“2asin B=b”改為“2bcos B=acos C+ccos A,且b2=3ac,角C所對(duì)的邊長(zhǎng)為c”,如何求解? 解:因?yàn)?bcos B=acos C+ccos A,根據(jù)正弦定理可得,2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C)=sin B,故B=.因?yàn)閎2=3ac,所以sin2B=3sin Asin C,即2=3××[co
14、s(A-C)-cos(A+C)]=,得cos(A-C)=0,即A-C=或C-A=,又A+C=,得A=或. ——————————————————規(guī)律·總結(jié)—————————————— 解三角形問(wèn)題的方法 (1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角”應(yīng)采用正弦定理; (2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理. 3.已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若acos C+asin C=b+c,則角A的值為( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 解析:選C 由acos C+asin
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