新版高考數(shù)學(xué)人教版文一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)55第8章 解析幾何10 Word版含答案

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1、 1 1課時(shí)作業(yè)(五十五)定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題1(20xx保定模擬)設(shè)橢圓E：1(ab0)的離心率為e，且過(guò)點(diǎn)。(1)求橢圓E的方程。(2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線l：xmyt0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，試判定直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：(1)由e2，可得a22b2，橢圓方程為1，代入點(diǎn)可得b22，a24，故橢圓E的方程為1。(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得：(m22)y22mtyt240，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)得：y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t

2、)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2。因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240。因?yàn)镸，N與A均不重合，所以t2，所以t，直線l的方程是xmy，直線l過(guò)定點(diǎn)T，由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0，所以直線l過(guò)定點(diǎn)T。2已知橢圓1(ab0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)(2，)。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC，BD過(guò)原點(diǎn)O，若kACkBD，求證：四邊形ABCD的面積為定值。解析：(1)由題意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1。(2)證明：設(shè)直線AB

3、的方程為ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，由根與系數(shù)的關(guān)系得kACkBD，y1y2x1x2。又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2。設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則SAOB|AB|d|x2x1|2，S四邊形ABCD4SAOB8，即四邊形ABCD的面積為定值。3(20xx廣東卷)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，B。(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程

4、；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。解析：(1)由x2y26x50得(x3)2y24，圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)。(2)設(shè)M(x，y)，則點(diǎn)M為弦AB中點(diǎn)即C1MAB，kC1MkAB1即1，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的方程為2y2。(3)由(2)知點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心r為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點(diǎn))，且E，F(xiàn)，又直線L：yk(x4)過(guò)定點(diǎn)D(4,0)，當(dāng)直線L與圓C相切時(shí)，由得k，又kDEkDF，結(jié)合上圖可知當(dāng)k時(shí)，直線L：yk(x4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)。4(20xx湖北卷)一種畫(huà)橢圓的工具如圖1

5、所示。O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的拴子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DNON1，MN3，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫(huà)出的橢圓記為C，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系。圖1 圖2 (1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x2y0和l2：x2y0分別交于P，Q兩點(diǎn)，若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由。解析：(1)因?yàn)閨OM|MN|NO|314。當(dāng)M，N在x軸上時(shí)，等號(hào)成立；同理|OM|MN|NO|3

6、12，當(dāng)D，O重合，即MNx軸時(shí)，等號(hào)成立。所以橢圓C的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4，短半軸長(zhǎng)為2，其方程為1。(2)()當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l為x4或x4，都有SOPQ448。()當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：ykxm(k)。由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160。因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24。又由可得P；同理可得Q。由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|。將代入得，SOPQ8。當(dāng)k2時(shí)，SOPQ888；當(dāng)0k2時(shí)，SOPQ88。因0k2，則014k21，2，所以SOPQ8(1)8，當(dāng)且僅當(dāng)k0時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)k0時(shí)，SOPQ的最小值為8。綜上(1)(2)可知，當(dāng)直線l與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，OPQ的面積取得最小值8。