新編人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.2 雙 曲 線 課時提升作業(yè)十二 2.2.1 含解析

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1、新編人教版精品教學(xué)資料 課時提升作業(yè)(十二) 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知F1(-8,3),F2(2,3)為定點,動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當(dāng)a=3和a=5時,P點的軌跡分別為(　　) A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線的一支和一條直線 C.雙曲線和一條射線 D.雙曲線的一支和一條射線 【解析】選D.易得|F1F2|=10. 當(dāng)a=3時,2a=6,即2a<|F1F2|, 所以P點的軌跡為雙曲線的一支(靠近點F2). 當(dāng)a=5時,2a=10,即2a=|F1F2|,此時P,F1,F2共線. 所以P點的

2、軌跡是以F2為起點的一條射線. 2.(2015·福建高考)若雙曲線E:x29-y216=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于　(　　) A.11 B.9 C.5 D.3 【解析】選B.因為PF1-PF2=2a,所以PF1-PF2=±6,所以PF2=9或-3(舍去). 3.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,則方程的曲線是　(　　) A.焦點在x軸上的橢圓 B.焦點在x軸上的雙曲線 C.焦點在y軸上的橢圓 D.焦點在y軸上的雙曲線 【解析】選D.方程mx2-my2=n可化為: y2-nm-x2-nm=1

3、, 因為mn<0,所以-nm>0, 所以方程表示的曲線是焦點在y軸上的雙曲線. 4.(2015·吉首高二檢測)橢圓x24+y2m2=1與雙曲線x2m2-y22=1有相同的焦點,則m的值是　(　　) A.±1 B.1 C.-1 D.不存在 【解析】選A.方法一:直接法:顯然雙曲線焦點在x軸上, 故4-m2=m2+2. 所以m2=1,即m=±1. 方法二:驗證法:當(dāng)m=±1時,m2=1, 對橢圓來說,a2=4,b2=1,c2=3. 對雙曲線來說,a2=1,b2=2,c2=3, 故當(dāng)m=±1時,它們有相同的焦點. 【誤區(qū)警示】本題在求解時常常因為混淆橢圓與雙曲線的

4、數(shù)量關(guān)系導(dǎo)致錯誤. 5.(2015·三明高二檢測)已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與 雙曲線的左支交于A,B兩點,線段AB的長為5,若2a=8,那么△ABF2的周長 是　(　　) A.16 B.18 C.21 D.26 【解題指南】借助雙曲線的定義求解,注意點A,B的位置. 【解析】選D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, 所以|AF2|+|BF2|=16+5=21, 所以△ABF2的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26. 二、填空

5、題(每小題5分,共15分) 6.已知點P(2,-3)是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點,雙曲線兩個焦點間的距離等于4,則該雙曲線方程是　　　　. 【解析】由題意知c=2,設(shè)該雙曲線方程是x2a2-y24-a2=1, 把點P(2,-3)代入,得4a2-94-a2=1, 解得a2=1或a2=16(舍). 所以該雙曲線方程為x2-y23=1. 答案:x2-y23=1 7.若雙曲線8kx2-ky2=8的一個焦點為(0,3),則k=　　　　. 【解題指南】先化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式,再借助a,b,c的關(guān)系求解. 【解析】方程可化為y2-8k-x2-1k=1,由焦點在y

6、軸上,得a2=-8k,b2=-1k. 所以c2=-9k, 所以9=-9k, 所以k=-1. 答案:-1 8.(2015·濰坊高二檢測)已知雙曲線的兩個焦點F1(-5,0),F2(5,0),P是雙曲線上一點,且PF1→·PF2→=0,|PF1|·|PF2|=2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　. 【解析】由題意可設(shè)雙曲線方程為 x2a2-y2b2=1(a>0,b>0). 由PF1→·PF2→=0,得PF1⊥PF2.根據(jù)勾股定理得 |PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20. 根據(jù)雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=±2a. 兩邊平方并代入|PF1

7、|·|PF2|=2得 20-2×2=4a2,解得a2=4,從而b2=5-4=1, 所以雙曲線方程為x24-y2=1. 答案:x24-y2=1 【拓展延伸】與雙曲線定義相關(guān)問題的解法 利用雙曲線的定義解決與焦點有關(guān)的問題,一是要注意定義條件||PF1|-|PF2||=2a的變形的使用,特別是與|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·|PF2|間的關(guān)系;二是要與三角形知識相結(jié)合,如勾股定理、余弦定理、正弦定理等,同時要注意整體思想的應(yīng)用. 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)過點P3,154,Q-163,5且焦點在坐標(biāo)軸上. (2)

8、c=6,經(jīng)過點(-5,2),焦點在x軸上. 【解析】(1)設(shè)雙曲線方程為x2m-y2n=1, 因為P,Q兩點在雙曲線上, 所以9m-22516n=1,2569m-25n=1解得m=-16,n=-9, 所以所求雙曲線方程為-x216+y29=1,即y29-x216=1. (2)因為焦點在x軸上,c=6, 所以設(shè)所求雙曲線方程為x2λ-y26-λ=1(其中0<λ<6). 因為雙曲線經(jīng)過點(-5,2),所以25λ-46-λ=1, 所以λ=5或λ=30(舍去), 所以所求雙曲線的方程是x25-y2=1. 10.在周長為48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求

9、以M,N為焦點,且過點P的雙曲線方程. 【解題指南】由雙曲線定義可知||PM|-|PN||=2a,|MN|=2c,所以利用條件確定 △MPN的邊長是關(guān)鍵. 【解析】因為△MPN的周長為48,且tan∠PMN=34,所以設(shè)|PN|=3k,|PM|=4k,則|MN|=5k. 由3k+4k+5k=48得k=4. 所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20. 以MN所在直線為x軸,以MN的中點為原點建立直角坐標(biāo)系,如圖所示. 設(shè)所求雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0). 由|PM|-|PN|=4得2a=4,a=2,a2=4. 由|MN|=20得2c=20,c=

10、10. 所以b2=c2-a2=96,所以所求雙曲線方程為x24-y296=1. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2015·廣州高二檢測)橢圓y249+x224=1與雙曲線y2-x224=1有公共點P,則P與雙曲線兩焦點連線構(gòu)成的三角形的面積為　(　　) A.48 B.24 C.243 D.123 【解析】選B.由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點F1(0,5)和F2(0,-5),又由橢圓與雙曲線的定義可得 |PF1|+|PF2|=14,||PF1|-|PF2||=2, 所以|PF1|=8,|PF2|=6,或|PF1|=6,|PF2|=

11、8. 又|F1F2|=10, 所以△PF1F2為直角三角形,∠F1PF2=90°. 所以△PF1F2的面積 S=12|PF1||PF2|=12×6×8=24. 2.(2015·成都高二檢測)若方程x2m-1+y2m2-4=3表示焦點在y軸上的雙曲線,則m的取值范圍是　(　　) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,2) 【解析】選C.由題意,方程可化為 y2m2-4-x21-m=3, 所以m2-4>0,1-m>0,解得m<-2. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.已知F是雙曲線x24-y212=1的左焦點,A(1,4),

12、P是雙曲線右支上的動點,則|PF|+|PA|的最小值為　　　　. 【解題指南】借助雙曲線的定義,把|PF|+|PA|的最值問題轉(zhuǎn)化為點共線問題. 【解析】設(shè)右焦點為F1(4,0),依題意, |PF|=|PF1|+4, 所以|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA| =|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9. 答案:9 4.(2015·昆明高二檢測)已知動圓M與圓C1:(x+3)2+y2=9外切且與圓C2:(x-3)2+y2=1內(nèi)切,則動圓圓心M的軌跡方程是　　　　. 【解析】設(shè)動圓M的半徑為r. 因為動圓M與圓C1外切且與圓C2內(nèi)切, 所以|MC1|=r+3

13、,|MC2|=r-1. 相減得|MC1|-|MC2|=4. 又因為C1(-3,0),C2(3,0),并且|C1C2|=6>4, 所以點M的軌跡是以C1,C2為焦點的雙曲線的右支, 且有a=2,c=3. 所以b2=5,所以所求的軌跡方程為x24-y25=1(x≥2). 答案:x24-y25=1(x≥2) 【誤區(qū)警示】本題在求解時常常因為忽略限定條件“x≥2”導(dǎo)致錯誤. 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.(2015·濟南高二檢測)已知方程kx2+y2=4,其中k為實數(shù),對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型. 【解題指南】解答本題可依據(jù)所學(xué)的各種曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式

14、的系數(shù)應(yīng)滿足的條件進行分類討論. 【解析】(1)當(dāng)k=0時,y=±2,表示兩條與x軸平行的直線. (2)當(dāng)k=1時,方程為x2+y2=4,表示圓心在原點,半徑為2的圓. (3)當(dāng)k<0時,方程為y24-x2-4k=1,表示焦點在y軸上的雙曲線. (4)當(dāng)01時,方程為x24k+y24=1,表示焦點在y軸上的橢圓. 【補償訓(xùn)練】當(dāng)0°≤α≤180°時,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲線如何變化? 【解析】(1)當(dāng)α=0°時,方程為x2=1,它表示兩條平行直線x=±1. (2)當(dāng)0°<α<90°

15、時,方程為x21cosα+y21sinα=1. ①當(dāng)0°<α<45°時,0<1cosα<1sinα,它表示焦點在y軸上的橢圓. ②當(dāng)α=45°時,它表示圓x2+y2=2. ③當(dāng)45°<α<90°時,1cosα>1sinα>0,它表示焦點在x軸上的橢圓. (3)當(dāng)α=90°時,方程為y2=1,它表示兩條平行直線y=±1. (4)當(dāng)90°<α<180°時,方程為y21sinα-x21-cosα=1,它表示焦點在y軸上的雙曲線. (5)當(dāng)α=180°時,方程為x2=-1,它不表示任何曲線. 6.已知定點A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A,B的橢圓,求另一焦點F的軌跡方程. 【解析】設(shè)F(x,y)為軌跡上的任意一點, 因為A,B兩點在以C,F為焦點的橢圓上, 所以|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中a表示橢圓的長半軸長), 所以|FA|+|CA|=|FB|+|CB|, 所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA| =122+92-122+52=2. 所以|FA|-|FB|=2. 由雙曲線的定義知,F點在以A、B為焦點,2為實軸長的雙曲線的下半支上, 所以點F的軌跡方程是y2-x248=1(y≤-1). 關(guān)閉Word文檔返回原板塊