高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第11章 第4節(jié) 古典概型與幾何概型 Word版含解析

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1、 第四節(jié)　古典概型與幾何概型 [最新考綱]　1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)概率.4.了解幾何概型的意義． 1．古典概型 具有以下兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型(古典的概率模型)． (1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果； (2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同． 2．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. 3．幾何概型 (1)向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀

2、、位置無關(guān)，即P(點(diǎn)M落在G1)＝，則稱這種模型為幾何概型． (2)幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比． 幾種常見的幾何概型 (1)與長度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)； (2)與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題； (3)與體積有關(guān)的幾何概型，可借助空間幾何體的體積公式解答問題． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概

3、率．(　　) (2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件．(　　) (4)從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5 g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． D　[一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四種情況，只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種，故P＝＝.] 2．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車

4、時(shí)間不超過2分鐘的概率是(　　) A. B． C. D． C　[試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為5，所求事件的區(qū)域長度為2，故所求概率為P＝.] 3．袋中裝有6個(gè)白球，5個(gè)黃球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為(　　) A． B． C． D． A　[從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P＝＝.] 4．同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為________． 　[擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6×6＝36(種)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點(diǎn)數(shù)不相同的概率P＝1－＝.] 考點(diǎn)1　簡單的古典概型 　計(jì)算古典概型事件的

5、概率可分3步 (1)計(jì)算基本事件總個(gè)數(shù)n. (2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m. (3)代入公式求出概率P. 提醒：解題時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇列舉法、列表法或樹形圖法． 　(1)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個(gè)，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是(　　) A.　 B．　　　 C.　 D． (2)(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A. B． C. D

6、． (3)(2019·全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“－－”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是(　　) A. B． C. D． (1)D　(2)D　(3)A　[(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元． 乙、丙、丁三人搶完6元錢的所有不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．

7、乙獲得“手氣最佳”的所有不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)． 根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率P＝＝. (2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖： 基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10， ∴所求概率P＝＝.故選D. (3)由6個(gè)爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽爻的種數(shù)為C＝＝20.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得，所求概率P＝＝.故選A.] 　古典概型中基本事件個(gè)數(shù)的探求方法 (1)枚舉法：適合于給定的基本事

8、件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問題． (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時(shí)也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同． (3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí)． [教師備選例題] 1．設(shè)平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，記“a⊥(a－b)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A. 　　 B． 　　　　 C. 　　 D． A　[有序數(shù)對(duì)(m，n)的所有可能結(jié)果為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)

9、，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4)，共2個(gè)，所以所求的概率P(A)＝＝.] 2．用1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個(gè)位，則出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為________． 　[1,2,3,4,5可組成A＝120個(gè)不同的五位數(shù)，其中滿足題目條

10、件的五位數(shù)中，最大的5必須排在中間，左、右各兩個(gè)數(shù)字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿足條件的五位數(shù)有CC＝6個(gè)，故出現(xiàn)a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數(shù)的概率為＝.] 　1.(2019·武漢模擬)將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球，那么甲盒中恰好有3個(gè)小球的概率為(　　) A. B． C. D． C　[將7個(gè)相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個(gè)不同的小盒中，每個(gè)小盒中至少有1個(gè)小球有C種放法，甲盒中恰好有3個(gè)小球有C種放法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率為＝.故選C.] 2．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，則函

11、數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是(　　) A. B． C. D． A　[∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}， ∴基本事件總數(shù)n＝3×4＝12. 函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)， ①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2bx，符合條件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1； ②當(dāng)a≠0時(shí)，需要滿足≤1，符合條件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4種． ∴函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝.] 考點(diǎn)2　古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合 　求解古典概型的交匯問題，關(guān)鍵是把相

12、關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，然后利用古典概型的有關(guān)知識(shí)解決，其解題流程為： 　(2019·天津高考)2019年，我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況． (1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨

13、機(jī)抽取2人接受采訪． 　　員工 項(xiàng)目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 繼續(xù)教育 × × ○ × ○ ○ 大病醫(yī)療 × × × ○ × × 住房貸款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 贍養(yǎng)老人 ○ ○ × × × ○ (ⅰ)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果； (ⅱ)設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率． [解]　(1)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10， 由于采用分層抽樣的方法從中抽

14、取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人． (2)(ⅰ)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種． (ⅱ)由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為 {A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種． 所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝. 　有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要

15、題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵． [教師備選例題] 某縣共有90個(gè)農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，隨機(jī)抽取6個(gè)網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)其元旦期間的網(wǎng)購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)． (1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)； (2)若網(wǎng)購金額(單位：萬元)不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，根據(jù)莖葉圖推斷這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (3)從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)作網(wǎng)購商品的調(diào)查，求恰有1個(gè)網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的概率．

16、 [解]　(1)由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) ＝＝12. (2)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，概率為＝，由此估計(jì)這90個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有90×＝30(個(gè))． (3)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個(gè)，分別記為a1，a2，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有4個(gè)，分別記為b1，b2，b3，b4，從隨機(jī)抽取的6個(gè)服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個(gè)的可能情況有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15種， 記“恰有1個(gè)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)

17、點(diǎn)”為事件M，則事件M包含的可能情況有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8種， 故所求概率P(M)＝. 　移動(dòng)公司擬在國慶期間推出4G套餐，對(duì)國慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．國慶節(jié)當(dāng)天參與活動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率． (1)求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率； (2)若采用分層抽樣的方式從參加活動(dòng)的客戶中選出6人，再從該6人中隨機(jī)選出2人

18、，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率． [解]　(1)設(shè)事件A為“從中任選1 人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，則P(A)＝＝. (2)設(shè)事件B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的有1人，獲得優(yōu)惠500元的有3人，獲得優(yōu)惠300元的有2人，分別記為a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15個(gè)． 其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c

19、1c2，共4個(gè)．則P(B)＝. 故這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率為. 考點(diǎn)3　幾何概型 　與長度、角度有關(guān)的幾何概型 　求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)，然后求解．要特別注意“長度型”與“角度型”的不同，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度)． 　在等腰Rt△ABC中，直角頂點(diǎn)為C. (1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求|AM|<|AC|的概率； (2)在∠ACB的內(nèi)部，以C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求|AM|<|AC|的概率． [解]　(1)如圖所示，在AB上取一點(diǎn)C′，使|AC′|＝|AC|，連接CC′.

20、 由題意，知|AB|＝|AC|. 由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的，所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB. 所以P(|AM|<|AC|)＝＝＝. (2)由于在∠ACB內(nèi)以C為端點(diǎn)任作射線CM，所以CM等可能分布在∠ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示)，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是∠ACB，所以P(|AM|<|AC|)＝＝＝. 　當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)、扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域的問題時(shí)，應(yīng)以角度作為區(qū)域的度量來計(jì)算概率，切不可用線段的長度代替． 　1.某公司的班車在7：00,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)

21、間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B． C. D． B　[如圖所示，畫出時(shí)間軸． 小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式， 得所求概率P＝＝，故選B.] 2.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為________． 　[因?yàn)樵凇螪AB內(nèi)任作射線AP，所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在∠CAB內(nèi)，則區(qū)

22、域?yàn)椤螩AB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為＝＝.] 　與面積有關(guān)的幾何概型 　求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn) 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解． 　(1)(2016·全國卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B． C. D． (2)(2019·太原聯(lián)考)甲

23、、乙二人約定7：10在某處會(huì)面，甲在7：00～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，乙在7：05～7：20內(nèi)某一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)，則甲至少需等待乙5分鐘的概率是(　　) A. B． C. D． (3)(2018·全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(　　) A．p1＝p2　　　　　 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3

24、(1)C　(2)C　(3)A　[(1)因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝. (2)建立平面直角坐標(biāo)系如圖，x，y分別表示甲、乙二人到達(dá)的時(shí)刻，則坐標(biāo)系中每個(gè)點(diǎn)(x，y)可對(duì)應(yīng)甲、乙二人到達(dá)時(shí)刻的可能性，則甲至少等待乙5分鐘應(yīng)滿足的條件是其構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分，則所求的概率P＝＝.

25、 (3)設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π×2＋π×2－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由幾何概型的知識(shí)知p1＝p2，故選A.] 　(1)求解由兩個(gè)量決定的概率問題時(shí)，通過建立坐標(biāo)系，借助于縱、橫坐標(biāo)關(guān)系產(chǎn)生的區(qū)域面積，得到問題的結(jié)論，我們稱此類問題為“約會(huì)型”概率問題．“約會(huì)型”概率問題的求解關(guān)鍵在于合理、恰當(dāng)?shù)匾胱兞?，再將具體問題“數(shù)學(xué)化”，通過建立數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論．(2)幾何概型與平面幾何的交匯問題要利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，先確定基本事件對(duì)應(yīng)區(qū)域的形狀，再選擇恰當(dāng)?shù)?/p>

26、方法和公式，計(jì)算出其面積，進(jìn)而代入公式求概率． 　1.如圖所示，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)估計(jì)橢圓的面積為(　　) A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32 C　[由隨機(jī)模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為＝0.68.由幾何概型的概率計(jì)算公式，可得＝0.68，而 S矩形＝6×4＝24，則S橢圓＝0.68×24＝16.32.] 2．已知實(shí)數(shù)m∈[0,1]，n∈[0,2]，則關(guān)于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有實(shí)數(shù)根的概率是(　　) A．1－ B． C． D．－1

27、A　[方程有實(shí)數(shù)根，即Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0，m2＋n2－2n≥0，m2＋(n－1)2≥1，畫出圖形如圖所示，長方形面積為2，半圓的面積為，故概率為＝1－.] 　與體積有關(guān)的幾何概型 　對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求． 　已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面 ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點(diǎn)O，則四棱錐O-ABCD的體積不小于的概率為________． 　[當(dāng)四棱錐O-ABCD的體積為時(shí)，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，

28、則×22×h＝，解得h＝. 如圖所示，在四棱錐P-ABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為. 因?yàn)镻A⊥底面ABCD， 且PA＝2，所以＝， 所以四棱錐O-ABCD的體積不小于的概率P＝＝3＝3＝.] 　求解本題的關(guān)鍵是找到四棱錐O-ABCD的體積為時(shí)的點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的平面EFGH ，然后借助比例關(guān)系計(jì)算體積比例，進(jìn)而得出概率值． [教師備選例題] 1．小李從網(wǎng)上購買了一件商品，快遞員計(jì)劃在下午5：00到6：00之間送貨上門，已知小李下班到家的時(shí)間在下午5：30到6：00之間．快遞員到小李家時(shí)，如果小李未到家，則快遞員會(huì)電話聯(lián)系小李．若小李能

29、在10分鐘之內(nèi)到家，則快遞員等小李回來；否則，就將商品存放在快遞柜中．則小李需要去快遞柜領(lǐng)取商品的概率為(　　) A.　　 B．　　　　 C.　　 D． D　[如圖，設(shè)快遞員和小李分別在下午5點(diǎn)后過了x分鐘和y分鐘到小李家，則所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(x，y)|0≤x≤60,30≤y≤60}，這是一個(gè)矩形區(qū)域，y－x＞10表示小李比快遞員晚到超過10分鐘，事件M表示小李需要去快遞柜領(lǐng)取商品，其所構(gòu)成的區(qū)域是如圖所示的直角梯形ABCD的內(nèi)部區(qū)域及邊界(不包含AB)，由可得即A(50,60)， 由可得即B(20,30)，所以由幾何概型的概率計(jì)算公式可知P(M)＝＝，故選D.] 2．已知

30、正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC＜VS-ABC的概率是(　　) A. 　 B． 　　　 C. 　 D． A　[由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面A′B′C′以下時(shí)，滿足VP-ABC

31、，一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為(　　) A． B．π C． D． D　[由題意可知這是一個(gè)幾何概型，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的體對(duì)角線長，故球的半徑R＝， 球的體積V2＝π×3＝π， 則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率P＝＝.] 課外素養(yǎng)提升⑨　數(shù)學(xué)建模——數(shù)學(xué)文化與概率 數(shù)學(xué)文化是國家文化素質(zhì)教育的重要組成部分，縱觀近幾年高考，概率統(tǒng)計(jì)部分以數(shù)學(xué)文化為背景的問題，層出不窮，讓人耳目一新．同時(shí)它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無法打開．下面通過對(duì)典型例題的剖析，讓同學(xué)們增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

32、 以古代文化經(jīng)典為素材 【例1】　(2017·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) A.　　 B．　 　　 C.　　 D． B　[不妨設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4. 由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，得S黑＝S白＝ S圓＝，所以由幾何概型知，所求概率P＝＝＝.故選B.] [評(píng)析]　以《易經(jīng)》八卦中的太極圖為載體，既豐富了數(shù)學(xué)文化的取材途徑，又很好體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)特征，可將實(shí)

33、際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的幾何概型問題，結(jié)合幾何概型解答． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　1.中華文化博大精深，我國古代算書《周髀算經(jīng)》中介紹了用統(tǒng)計(jì)概率得到圓周率π的近似值的方法．古代數(shù)學(xué)家用體現(xiàn)“外圓內(nèi)方”文化的錢幣(如圖1)做統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)將其抽象成如圖2所示的圖形，其中圓的半徑為2 cm，正方形的邊長為1 cm，在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，若統(tǒng)計(jì)得到此點(diǎn)取自陰影部分的概率是p，則圓周率π的近似值為(　　) 圖1　　　　　圖2 A． B． C． D． A　[圓形錢幣的半徑為2 cm，面積為S圓＝π·22＝4π；正方形邊長為1 cm，面積為S正方形＝12＝1.在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是p＝

34、＝1－，則π＝.故選A.] 2.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分．古人認(rèn)為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系．若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為(　　) A. B． C. D． A　[金、木、水、火、土任取兩類，共有： 金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，所以2類元素相生的概率為＝，故選A.] 【例2】　中國古代四大藝術(shù)，琴棋書畫，源遠(yuǎn)流長，相傳堯舜以棋教子，在春秋、戰(zhàn)國時(shí)期

35、，圍棋已廣為流行．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是，則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A． B． C． D．1 C　[設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A＋B，且事件A與B互斥． 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率為.] [評(píng)析]　以中國古代四大藝術(shù)為載體，滲透中國傳統(tǒng)文化藝術(shù)，涉及世界人文知識(shí)，可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的古典概型問題，結(jié)合古典概型及互斥事件的概率給與解答． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　1.(20

36、19·貴陽一模)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為(　　) A． B． C． D． A　[分別用A，B，C表示齊王的上、中、下等馬，用a，b，c表示田忌的上、中、下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9場比賽，其中田忌馬獲勝的有Ba，Ca，Cb共3場比賽，所以田忌馬獲勝的概率為.] 2．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過人，這里的“六藝

37、”其實(shí)源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為(　　) A． B． C． D． C　[基本事件總數(shù)n＝A＝720，滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排包含的基本事件個(gè)數(shù)： 第一節(jié)是數(shù)，有：AA＝72種排法，第二節(jié)是數(shù)，有：A－CACA＝84種排法， ∴m＝72＋84＝156， 則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率p＝＝＝.故選C.] 3．(2019·寶雞模擬

38、)洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖像，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)．如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，其和等于15的概率是(　　) A． B． C． D． A　[先計(jì)算從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)共9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，總共有C種選法，在計(jì)算符合條件和等于15的三個(gè)數(shù)的種類，即可算出概率． 從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)共9個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，總共有C＝84種選法，其和等于15的三個(gè)數(shù)的種類共有8種，即：(圖形中各橫，各列，對(duì)角線所在的三個(gè)數(shù)字之和均為1

39、5)．故其和等于15的概率是：＝，故選A.] 以數(shù)學(xué)家為素材 【例3】　(2018·全國卷Ⅱ)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是(　　) A． B． C． D． C 　[不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有C種不同的取法，這10個(gè)數(shù)中兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的有3對(duì)，所以所求概率P＝＝，故選C.] [評(píng)析]　以我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的

40、研究中取得的成果為載體，展現(xiàn)了我國數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的地位，可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的古典概型問題，結(jié)合古典概型解答． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　1.我國數(shù)學(xué)家鄒元治利用如圖證明了勾股定理，該圖中用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦(c)來表示斜邊，現(xiàn)已知該圖中勾為3，股為4，若從圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)不落在中間小正方形中的概率是(　　) A． B． C． D． B　[a＝3，b＝4，由題意得c＝5，因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L為a＋b＝3＋4＝7，小正方形的邊長為c＝5，則大正方形的面積為49，小正方形的面積為25，所以滿足題意的概率值為1－＝.故選B.] 2．費(fèi)馬素?cái)?shù)是

41、法國大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的，形如22n＋1的素?cái)?shù)(如：220＋1＝3)為費(fèi)馬素?cái)?shù)，在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是(　　) A． B． C． D． B　[在不超過30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本事件總數(shù)n＝15，能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有8＝3＋5,20＝3＋17,22＝5＋17，共有3個(gè)． 則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是P＝＝.] 以新時(shí)代氣息為背景 【例4】　現(xiàn)有三張識(shí)字卡片，分別寫有“中”、“國”、“夢”這三個(gè)字．將這三張卡片隨機(jī)排序，則能組成“中國夢”的概率是 (　　) A． B． C． D． D

42、　[把這三張卡片排序有“中國夢”，“中夢國”，“國中夢”，“國夢中”，“夢中國”，“夢國中”，共有6種，能組成“中國夢” 的只有1種，故所求概率為.] [評(píng)析]　以“中國夢”為載體，展現(xiàn)了中國特色社會(huì)主義新時(shí)代的氣息，將數(shù)學(xué)落實(shí)在中華傳統(tǒng)美德，貫徹“弘揚(yáng)正能量”的精神風(fēng)貌中，可結(jié)合古典概型解答． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　1.2019年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3＋1＋2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門，再在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門．一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，則該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為(　　) A． B． C． D．

43、 B　[由題意可知總共情況為CC＝12，滿足情況為C＝3，∴該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為P＝＝.故選B.] 2．(2019·甘肅天水一中模擬)為了弘揚(yáng)我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某中學(xué)廣播站在中國傳統(tǒng)節(jié)日：春節(jié)，元宵節(jié)，清明節(jié)，端午節(jié)，中秋節(jié)五個(gè)節(jié)日中隨機(jī)選取兩個(gè)節(jié)日來講解其文化內(nèi)涵，那么春節(jié)和端午節(jié)至少有一個(gè)被選中的概率是(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 D　[由題意得，從五個(gè)節(jié)日中隨機(jī)選取兩個(gè)節(jié)日的所有情況有C＝10種，設(shè)“春節(jié)和端午節(jié)至少有一個(gè)被選中”為事件A，則事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為2C＋C＝7.由古典概型概率公式可得P(A)＝＝＝0.7.故選D.] 3．電視臺(tái)組織中學(xué)生知識(shí)競賽，共設(shè)有5個(gè)版塊的試題，主題分別是“中華詩詞”“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”“依法治國理念”“中國戲劇”“創(chuàng)新能力”．某參賽隊(duì)從中任選2個(gè)主題作答，則“中華詩詞”主題被該隊(duì)選中的概率是________． 　[由于知識(shí)競賽有五個(gè)板塊，所以共有C＝10種結(jié)果，某參賽隊(duì)從中任選2個(gè)主題作答，選中的結(jié)果為C＝4種，則“中華詩詞”主題被選中的概率為P(A)＝.]