2015-2016年湖北省棗陽七中高三下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理科）

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1、 湖北省棗陽市第七中學(xué)高三年級2015-2016學(xué)年度下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理科)試題 ★ ?？荚図樌?★ 時間：120分鐘 分值150分_ 第I卷（選擇題共60分） 一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分） 1．采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1，2，…，1000，適當(dāng)分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8．抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間[1，400]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[401，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C．則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為（ ） A．12 B．13 C．14

2、 D．15 2．已知，，則（ ） A. B. C. D. 3．在中，若 點滿足，則（ ） A． B． C． D． 4．已知，，則（ ） A． B． C． D． 5．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，則公比q的值為(　　) A. B. C．2 D．3 6．如圖是一個無蓋器皿的三視圖，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖中的正方形邊長為2，正視圖、側(cè)視圖中的虛線都是半圓，則該器皿的表面積是 A． B．

3、 C． D． 7．如果函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么的最小值為（ ） A． B． C． D． 8．已知雙曲線的離心率為，一個焦點與拋物線的焦點相同，則雙曲線的漸近線方程為（ ） A． B． C． D． 9．函數(shù)f（x）＝x＋lnx的零點所在的區(qū)間為（ ） A.（－1，0） B.（，1） C.（1，2） D.（1，e） 10．已知函數(shù)則不等式的解集為（ ） A． B． C． D．

4、11．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ） A．2 B．4 C． D． 12．把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離（??? ） A． B． C． D．3 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共4個小題，每題5分，滿分20分） 13．在的邊上隨機取一點, 記和的面積分別為和，則的概率是 ． 14．已知，則二項式的展開式中的系數(shù)為 ． 15．已知命題，，則命題P的否定是 ． 16．已知銳角△AB

5、C中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．設(shè)向量m= （cosA，-sinA），n= （cosA, sinA），且 ，若，則 _______． 三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17．（本小題滿分12分）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為，且成等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的公比； （2）證明：對任意成等差數(shù)列 18．（本題12分）有一種密碼，明文由三個字母組成，密碼由明文的這三個字母對應(yīng)的五個數(shù)字組成．編碼規(guī)則如下表．明文由表中每一排取一個字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，對

6、應(yīng)的密碼由明文所取的三個字母對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成．（如：明文取的三個字母為AFP，則與它對應(yīng)的五個數(shù)字（密碼）就為11223） 第一排 明文字母 A B C 密碼數(shù)字 11 12 13 第二排 明文字母 E F G 密碼數(shù)字 21 22 23 第三排 明文字母 M N P 密碼數(shù)字 1 2 3 （1）假設(shè)密碼是11211，求這個密碼對應(yīng)的明文； （2）設(shè)隨機變量表示密碼中所含不同數(shù)字的個數(shù)． ①求；②求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 19．（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，是線段上一點，，，．

7、 M S D C B A （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）設(shè)三棱錐與四棱錐的體積分別為與，求的值． 20．（本題12分）橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=．過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8． （1）求橢圓E的方程． （2）在橢圓E上，是否存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點P，Q，且△POQ的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△POQ的面積；若不存在，請說明理由． 21．（本題12分）已知函數(shù)，其中. （1）當(dāng)時判斷的單調(diào)性； （2）若在其定義域為增函數(shù)，求正實數(shù)

8、的取值范圍； （3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，若，總有成立，求實數(shù)的取值范圍. 四、選做題：請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.解答時請寫清題號. 22．（本題10分）如圖，，是上的兩點，為外一點，連結(jié)，分別交于點，，且，連結(jié)并延長至，使∠∠． （1）求證：； （2）若，且，求． 23．（本題10分）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （1）求圓C的極坐標(biāo)方程； （2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線的交點為Q，求線

9、段PQ的長． 24．（本題10分）已知，若是的充分而不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍． 參考答案 1．A 【解析】 試題分析：抽到的所有的號碼構(gòu)成等差數(shù)列，首項為8，公差為20，所以所有的數(shù)為8+20n，問卷C位于區(qū)間[751，1000]，令751<8+20n<1000，所以解不等式可知n值有12個，做問卷C的人數(shù)為12 考點：系統(tǒng)抽樣 2．B 【解析】 試題分析：因為，所以，故選B. 考點：集合的補集運算. 3．A 【解析】 試題分析：由，可得，，故選擇A 考點：平面向量基本定理 4．D 【解析】 試題分析：由條件概率的公式得故選D. 考點：條件

10、概率的公式. 5．C 【解析】a1q5＝(a1q)3，q2＝，因為各項均為正數(shù)，所以q＝a1＝2. 6．A 【解析】 試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個正方體挖去一個直徑等于正方體棱長的球所得的組合體，所以該幾何體的表面積 ,故選A． 考點：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積． 7．C 【解析】 試題分析：因為函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，所以，即，，令得故選C. 考點：正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì). 8．B 【解析】 試題分析：由于拋物線的焦點為，又因為雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點相同，所以雙曲線的半焦距；從而， 所以雙曲線的漸近線方程為； 故

11、選B． 考點：雙曲線與拋物線的簡單幾何性質(zhì)． 9．B 【解析】 試題分析：由于f（x）是增函數(shù)，且定義域為（0，＋∞） f（）＝－1＜0，f（1）＝1＞0，故零點在（，1）內(nèi)，選B 考點：函數(shù)的零點 10．C 【解析】 試題分析：當(dāng)時，即為解得當(dāng)時，即為解得，所以不等式的解集為. 考點：分段函數(shù)與不等式. 11．C 【解析】 試題分析：拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為，而因此選C. 考點：拋物線性質(zhì) 12．A 【解析】由題意，四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點， 則正四面體的高． 而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1

12、，故第四個球的最高點與桌面的距離為，選A． 13． 【解析】 試題分析：求幾何概型概率問題，首先要明確測度是什么，本題是在邊上隨機取一點，所以測度是長度，當(dāng)時，,所以的概率為. 考點：幾何概型概率 14．-80 【解析】 試題分析：因為，所以展開式中的系數(shù)為 考點：定積分，二項式定理 15．，． 【解析】 試題分析：因為所給命題P是一個全稱命題，其命題的否定就是特稱命題，即，． 考點：命題的否定；特稱命題與全稱命題． 16．3 【解析】 試題分析：運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式，求得A，再由余弦定理，解方程可得b=3． 由于A為銳角，則2A=1

13、20°，解得A=60°，由余弦定理可得 或-1（舍去）． 考點：利用余弦定理解三角形 17．（1）；（2）見解析 【解析】 試題分析：（1）求等比數(shù)列的公比；注意題中限制條件；（2）證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法：證明；二是等差中項法，證明，若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可 試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列，得， 即，由得，解得（舍去）， 所以； （2）由（1）得：數(shù)列是以-2為公比的等比數(shù)列，所以 則， 即. 考點：求等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的證明. 18．（1）AEM；（2）①，②詳見解析． 【解析】

14、 試題分析：（1）根據(jù)題意對照表格當(dāng)中明文字母和密碼數(shù)字即可求解；（2）①：分析表格中數(shù)據(jù)可知只能取表格中第1，2列中的數(shù)字作為密碼，再根據(jù)古典概型即可求解，②：窮舉所有可能的的取值及其對應(yīng)情況，再根據(jù)古典概型計算其對應(yīng)概率即可得到概率分布和數(shù)學(xué)期望． 試題解析：（1）根據(jù)題意對照表格當(dāng)中明文字母和密碼數(shù)字，從而可知對應(yīng)明文為AEM；（2）①：分析表格中的數(shù)字可知，密碼的第1，2列均由數(shù)字1，2組成，∴時，只能取表格中的第1，2列中的數(shù)字作為密碼，∴；②：由題意可知，的取值為2，3兩種情況，∴ ，∴的分布列如下所示： ∴． 考點：1．古典概型求概率；2．隨機

15、變量的概率分布及其期望． 19．（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）證明: 平面平面,平面平面, 平面，，平面, 1分 ∵平面 2分 四邊形是直角梯形，, 都是等腰直角三角形, 4分 平面，平面，, 平面 又平面所以 6分 （Ⅱ）解: 三棱錐與三棱錐的體積相等, 由（ 1 ） 知平面, 得, 9分 設(shè)由, 得 從而 12分 【考點定位】本題考查直線和平面垂直、直線和平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識，意在考察學(xué)生空間向量能力、推理論證能力和基本的運算能力． 20．（1）．（2）

16、在橢圓E上，不存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點P，Q，且△POQ的面積最大 【解析】 試題分析：（1）由已知得e=，4a=8，由此能求出橢圓E的方程． （2）當(dāng)∠POQ=90°時，S△POQ有最大值，求出點O到直線AB的距離，從而得到m2+n2=2，又，兩式聯(lián)立，無解，故在橢圓E上，不存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點P，Q，且△POQ的面積最大． 解：（1）∵橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=， ∴，e=，∴3a2=4b2， ∵△ABF2的周長為8，

17、∴4a=8，解得a=2，b=，c=1， ∴橢圓E的方程為：．…（4分） （2）不存在，理由如下： 在△POQ中，|OP|=|OQ|=1，S△POQ=|OP|×|OQ|×sin∠POQ 當(dāng)且僅當(dāng)∠POQ=90°時，S△POQ有最大值， 當(dāng)∠POQ=90°時， 點O到直線AB的距離為d=， ∴d==，∴m2+n2=2， 又， 兩式聯(lián)立，解得：無解， 故在橢圓E上，不存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點P，Q，且△POQ的面積最大．…（12分） 考點：橢圓的簡單性質(zhì)． 21．（1）增函數(shù)；（2）；（3） . 【解析】 試題分析

18、：(1) 本小題首先求得函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)其在恒大于零，于是可知函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2) 本小題首先求得函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，，然后轉(zhuǎn)化為最值得求解；（3）本小題首先分析“，，總有成立”等價于 “在上的最大值不小于在上的最大值”，于是問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 試題解析：（1）的定義域為,且>0 所以f(x)為增函數(shù). 3分 （2），的定義域為 5分 因為在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，

19、 而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以 9分 （3）當(dāng)時，， 由得或 當(dāng)時，；當(dāng)時，． 所以在上， 11分 而“，，總有成立”等價于 “在上的最大值不小于在上的最大值” 而在上的最大值為 所以有 所以實數(shù)的取值范圍是 14分 考點：1.導(dǎo)數(shù)公式與法則；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.等價轉(zhuǎn)化. 22．（1）證明見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)圓的割線性質(zhì)及平面幾何知識可證明，從而得到；（2）可證，則，由此可得 ，把已知條件代入整理即可求得. 試題解析：（1）連結(jié)，

20、因為, , 又因為, 所以, 所以. 由已知, , 所以, 且, 所以, 所以. (2) 因為, 所以∽, 則, 所以 又因為, , 所以, 所以. 所以. 考點：三角形相似與全等的證明以及圓的相關(guān)性質(zhì). 23．（1）；（2）線段的長為. 【解析】 試題分析：（1）由圓C的參數(shù)方程為參數(shù)），化為普通方程為，利用，即得圓C的極坐標(biāo)方程；（2）求線段的長，由于三點共線，故，可設(shè)，，則，關(guān)鍵是求出的值，由可求得的值，由可求得的值，從而可解. 試題解析：（1）圓的普通方程為，又，所以圓的極坐標(biāo)方程為； （2）設(shè)為點的極坐標(biāo)，則有，解得，設(shè)為點的極坐標(biāo)，，解得，由于，所以，所以線段的長為. 考點：參數(shù)方程，普通方程，與極坐標(biāo)方程互化，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用. 24．． 【解析】 試題分析：根據(jù)已知求得，對應(yīng)的集合因為是的充分而不必要條件，所以可得列的等式關(guān)系． 試題解析：由得，所以：，：或． 由得， 所以：，：或． 因為是的充分而不必要條件，所以， 解得，所以實數(shù)的取值范圍為． 考點：1．解不等式；2．利用充分必要條件求參數(shù)．