高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航 三 分類與整合思想講學(xué)案 理

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1、 三、分類與整合思想 　　分類與整合思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略．對(duì)問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對(duì)討論結(jié)果進(jìn)行整合. 方法一　公式、定理分類整合法 模型解法 公式、定理分類整合法即利用數(shù)學(xué)中的基本公式、定理對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后分別對(duì)每類問題進(jìn)行解決的方法．此方法多適用于公式、定理自身需要分類討論的情況．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)： ①分類轉(zhuǎn)化，結(jié)合已知所涉及的知識(shí)點(diǎn)，

2、找到合理的分類標(biāo)準(zhǔn)． ②依次求解，對(duì)每個(gè)分類所對(duì)應(yīng)的問題，逐次求解． ③匯總結(jié)論，匯總分類結(jié)果，得結(jié)論． 典例1　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0 (n＝1,2,3，…)，則q的取值范圍是________． 解析　由{an}是等比數(shù)列，Sn>0， 可得a1＝S1>0，q≠0，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1>0. 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝>0， 即>0(n＝1,2,3，…)， 則有 ① 或 ② 由①得－11. 故q的取值范圍是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案　(－1,0)∪(0，＋∞) 思維升華　公式、定理的分類整合法的分類一般比較固定，由定

3、理、公式的限制引起的分類整合法往往是因?yàn)橛械臄?shù)學(xué)定理、公式是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等． 跟蹤演練1　Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4，S3，S5成等差數(shù)列，則{an}的公比為(　　) A. B．2 C．－ D．－2 答案　D 解析　設(shè){an}的公比為q(q≠0)，由等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4，S3，S5成等差數(shù)列，得2S3＝S4＋S5. 當(dāng)q＝1時(shí)，S4＝4a1，S3＝3a1，S5＝5a1， 此時(shí)2S3≠S4＋S5，不滿足題意； 當(dāng)q≠1時(shí)，有＝＋，即q2＋q－2＝0， 解得q＝－2或q＝1(舍

4、去)． 方法二　位置關(guān)系的分類整合法 模型解法 對(duì)于幾何中位置關(guān)系的分類討論問題常采用分類整合法，這種方法適用于解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的研究．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)： ①確定特征，一般在確立初步特征時(shí)將能確定的所有位置先確定． ②分類，根據(jù)初步特征對(duì)可能出現(xiàn)的位置關(guān)系進(jìn)行分類． ③得出結(jié)論，將“所有關(guān)系”下的目標(biāo)問題進(jìn)行匯總處理． 典例2　在約束條件下，當(dāng)3≤s≤5時(shí)，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是(　　) A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8] 解析　由可得 由圖，可得A(2,0)，B(4－s,

5、2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)． ①當(dāng)3≤s<4時(shí)，不等式組所表示的可行域是四邊形OABC及其內(nèi)部，此時(shí)，z＝3x＋2y在點(diǎn)B處取得最大值，且zmax＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤zmax<8. ②當(dāng)4≤s≤5時(shí)，不等式組所表示的可行域是△OAC′及其內(nèi)部，此時(shí)z＝3x＋2y在點(diǎn)C′處取得最大值，且zmax＝8. 綜上可知，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是[7,8]，故選D. 答案　D 思維升華　(1)在解析幾何位置關(guān)系的研究中，不能僅僅關(guān)注直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的相交、相離和相切三種情況，還要注意焦點(diǎn)在不同位置時(shí)的關(guān)系的探究． (

6、2)在幾何圖形的相關(guān)問題中，要充分發(fā)揮空間想象能力，將所有可能出現(xiàn)的關(guān)系“一網(wǎng)打盡”．如本題隨著s取值的變化，目標(biāo)函數(shù)值是會(huì)隨著變化的，如果考慮不全，就會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論． 跟蹤演練2　拋物線y2＝4px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________． 答案　4 解析　當(dāng)|PO|＝|PF|時(shí)，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，此時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)；當(dāng)|OP|＝|OF|時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)；對(duì)|FO|＝|FP|的情形，點(diǎn)P不存在．事實(shí)上，F(xiàn)(p，0)，若設(shè)P(x，y)，則|FO|＝p，|FP|＝， 若＝p，則有x2－2px＋y2＝

7、0， 又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p， 當(dāng)x＝0時(shí)，不構(gòu)成三角形．當(dāng)x＝－2p(p>0)時(shí)，與點(diǎn)P在拋物線上矛盾．∴符合要求的點(diǎn)P有4個(gè)． 方法三　含參問題的分類整合法 模型解法 含參問題的分類整合法是分類討論問題中最重要、最常見也是最復(fù)雜的一種方法，在解決問題中一般根據(jù)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類．此模型適用于某些含有參數(shù)的問題，如含參的方程、不等式等，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的方法進(jìn)行求解或證明，因此要分類討論．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)： ①確定范圍，確定需要分類問題中參數(shù)的取值范圍． ②確定分類標(biāo)準(zhǔn)，這些分類標(biāo)準(zhǔn)

8、都是在解題過程中根據(jù)解決問題的需要確定的，注意有些參數(shù)可能出現(xiàn)多級(jí)分類，要做到不重不漏． ③分類解決問題，對(duì)分類出來的各相應(yīng)問題分別進(jìn)行求解． ④得出結(jié)論，將所得到的結(jié)論進(jìn)行匯總，得出正確結(jié)論． 典例3　函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 解析　方法一　當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝4x－3在[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3＝a2－3－，其對(duì)稱軸為x＝－. 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝a

9、x2＋4x－3在[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 當(dāng)a<0時(shí)，只有當(dāng)－≥2，即－1≤a<0時(shí)，f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為f(2)，滿足題意． 綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)． 故選B. 方法二　由f(x)＝ax2＋4x－3，得f′(x)＝2ax＋4， 要使函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)， 需使f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，則f′(x)＝2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立， 當(dāng)x＝0時(shí)成立，當(dāng)x≠0時(shí)，由x∈(0,2

10、]，得a≥－， 因?yàn)椋?0,2]上的最大值為－1，所以a≥－1. 綜上，當(dāng)a≥－1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)．故選B. 答案　B 思維升華　對(duì)于含參問題的分類討論主要有以下三種類型：(1)概念型，即問題所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的，如|a|的定義分a>0，a＝0，a<0三種情況． (2)性質(zhì)型，即問題中涉及的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制、或者是分類給出的，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分q＝1和q≠1兩種情況． (3)含參型，求解含有參數(shù)的問題時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論．另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形

11、狀或位置、不確定的結(jié)論等，都需要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性． 跟蹤演練3　已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且F2到直線x－y－9＝0的距離等于橢圓的短軸長． (1)求橢圓C的方程； (2)若圓P的圓心為P(0，t)(t>0)，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)，Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點(diǎn)為M，當(dāng)|QM|的最大值為時(shí)，求t的值． 解　(1)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)， 依題意可得2b＝＝4， 所以b＝2，又c＝1，所以a2＝b2＋c2＝5， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)Q(x，y)， 圓P的方程為x2＋(y－t)2＝t2＋1， 連接PM，因?yàn)镼M為圓P的切線， 所以PM⊥QM， 所以|QM|＝ ＝ ＝. ①若－4t≤－2，即t≥時(shí)， 當(dāng)y＝－2時(shí)，|QM|取得最大值， 且|QM|max＝＝， 解得t＝<(舍去)． ②若－4t>－2，即0