高考數(shù)學(xué) 17-18版 第9章 熱點(diǎn)探究訓(xùn)練6

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1、 熱點(diǎn)探究訓(xùn)練(六) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時：30分鐘) 1．(2017·揚(yáng)州模擬)如圖3，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M在PF1上，＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M. 圖3 (1)若橢圓方程為＋＝1，P(2，)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)； (2)若λ＝2，求橢圓離心率e的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：62172281】 [解]　(1)∵＋＝1，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， ∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝. ∴直線F2M的方程為y＝－(x－2)，直線F1M的方程為：y＝(x＋2)． 由 解得x＝， ∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)

2、為.6分 (2)設(shè)P(x0，y0)，M(xM，yM)， ∵＝2，∴＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，∴M，＝. ∵PO⊥F2M，＝(x0，y0)，∴x0＋y＝0， 即x＋y＝2cx0. 聯(lián)立方程得，消去y0得：c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0. 解得x0＝或x0＝. ∵－a. 綜上，橢圓離心率e的取值范圍為.14分 2．(2017·無錫期末)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)的離心率為，一個焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為3，圓N的方程為(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c為半焦距)，直線l ：

3、y＝kx＋m(k>0)與橢圓M和圓N均只有一個公共點(diǎn)，分別設(shè)為A，B. (1)求橢圓方程和直線方程； (2)試在圓N上求一點(diǎn)P，使＝2. [解]　(1)由題意知解得a＝2，c＝1，所以b＝， 所以橢圓M的方程為：＋＝1. 圓N的方程為(x－1)2＋y2＝5. 由直線l：y＝kx＋m與橢圓M只有一個公共點(diǎn)，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，① 所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2.② 由直線l：y＝kx＋m與N只有一個公共點(diǎn)，得＝， 即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③ 將②代入③得km＝1，④ 由②，④且k>0

4、，得：k＝，m＝2. 所以直線方程為：y＝x＋2.6分 (2)將k＝，m＝2代入①可得A， 又過切點(diǎn)B的半徑所在的直線l′為：y＝－2x＋2，所以得交點(diǎn)B(0,2)，設(shè)P(x，y)，因?yàn)椋?， 則＝8，化簡得：7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0，⑤ 又P(x，y)滿足x＋y－2x0＝4，⑥ 將⑤－7×⑥得：3x0－2y0＋5＝0，即y0＝.⑦ 將⑦代入⑥得：13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－， 所以P(－1,1)或P.14分 B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·泰州中學(xué)高三摸底考試)已知橢圓Γ：＋y2＝1. (1)橢圓Γ的短軸端

5、點(diǎn)分別為A，B(如圖4)，直線AM，BM分別與橢圓Γ交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M滿足m≠0，且m≠±. ①證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)； ②若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值． (2)若圓O：x2＋y2＝4.l1，l2是過點(diǎn)P(0，－1)的兩條互相垂直的直線，其中l(wèi)1交圓O于T，R兩點(diǎn)，l2交橢圓Γ于另一點(diǎn)Q.求△TRQ面積取最大值時直線l1的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：62172282】 圖4 [解]　(1)①因?yàn)锳(0,1)，B(0，－1)，M，且m≠0，∴直線AM的斜率為k1＝－，直線BM的斜率為k2＝， ∴直線AM的方程為y＝－x＋1，直線BM的方程為y＝x－1，

6、 由得(m2＋1)x2－4mx＝0， ∴x＝0，x＝，∴E， 由得(m2＋9)x2－12mx＝0， ∴x＝0或x＝，∴F； 據(jù)已知m≠0，m2≠3， ∴直線EF的斜率 k＝＝＝－， ∴直線EF的方程為y－＝－， 令x＝0，得y＝2， ∴EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)． ②S△AMF＝MA·MFsin ∠AMF， S△BME＝MB·MEsin ∠BME，∠AMF＝∠BME， 5S△AMF＝S△BME，∴5MA·MF＝MB·ME， ∴＝， ∴＝. ∵m≠0， ∴整理方程得＝－1，即(m2－3)(m2－1)＝0， 又有m≠±，∴m2－3≠0，∴m2＝1，∴m＝±1為所

7、求.8分 (2)因?yàn)橹本€l1⊥l2，且都過點(diǎn)P(0，－1)，所以設(shè)直線l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0， 直線l2：y＝－x－1，即x＋ky＋k＝0， 所以圓心(0,0)到直線l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0的距離d＝， 所以直線l1被圓x2＋y2＝4所截的弦 TR＝2＝； 由得k2x2＋4x2＋8kx＝0， 所以xQ＋xp＝－，所以QP＝＝， 所以S△TRQ＝QP·TR＝＝≤＝， 當(dāng)＝，即k2＝，解得k＝±時等號成立， 此時直線l1：y＝±x－1.16分 2．(2017·蘇北四市期末)如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率

8、e＝，左頂點(diǎn)為A(－4,0)，過點(diǎn)A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E. 圖5 (1)求橢圓C的方程； (2)已知點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； (3)若過點(diǎn)O作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，求的最小值． [解]　(1)因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為A(－4,0)，所以a＝4， 又e＝，所以c＝2，b2＝a2－c2＝12， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)直線l的方程為y＝k(x＋4)，由消元得，＋＝1. 化簡得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，所以x1＝－4

9、，x2＝.8分 當(dāng)x＝時，y＝k＝，所以D. 因?yàn)镻為AD的中點(diǎn)， 所以P的坐標(biāo)為，kOP＝－(k≠0)， 直線l的方程為y＝k(x＋4)，令x＝0得E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4k)， 假設(shè)存在定點(diǎn)Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，則kOP·kEQ＝－1，即－·＝－1恒成立， 所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，所以即 所以存在定點(diǎn)Q，對于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，且定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－3,0).12分 (3)因?yàn)镺M∥l，所以O(shè)M的方程可設(shè)為y＝kx， 由得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝±， 由OM∥l，得＝＝ ＝＝· ＝≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝即k＝±時取等號， 所以當(dāng)k＝±時，的最小值為2.16分