高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第3章 第15課 基本不等式及其應(yīng)用

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1、 第15課 基本不等式及其應(yīng)用 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 基本不等式及其應(yīng)用 √ 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b. 2．幾個(gè)重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同號(hào)且不為零)； (3)ab≤2(a，b∈R)； (4)2≤(a，b∈R)． 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 4．利用基本不等式求最值問(wèn)題

2、已知x>0，y>0，則 (1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大)． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (3)x>0，y>0是＋≥2的充要條件．(　　) (4)若a>0，則a3＋的最小值為2.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的

3、是________．(填序號(hào)) ①a2＋b2>2ab； ②a＋b≥2； ③＋>； ④＋≥2. ④　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①錯(cuò)誤；對(duì)于②，③，當(dāng)a<0，b<0時(shí)，明顯錯(cuò)誤． 對(duì)于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2.] 3．若a，b都是正數(shù)，則的最小值為________． 9　[∵a，b都是正數(shù)，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a>0時(shí)取等號(hào)．] 4．若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于________． 3　[當(dāng)x>2時(shí)，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝(x>2)，即x＝3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)f(x)取

4、得最小值時(shí)，x＝3，即a＝3.] 5．(教材改編)若把總長(zhǎng)為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的最大面積是__________m2. 25　[設(shè)矩形的一邊為x m，矩形場(chǎng)地的面積為y， 則另一邊為×(20－2x)＝(10－x)m， 則y＝x(10－x)≤2＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時(shí)，ymax＝25.] 利用基本不等式求最值 角度1　配湊法求最值 　(1)已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172084】 (2)(2017·無(wú)錫模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，則的最小值為

5、________． (1)1　(2)4　[(1)因?yàn)閤<，所以5－4x>0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1. (2)由log2x＋log2y＝1得xy＝2. ∴＝＝(x－y)＋. 又x>y，∴x－y>0. ∴(x－y)＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x－y＝，即x－y＝2時(shí)等號(hào)成立． 故的最小值為4.] 角度2　常數(shù)代換或消元法求最值 　(1)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________． (2)設(shè)a＋b＝2，b>0，則＋取最小值時(shí)，a的值為______

6、__． (1)5　(2)－2　[(1)法一：由x＋3y＝5xy可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋＝5. (當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1，y＝時(shí)，等號(hào)成立)， ∴3x＋4y的最小值是5. 法二：由x＋3y＝5xy，得x＝， ∵x>0，y>0，∴y>. ∴3x＋4y＝＋4y ＝＋4y ＝＋·＋4≥＋2＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)y＝時(shí)等號(hào)成立， ∴(3x＋4y)min＝5. (2)∵a＋b＝2， ∴＋＝＋ ＝＋ ＝＋＋ ≥＋2＝＋1， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號(hào)成立． 又a＋b＝2，b>0， ∴當(dāng)b＝－2a，a＝－2時(shí)，＋取得最小值．] 角度3　不等式的綜合應(yīng)用

7、 　(1)設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＋－的最大值為________． (2)設(shè)f(x)＝ln x,0p; ④p＝r>q. (1)1　(2)②　[＝＝≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以＋－＝－＝－2＋1≤1. (2)因?yàn)閎>a>0，故>.又f(x)＝ln x(x>0)為增函數(shù)，所以f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(

8、ln a＋ln b)＝ln ＝p，∴p＝r0，b>0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172085】 [證明]　(1)＋＋＝2. ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． (2)法一：∵a>0，b>0

9、，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9， ∴≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． 法二：＝1＋＋＋， 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9. [規(guī)律方法]　1.“1”的代換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，代換變形后能使用基本不等式是代換的前提，不能盲目變形． 2．利用基本不等式證明不等式，關(guān)鍵是所證不等式必須是有“和”式或“積”式，通過(guò)將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，達(dá)到放縮的效果，必要時(shí)，也需要運(yùn)用“拆、拼、湊”的技巧，同時(shí)應(yīng)注意多次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號(hào)能否取到． [變式訓(xùn)練1]　設(shè)a，b均為正實(shí)數(shù)，求證：＋＋ab≥2.

10、 [證明]　由于a，b均為正實(shí)數(shù)， 所以＋≥2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)等號(hào)成立， 又因?yàn)椋玜b≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝ab時(shí)等號(hào)成立， 所以＋＋ab≥＋ab≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)即a＝b＝時(shí)取等號(hào). 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 　運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時(shí))．假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元． (1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值． [解]　(1)設(shè)所用時(shí)間為t＝(h)， y＝×2×＋14×，x∈[50,

11、100]． 所以這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是 y＝＋x，x∈. (或y＝＋x，x∈)． (2)y＝＋x≥26 ， 當(dāng)且僅當(dāng)＝x， 即x＝18，等號(hào)成立． 故當(dāng)x＝18千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26元． [規(guī)律方法]　1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． 2．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值． 3．在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解． [變式訓(xùn)練2]　某化工企業(yè)2016年年底投入100萬(wàn)元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備．該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬(wàn)元，此外每年都要

12、花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元．設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用為y(單位：萬(wàn)元)． (1)用x表示y； (2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí)，企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備．則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備． [解]　(1)由題意得， y＝， 即y＝x＋＋1.5(x∈N＋)． (2)由基本不等式得： y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝10時(shí)取等號(hào)． 故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備． [思想與方法] 1．基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”

13、和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解． 2．基本不等式的兩個(gè)變形： (1)≥2≥ab(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))． (2)≥≥≥(a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))． [易錯(cuò)與防范] 1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三個(gè)條件缺一不可． 2．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立”的含義是“a＝b”是等號(hào)成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽視它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤． 3．

14、連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致． 課時(shí)分層訓(xùn)練(十五) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、填空題 1．下列命題中正確的是________．(填序號(hào)) ①y＝x＋的最小值是2； ②y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4； ③y＝sin2x＋的最小值是4； ④y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4. ②　[①不正確，如取x＝－1，則y＝－2. ②正確，因?yàn)閥＝2－3x－＝2－≤2－2＝2－4. 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立． ③不正確，令sin2x＝t，則0＜t≤1，所以g(t)＝t＋，顯然g(t)在(0,1]上單調(diào)遞減，故g(t)m

15、in＝g(1)＝1＋4＝5. ④不正確，∵x＜0，∴－x＞0， ∴y＝2－3x－＝2＋≥2＋4. 當(dāng)且僅當(dāng)－3x＝－，即x＝－時(shí)等號(hào)成立．] 2．關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集為(x1，x2)，則x1＋x2＋的最小值是________． 　[依題意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，故x1＋x2＋的最小值為.] 3．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172086】 16　[因?yàn)閍＞0，b＞0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因?yàn)椋?/p>

16、2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值為16.] 4．(2017·鹽城模擬)若x>0，y>0，且2x＋y＝2，則＋的最小值是________． ＋　[由2x＋y＝2得x＋＝1. ∴＋＝＝1＋＋＋ ＝＋＋≥＋2＝＋.] 5．要制作一個(gè)容積為4 m3 ，高為1 m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________． 160元　[由題意知，體積V＝4 m3，高h(yuǎn)＝1 m， 所以底面積S＝4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長(zhǎng)是x m，則另一條邊長(zhǎng)是 m．又設(shè)總造價(jià)是y元，則 y＝2

17、0×4＋10×≥80＋20＝160. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝2時(shí)取得等號(hào)．] 6．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝y(tǒng)，若＋(m＞0)的最小值為3，則m的值為________． 4　[由2x－3＝y(tǒng)得x＋y＝3，則 ＋＝(x＋y)· ＝≥(1＋m＋2)， ∴(1＋m＋2)＝3，即(＋1)2＝9，解得m＝4.] 7．若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為________． 2　[由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)即a＝，b＝2時(shí)取“＝”，所以ab的最小值為2.] 8．已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是__________.

18、 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172087】 3　[由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，則2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以2x＋y的最小值為3.] 9．當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)f(x)＝loga(x－1)＋1的圖象恒過(guò)點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx－y＋n＝0上，則4m＋2n的最小值為________． 2　[由題意可得：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，所以2m＋n＝1，所以4m＋2n＝22m＋2n≥2＝2＝2.] 10．(2017·蘇州期末)已知ab＝，a，b∈(0,1)，則＋的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172088】 4＋　[∵ab＝，∴b＝. ∴＋＝＋

19、＝＋ ＝＋＝＋＋2 ＝＋＋2 ＝＋2 ＝＋2 ≥(3＋2)＋2＝4＋. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)，取“＝”．] 二、解答題 11．(1)當(dāng)x<時(shí)，求函數(shù)y＝x＋的最大值； (2)設(shè)00， ∴＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝－時(shí)取等號(hào)． 于是y≤－4＋＝－，故函數(shù)的最大值為－. (2)∵00， ∴y＝＝·≤·＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號(hào)， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝的最大值為. 12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：

20、 (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． [解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 又x>0，y>0， 則1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立． 所以xy的最小值為64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 則x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋ ≥10＋2 ＝18. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號(hào)成立， 所以x＋y的最小值為18. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2016·揚(yáng)州期末)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，則a＋的最小值為________． 3　[由2logab＋3logba＝7

21、得logab＝或logab＝3(舍去)， ∴a＝b2， ∴a＋＝b2＋＝(b2－1)＋＋1≥2＋1＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)b2－1＝，即b＝，a＝2時(shí)等號(hào)成立．] 2．(2015·山東高考)定義運(yùn)算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．當(dāng)x>0，y>0時(shí)，x?y＋(2y)?x的最小值為________． 　[因?yàn)閤y＝，所以(2y)x＝.又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝＋＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立．] 3．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某旅游城市在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，第t天(1≤t≤30，t∈N＋)的旅游人數(shù)f(t)(萬(wàn)人)近似地滿足f(t)＝4＋，而人均消費(fèi)g(t)(元

22、)近似地滿足g(t)＝120－|t－20|. (1)求該城市的旅游日收益W(t)(萬(wàn)元)與時(shí)間t(1≤t≤30，t∈N＋)的函數(shù)關(guān)系式； (2)求該城市旅游日收益的最小值． [解]　(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|) ＝ (2)當(dāng)t∈[1,20]時(shí)，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5時(shí)取最小值)． 當(dāng)t∈(20,30]時(shí)，因?yàn)閃(t)＝559＋－4t遞減， 所以t＝30時(shí)，W(t)有最小值W(30)＝443， 所以t∈[1,30]時(shí)，W(t)的最小值為441萬(wàn)元． 4．(2017·鹽城模擬)已知美國(guó)蘋果公司生產(chǎn)某款iPhone手機(jī)的年固定成本為

23、40萬(wàn)美元，每生產(chǎn)1萬(wàn)只還需另投入16萬(wàn)美元．設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機(jī)x萬(wàn)只并全部銷售完，每萬(wàn)只的銷售收入為R(x)萬(wàn)美元，且 R(x)＝ (1)寫出年利潤(rùn)W(萬(wàn)美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)只)的函數(shù)解析式； (2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)只時(shí)，蘋果公司在該款iPhone手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)． [解]　(1)當(dāng)040，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360. 所以，W＝ (2)①當(dāng)040時(shí)，W＝－－16x＋7 360， 由于＋16x≥2＝1 600， 當(dāng)且僅當(dāng)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時(shí)，W取最大值為5 760. 綜合①②知，當(dāng)產(chǎn)量為32萬(wàn)只時(shí)，W取最大值為6 104美元．