高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第5章 第71課 矩陣與變換

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1、 第五章　矩陣與變換 第71課 矩陣與變換 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 矩陣的概念 √ 二階矩陣與平面向量 √ 常見的平面變換 √ 變換的復(fù)合與矩陣的乘法 √ 二階逆矩陣 √ 二階矩陣的特征值與特征向量 √ 二階矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用 √ 1．乘法規(guī)則 (1)行矩陣[a11　a12]與列矩陣的乘法規(guī)則： [a11　a12]＝a11×b11＋a12×b21. (2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則： ＝. (3)兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其乘法法則如下： ＝

2、. (4)兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律． 即(AB)C＝A(BC)， AB≠BA， 由AB＝AC不一定能推出B＝C. 一般地，兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算． 2．常見的平面變換 (1)恒等變換：如； (2)伸壓變換：如； (3)反射變換：如； (4)旋轉(zhuǎn)變換：如，其中θ為旋轉(zhuǎn)角度； (5)投影變換：如，； (6)切變變換：如(k∈R，且k≠0)． 3．逆變換與逆矩陣 (1)對(duì)于二階矩陣A、B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣； (2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩

3、陣，且(AB)－1＝B－1A－1. 4．特征值與特征向量 設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量α，使Aα＝λα，那么λ稱為A的一個(gè)特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量． 5．特征多項(xiàng)式 設(shè)A＝是一個(gè)二階矩陣，λ∈R，我們把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，稱為A的特征多項(xiàng)式． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)每一個(gè)二階矩陣都可逆．(　　) (2)每一個(gè)二階矩陣都有特征值及特征向量．(　　) (3)把每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變的線性變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為.(　　) (4)對(duì)于

4、矩陣A，B來說AB＝BA.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．函數(shù)y＝x2在矩陣M＝變換作用下的解析式為________． y＝x2　[∵＝＝， ∴代入y＝x2得y′＝x′2，即y＝x2.] 3．(教材改編)二階矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(－2,1)變換成(0，b)，則a＝________，b＝________. 2　－2　[由＝，得即] 4．設(shè)矩陣A＝，則矩陣A的特征向量為________． ，　[f(λ)＝＝λ2－1＝0，得λ1＝1，λ2＝－1. 當(dāng)λ＝1時(shí)，得特征向量a1＝； 當(dāng)λ＝－1時(shí)，得特征向量a2＝.] 5．已知矩陣A＝，B＝，若AX

5、＝B，則矩陣X＝________. 　[設(shè)X＝，由＝，得 解得∴X＝.] 二階矩陣與線性變換 　二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，－1)與(－2,1)分別變成點(diǎn)(－1，－1)與(0，－2)． (1)求矩陣M； (2)設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：x－y＝4.求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172370】 [解]　(1)設(shè)二階矩陣M＝. 依題意＝，＝， 也就是＝，＝， ∴且 解得a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，因此所求矩陣M＝. (2)∵M(jìn)＝，∴坐標(biāo)變換公式為 ∵(x′，y′)是直線m：x－y＝4上的點(diǎn)． ∴(x＋2y)－(3x＋4y)＝4， 即x＋y

6、＋2＝0，∴直線l的方程為x＋y＋2＝0. [規(guī)律方法]　1.二階矩陣與線性變換的題目往往和矩陣的基本運(yùn)算相結(jié)合命題．包括二階矩陣的乘法，矩陣與向量的乘法等． 2．(1)二階矩陣與線性變換涉及變換矩陣、變換前的曲線方程、變換后的曲線方程三個(gè)要素．知其二可求第三個(gè)．(2)在解決通過矩陣進(jìn)行平面曲線的變換問題時(shí)，要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆． [變式訓(xùn)練1]　(2017·南通二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(－1,2)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)A′，將點(diǎn)B(3,4)繞點(diǎn)A′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B′，求點(diǎn)B′的坐標(biāo)． [解]　設(shè)B′(x，y)， 依題意，由＝，得A′(

7、1,2)． 則＝(2,2)，＝(x－1，y－2)． 記旋轉(zhuǎn)矩陣N＝， 則＝，即＝，解得所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(－1,4). 求逆矩陣 　已知矩陣A＝. (1)求逆矩陣A－1； (2)若二階矩陣X滿足AX＝，試求矩陣X. [解]　(1)∵det(A)＝＝－1≠0. ∴矩陣A是可逆的， ∴A－1＝＝. (2)∵AX＝，∴A－1AX＝A－1， ∴X＝＝. [規(guī)律方法]　求逆矩陣的方法： (1)待定系數(shù)法 設(shè)A是一個(gè)二階可逆矩陣，AB＝BA＝E； (2)公式法 A＝＝ad－bc≠0，有A－1＝. [變式訓(xùn)練2]　已知矩陣A＝，B＝，求矩陣A－1B. [解]　設(shè)矩陣

8、A的逆矩陣為， 則＝， 即＝， 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝， 從而A的逆矩陣為A－1＝， 所以A－1B＝＝. 特征值與特征向量 　(2017·蘇州模擬)求矩陣M＝的特征值和特征向量. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172371】 [解]　特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f(λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2. 將λ1＝7代入特征方程組，得即y＝2x，可取為屬于特征值λ1＝7的一個(gè)特征向量， 同理，λ2＝－2時(shí)，特征方程組是即x＝－4y，所以可取為屬于特征值λ2＝－2的一個(gè)特征向量． 綜上所述，矩陣M＝有兩個(gè)特征值λ1

9、＝7，λ2＝－2； 屬于λ1＝7的一個(gè)特征向量為，屬于λ2＝－2的一個(gè)特征向量為. [規(guī)律方法]　已知A＝，求特征值和特征向量的步驟： (1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ； (2)列方程組 (3)賦值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，寫出相應(yīng)的向量． [變式訓(xùn)練3]　(2015·江蘇高考)已知x，y∈R，向量α＝是矩陣A＝的屬于特征值－2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值． [解]　由已知，得Aα＝－2α， 即＝＝， 則即 所以矩陣A＝. 從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.

10、 [思想與方法] 1．二階矩陣與平面列向量乘法：＝，這是所有變換的基礎(chǔ)． 2．證明兩個(gè)矩陣互為逆矩陣時(shí)，切記從兩個(gè)方向進(jìn)行，即AB＝E＝BA. 3．二元一次方程組相應(yīng)的矩陣方程為AX＝B，其中A＝為系數(shù)矩陣，X為未知數(shù)向量，B＝為常數(shù)向量． 4．若某一向量在矩陣交換作用下的像與原像共線，則稱這個(gè)向量是屬于該變換矩陣的特征向量，相應(yīng)共線系數(shù)為屬于該特征向量的特征值． [易錯(cuò)與防范] 1．兩個(gè)矩陣相等，不但要求元素相同，而且要求相同元素的位置也一樣． 2．對(duì)于矩陣的乘法運(yùn)算不滿足消去律，即由AC＝BC不一定得到A＝B. 3．矩陣A的屬于特征值λ的特征向量不唯一，其特征值λ的特征

11、向量共線． 課時(shí)分層訓(xùn)練(十五) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．已知矩陣A＝，B＝，向量α＝，若Aα＝Bα，求實(shí)數(shù)x，y的值． [解]　Aα＝，Bα＝， 由Aα＝Bα得解得x＝－，y＝4. 2．(2017·如皋中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P(x,5)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q(y－2，y)，求M－1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172372】 [解]　依題意，＝，即解得，由逆矩陣公式知，矩陣M＝的逆矩陣M－1＝， 所以M－1＝＝. 3．(2017·泰州二中月考)若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(－2,2)，求矩陣M的逆矩陣． [解]

12、　由題意，得＝， ∴ ∴sin α＝1，cos α＝0， ∴M＝. ∴＝1≠0，∴M－1＝. 4．已知矩陣A＝，其中a∈R，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′(0，－3)． (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)求矩陣A的特征值及特征向量. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172373】 [解]　(1)由＝，得a＋1＝－3，∴a＝－4. (2)由(1)知A＝， 則矩陣A的特征多項(xiàng)式為 f(x)＝＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3， 令f(λ)＝0，得矩陣A的特征值為－1或3. 當(dāng)λ＝－1時(shí)二元一次方程?y＝2x. ∴矩陣A的屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為. 當(dāng)λ＝3時(shí)，二元一次方程?

13、2x＋y＝0. ∴矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2017·蘇州市期中)已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1＝，并且矩陣M將點(diǎn)(－1,3)變換為(0,8)． (1)求矩陣M； (2)求曲線x＋3y－2＝0在M的作用下的新曲線方程． [解]　(1)設(shè)M＝，由＝8及＝， 得解得∴M＝. (2)設(shè)原曲線上任一點(diǎn)P(x，y)在M作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)，則＝，即解得 代入x＋3y－2＝0得x′－2y′＋4＝0， 即曲線x＋3y－2＝0在M的作用下的新曲線方程為x－2y＋4＝0. 2．(2016·南京鹽城

14、一模)設(shè)矩陣M＝的一個(gè)特征值為2，若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2＋y2＝1，求曲線C的方程． [解]　由題意，矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)， 因矩陣M有一個(gè)特征值為2，f(2)＝0，所以a＝2. 所以M＝＝＝，即 代入方程x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲線C的方程為8x2＋4xy＋y2＝1. 3．(2016·蘇北三市三模)已知矩陣A＝，向量α＝，計(jì)算A5α. [解]　因?yàn)閒(λ)＝＝λ2－5λ＋6 ，由f(λ)＝0，得λ＝2或λ＝3. 當(dāng)λ＝2時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α1＝； 當(dāng)λ＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α2＝. 設(shè)＝m＋n，解得 所以A5α＝2×25＋1×35＝. 4．已知矩陣A＝，B＝ (1)求矩陣A的逆矩陣； (2)求直線x＋y－1＝0在矩陣A－1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下所得的曲線的方程． [解]　(1)設(shè)A－1＝， ∵A·A－1＝·＝， ∴ ∴∴A－1＝. (2)A－1B＝＝， 設(shè)直線x＋y－1＝0上任意一點(diǎn)P(x，y)在矩陣A－1B對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得P′(x′，y′)， 則＝， ∴即 代入x＋y－1＝0得x′＋3y′＋(－y′)－1＝0， 可化為：x′＋2y′－1＝0， 即x＋2y－1＝0為所求的曲線方程．