高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第1章 第60課 離散型隨機(jī)變量及其概率分布

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1、 第60課 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 離散型隨機(jī)變量及其分布列 √ 超幾何分布 √ 1．離散型隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量． 2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì) (1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則下表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi

2、 … pn (2)離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì)： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1. 3．常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布 (1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其概率分布為 X 0 1 P 1－p p ，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率． (2)超幾何分布 一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝r)＝(r＝0,1,2，…，l)． 即 X 0 1 … l P … 其中l(wèi)＝min(n，M)，且n≤N，M≤N，n，M，

3、N∈N＋. 如果一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)離散型隨機(jī)變量的概率分布中，各個(gè)概率之和可以小于1.(　　) (2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (3)如果隨機(jī)變量X的概率分布由下表給出，則它服從兩點(diǎn)分布．(　　) X 2 5 P 0.3 0.7 (4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)拋擲甲、乙兩顆骰子，

4、所得點(diǎn)數(shù)之和為X，那么X＝4表示的基本事件是________．(填序號(hào)) ①一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn) ②兩顆都是2點(diǎn) ③一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) ④甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)或甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) ④　[甲是3點(diǎn)，乙是1點(diǎn)與甲是1點(diǎn)，乙是3點(diǎn)是試驗(yàn)的兩個(gè)不同結(jié)果．] 3．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下： X 1 2 3 4 5 P p 則p等于________． 　[由分布列的性質(zhì)，＋＋＋＋p＝1. ∴p＝1－＝.] 4．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 10　[由于隨

5、機(jī)變量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每個(gè)數(shù)的概率均為，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.] 5．從裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的概率分布為_(kāi)_______. X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 [依題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2. 則P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6， P(X＝2)＝＝0.3. 故X的概率分布為 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 ] 離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì) 　設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分

6、布為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求隨機(jī)變量η＝|X－1|的概率分布． [解]　由概率分布的性質(zhì)，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 列表 X 0 1 2 3 4 |X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3. 因此η＝|X－1|的概率分布為 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 [規(guī)律方法]　1.利

7、用分布列中各概率之和為“1”可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證兩個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)． 2．若X是隨機(jī)變量，則η＝|X一1|仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求對(duì)應(yīng)的事件概率，進(jìn)而寫出概率分布． [變式訓(xùn)練1]　隨機(jī)變量X的概率分布如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172326】 　[由題意知 所以2b＋b＝1，則b＝，因此a＋c＝. 所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝.] 離散型隨機(jī)變量的概率分布 　(

8、2015·安徽高考改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束． (1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率； (2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的概率分布． [解]　(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A，P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(

9、X＝300) ＝1－－＝＝. 故X的概率分布為 X 200 300 400 P [規(guī)律方法]　1.求隨機(jī)變量的概率分布的主要步驟： (1)明確隨機(jī)變量的取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布； (2)求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率； (3)列成表格，寫出概率分布，其中的關(guān)鍵是第(2)步． 2．本題在計(jì)算中注意兩點(diǎn)：(1)充分利用排列與組合知識(shí)準(zhǔn)確計(jì)算古典概型的概率；(2)靈活運(yùn)用概率分布的性質(zhì)求P(X＝400)的概率，簡(jiǎn)化了計(jì)算． [變式訓(xùn)練2]　(2016·天津高考改編)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,

10、4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)． (1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的概率分布． [解]　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以，隨機(jī)變量X的概率分布為 X 0 1 2 P 超幾何分布 　為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加．現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中

11、種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的概率分布. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172327】 [解]　(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以，事件A發(fā)生的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 則P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的概率分布為 X 1 2 3 4

12、 P [規(guī)律方法]　1.超幾何分布是一種特殊的概率分布，其分布列可由公式直接給出．具有兩個(gè)特點(diǎn)：(1)是不放回抽樣問(wèn)題；(2)隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)． 2．超幾何分布應(yīng)用的條件：(1)考察對(duì)象分兩類；(2)已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3)從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)ξ的概率分布，其實(shí)質(zhì)是古典概型問(wèn)題． [變式訓(xùn)練3]　端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個(gè)． (1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率； (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的概率分布． [解]　(1)令A(yù)

13、表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)＝＝. (2)X的所有可能值為0,1,2，且 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 綜上知，X的概率分布為 X 0 1 2 P [思想與方法] 1．對(duì)于隨機(jī)變量X的研究，需要了解隨機(jī)變量能取哪些值以及取這些值或取某一個(gè)集合內(nèi)的值的概率，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，它的分布正是指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取這些值的概率． 2．求離散型隨機(jī)變量的概率分布，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率． [易錯(cuò)與防范] 1．對(duì)于分布

14、列易忽視其性質(zhì)p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1,2，…，n)，其作用是求隨機(jī)變量取某個(gè)值的概率或檢驗(yàn)所求離散型隨機(jī)變量的概率分布是否正確． 2．確定離散型隨機(jī)變量的取值時(shí)，易忽視各個(gè)可能取值表示的事件是彼此互斥的． 3．概率分布的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值；第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率． 課時(shí)分層訓(xùn)練(四) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求a； (2)求P； (3)求P. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172328】 [解]　(1)由概率分布的性質(zhì)， 得P＋P＋

15、P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝. (2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝. (3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝. 2．一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是. (1)求白球的個(gè)數(shù)； (2)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的概率分布． [解]　(1)記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x， 則P(A)＝1－＝，得到x＝5.故白球有5個(gè)． (2)X服從超幾何分布， P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 于是可得其概率分布為 X

16、 0 1 2 3 P 3.(2017·南京模擬)若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等)． 在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”； (2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的概率分布． [解]　(1)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145

17、,235,245,345. (2)由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為C＝84，隨機(jī)變量X的取值為：0，－1,1，因此 P(X＝0)＝＝， P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝1－－＝. 所以X的概率分布為 X 0 －1 1 P 4.盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球．規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分．現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球． (1)求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率； (2)求取出的3個(gè)球得分之和恰好為1分的概率； (3)設(shè)ξ為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求ξ的概率分布. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：6

18、2172329】 [解]　(1)P＝1－＝. (2)記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件B，“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事件C，則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝. (3)ξ可能的取值為0,1,2,3，ξ服從超幾何分布， P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3. 故P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， ξ的概率分布為： ξ 0 1 2 3 P B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條

19、棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，求隨機(jī)變量ξ的概率分布． [解]　若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè)，過(guò)任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，所以共有8C對(duì)相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝. 若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對(duì)， 故P(ξ＝)＝＝， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝， 所以隨機(jī)變量ξ的概率分布是 ξ 0 1 P 2.某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購(gòu)物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下： 獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球．顧客不放回地每次摸出

20、1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì)． (1)求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率； (2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的概率分布． [解]　(1)設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件A，則P(A)＝＝， 故1名顧客摸球3次停止摸球的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有取值為0,5,10,15,20. P(X＝0)＝，P(X＝5)＝＝， P(X＝10)＝＋＝， P(X＝15)＝＝， P(X＝20)＝＝. 所以，隨機(jī)變量X的概率分布為 X 0 5 10 15 20

21、 P 3．已知甲箱中只放有x個(gè)紅球與y個(gè)白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2個(gè)紅球、1個(gè)白球與1個(gè)黑球(球除顏色外，無(wú)其他區(qū)別)．若從甲箱中任取2個(gè)球，從乙箱中任取1個(gè)球． (1)記取出的3個(gè)球的顏色全不相同的概率為P，求當(dāng)P取得最大值時(shí)x，y的值； (2)當(dāng)x＝2時(shí)，求取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ的概率分布． [解]　(1)由題意知P＝＝≤2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立， 所以，當(dāng)P取得最大值時(shí)x＝y(tǒng)＝3. (2)當(dāng)x＝2時(shí)，即甲箱中有2個(gè)紅球與4個(gè)白球， 所以ξ的所有可能取值為0,1,2,3. 則P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝，

22、P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以紅球個(gè)數(shù)ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P 4.PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)． 從某自然保護(hù)區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示： PM2.5日均值 (微克/立方米) [25,35] (35,45] (4

23、5,55] (55,65] (65,75] (75,85] 頻數(shù) 3 1 1 1 1 3 (1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率； (2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的概率分布． [解]　(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，則 P(A)＝＝. (2)依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)． ∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 因此ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 3 P