2018年湖南省長郡中學(xué)高三月考試題（二） 數(shù)學(xué)（理科）

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1、2018屆湖南省長郡中學(xué)高三月考試題（二） 數(shù)學(xué)（理科） 命題人：長郡中學(xué)高三理科數(shù)學(xué)備課組 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁。時量120分鐘。滿分150分。 第Ⅰ卷（共60分） 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.下列集合中，是集合的真子集的是（ ） A． B． C． D． 2.“勾股定理”在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明，如圖所示的“勾股

2、圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是（ ） A． B． C． D． 3.已知復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的個數(shù)為（ ） ① ② ③的虛部為 ④在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限 A．1 B．2 C．3 D．4 4. 在等比數(shù)列中，若，是方程的兩根，則的值是（ ） A． B． C. D． 5.如

3、圖，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ） A．24 B．18 C.12 D．9 6.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意兩個正數(shù)都有，記則之間的大小關(guān)系為（ ） A． B． C. D． 7.展開式中，項的系數(shù)為（ ） A．30 B．70 C.90 D．-150 8. 某流程圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（ ）

4、A． B． C. D． 9.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則圖象的一條對稱軸是（ ） A． B． C. D． 10.以下判斷正確的個數(shù)是（ ） ①相關(guān)系數(shù)值越小，變量之間的相關(guān)性越強(qiáng)； ②命題“存在”的否定是“不存在”； ③“”為真是“ ”為假的必要不充分條件； ④若回歸直線的斜率估計值是1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4,5），則回歸直線方程是. A．4 B．2 C.3 D．1 11

5、.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C. D． 12.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值集合是（ ） A． B． C. D． 第Ⅱ卷（共90分） 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-23題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則

6、實數(shù)的值是 ． 14.已知，且，則 ． 15.已知數(shù)列的通項為，若的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是 ． 16.已知球的直徑是該球球面上的兩點(diǎn)，若,則棱錐的表面積為 ． 三、解答題 ：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17. 已知函數(shù). （1）求的值； （2）在中，角的對邊分別為，若，的面積是，求的周長. 18.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料： 日期 1月10日 2月10日

7、 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 晝夜溫差 10 11 13 12 8 6 就診人數(shù)（個） 22 25 29 26 16 12 該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗. （1） 求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率； （2） 若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)3至5月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程； （3） 若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問（2）中所得線性回歸方程是否理想？

8、參考公式：. 19. 等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，. （1） 求數(shù)列和的通項公式； （2） 令，設(shè)數(shù)列的前項和，求. 20. 已知函數(shù)，其中，且. （1） 設(shè)，若函數(shù)圖象與軸恰有兩個不同的交點(diǎn)，試求的取值集合； （2） 求函數(shù)在上的最大值. 21. 已知函數(shù). （1） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍； （2） 當(dāng)且時，不等式在上恒成立，求的最大值. 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，圓C的極坐標(biāo)方程為. （1） 將圓的極坐標(biāo)

9、方程化為直角坐標(biāo)方程； （2） 過點(diǎn)作斜率為1的直線與圓交于兩點(diǎn)，試求的值. 23.選修4-5：不等式選講 已知函數(shù). （1） 當(dāng)時，解不等式； （2） 當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍. 炎德·英才大聯(lián)考長郡中學(xué)2018屆高三月考試卷（二） 數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題 1-5:DACCB 6-10:BBCCB 11、12：AD 二、填空題 13. 14. 15. 16.16 三、解答題 17.【解析】（1)∵函數(shù)， ∴， 解得. （1） 時，

10、 中，， ∴， 又， ∴， ∴， ； ∵的面積是， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周長為6. 18. 【解析】（1）設(shè)抽到相鄰兩個月的數(shù)據(jù)為事件,因為從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有15種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩個月份的數(shù)據(jù)的情況有5種，所以. (2) 由數(shù)據(jù)求得，由公式求得，再由. 所以關(guān)于的線性回歸方程為. （3） 當(dāng)時，；同樣，當(dāng)時，， 所以該小組所得線性回歸方程是理想的. 19. 【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公式為， 由. 得，解得. ∴. （2） 由得， 則為奇數(shù)，， 為偶數(shù)，. ∴

11、 20. 【解析】（1）①若恰有一解，且解不為，即，解得； ②若有兩個不同的解，且其中一個解為，代入得， 解得，檢驗滿足； 綜上所述，的取值集合為. （2） ①若，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故； ②若，即時， 此時，且的圖象的對稱軸在上，且開口向上； 故， ③若，即時， 此時， 綜上所述，. 21. 【解析】（1）∵， ∴，又函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)， ∴當(dāng)時，恒成立， ∴，即的取值范圍為. （2） 當(dāng)時，，故不等式， 即對任意恒成立. 令則， 令， 則在上單調(diào)遞增. ∵， ∴存在使 即當(dāng)時，，即， 當(dāng)時，，即，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)激增. 令，即， ， ∴且， 即. 22. 【解析】（1）由，可得∴， ∴，即； （2） 過點(diǎn)作斜率為1直線的參數(shù)方程為， 代入得， 對應(yīng)的參數(shù)為，則， 由的意義可得. 23. 【解析】（1）， 當(dāng)時，，即，解得； 當(dāng)時，，即，解得； 當(dāng)時，，即，解得； 綜上所述，不等式的解集為. （2） 當(dāng)時，恒成立 恒成立 或恒成立 或恒成立， ∴當(dāng)時，①或②恒成立， 解①，不存在；解②得：. 綜上知，. 10 第頁