高一數(shù)學(xué)人教A版必修四練習(xí)：第二章 平面向量2 階段質(zhì)量評(píng)估 含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 (本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列命題中的真命題是(　　) A．單位向量都相等 B．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b| C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠b D．若|a|＝|b|，則a∥b 解析：　只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量，大小不相等的向量一定不是相等向量． 答案：　C 2．設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，則(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15，12)　　　　　　　　　 B．0 C．－

2、3 D．－11 解析：　a＋2b＝(－5，6)，(a＋2b)·c＝－3. 答案：　C 3．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：　因?yàn)閙＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. 答案：　B 4．已知點(diǎn)A(1，3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A. B. C. D. 解析：　＝(3，－4)，與其同方向的單位向量e＝＝(3

3、，－4)＝. 答案：　A 5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，則向量a與b的夾角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．以上都不對(duì) 解析：　∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)， ∴c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉， ∴19＝4＋9＋12cos〈a，b〉， ∴cos〈a，b〉＝. 又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°. 答案：　C 6．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰非直角三角形 B．等邊三角形 C．直角非等腰三角形

4、D．等腰直角三角形 解析：　∵＝－＝(－2，－1)， ∴·＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴⊥. 又∵||≠|(zhì)|， ∴△ABC是直角非等腰三角形． 答案：　C 7．如圖，M，N分別是AB，AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，且＝λ(－)成立，則λ＝(　　) A. B. C. D．± 解析：　由＝，且＝－，得λ＝. 答案：　B 8．已知點(diǎn)A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：　由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影為＝＝. 答案：　A 9．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力

5、F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為90°時(shí)，合力的大小為20 N，則當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力的大小為(　　) A．40 N B．10N C．20 N D. N 解析：　對(duì)于兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們的夾角為90°，合力的大小為20 N時(shí)，由三角形法則可知，這兩個(gè)力的大小都是10 N；當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，由三角形法則可知力的合成構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，因此合力的大小為10 N. 答案：　B 10．設(shè)||＝2，||＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝x＋(1－x)，x∈[0，1]，則在上的投影的取值范圍是(　　) A．[0，1] B．[1，7] C．[7，9] D．[

6、9，21] 解析：　由＝x＋(1－x)，x∈[0，1]，可知B，D，E共線，且E點(diǎn)在線段BD上，如圖所示． 因?yàn)镋點(diǎn)在線段BD上，所以在上的投影d的取值范圍是||≤d≤||.而||＝||·cos 60°＝2×＝1，||＝2||＝2(3－1)＝4，||＝||＋||＝4＋3＝7，所以d∈[1，7]，故選B. 答案：　B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上) 11．平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，則向量a，b的夾角為________． 解析：　(a＋b)(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1

7、－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夾角為. 答案：　 12．已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________． 解析：　|5a－b|＝＝ ＝ ＝ ＝7. 答案：　7 13．已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：?。剑?，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝. 答案：　 14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，Q是線段D

8、C上一動(dòng)點(diǎn)，＝λ，＝(1－λ)，則·的取值范圍是________． 解析：　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，1)，C(1，1)．設(shè)Q(m，n)，由＝λ得，(m，n－1)＝λ(1，0)，即m＝λ，n＝1.又B(2，0)，設(shè)P(s，t)，由＝(1－λ)得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即s＝2－λ，t＝λ，所以·＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0，1]．故·∈[0，2]． 答案：　[0，2] 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)設(shè)|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3

9、a＋b|的值． 解析：　方法一　∵|3a－2b|＝3， ∴9a2－12a·b＋4b2＝9. 又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2 ＝9＋6×＋1＝12. ∴|3a＋b|＝2. 方法二　設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． ∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1. ∵3a－2b＝(3x1－2x2，3y1－2y2)， ∴|3a－2b|＝＝3， ∴x1x2＋y1y2＝， ∴|3a＋b|＝ ＝ ＝2. 16．(本小題滿分12分)如右圖，在平面直角坐標(biāo)系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．

10、(1)求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)； (2)求證：四邊形OABC為等腰梯形． 解析：　(1)設(shè)B(xB，yB)，則xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝，yB＝||·sin(π－∠OAB)＝， ∴＝＋＝＋(－1，)＝， ∴B，C. (2)證明：連接OC.∵＝，＝， ∴＝3，∴∥. 又||≠|(zhì)|，||＝||＝2， ∴四邊形OABC為等腰梯形． 17．(本小題滿分12分)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b，d＝a－b. (1)若c∥d，求k的值，并判斷c，d是否同向； (2)若|a|＝|b|，a與b的夾角為60°，求當(dāng)k為何值時(shí)，c⊥d. 解析：　(1)c∥d，故c＝λd， 即k

11、a＋b＝λ(a－b)． 又a，b不共線，則解得 即c＝－d， 故c與d反向． (2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos 60°＝(k－1)a2＋a2. 又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0. 即(k－1)＋＝0，解得k＝1. 18．(本小題滿分14分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在實(shí)數(shù)k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求的最小值． 解析：　∵a＝(，－1)，b＝， ∴a·b＝×－1×＝0. ∵|a|＝＝2， |b|＝ ＝1，a·b＝0， ∴a⊥b. ∵x⊥y，∴[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， 即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0. ∴k＝. ∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－. 故當(dāng)t＝－2時(shí)，有最小值－.