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1、第第1課時向量的概念與線性運算課時向量的概念與線性運算第四章平面向量、數系的擴充與復數的引入第四章平面向量、數系的擴充與復數的引入回歸教材回歸教材 夯實雙基夯實雙基基礎梳理基礎梳理1向量的有關概念向量的有關概念(1)向量的概念：既有向量的概念：既有_又有又有_的的量叫做向量注意向量和數量的區(qū)別，量叫做向量注意向量和數量的區(qū)別，向量常用向量常用_來表示來表示大小大小方向方向有向線段有向線段(2)零向量：零向量：_的向量叫零向的向量叫零向量，記作：量，記作：_，零向量的方向是，零向量的方向是_.長度為長度為0任意的任意的0(5)平行向量平行向量(也叫共線向量也叫共線向量)：方向相同：方向相同或相反
2、的非零向量或相反的非零向量a、b叫做平行向量叫做平行向量，記作：，記作：_，規(guī)定零向量和，規(guī)定零向量和_平行平行(6)相反向量：長度相等方向相反的向相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量量叫做相反向量a的相反向量是的相反向量是_.ab任意向量任意向量a2向量的線性運算向量的線性運算向量運向量運算算定義定義法則法則(或幾何意或幾何意義義)運算律運算律加法加法求兩個向量求兩個向量和的運算和的運算_法法則則_法法則則(1)交換律：交換律：ab_(2)結合律：結合律：(ab)c_三角形三角形平行四邊形平行四邊形baa(bc)向量向量運算運算定義定義法則法則(或幾何意義或幾何意義)運算律運算律減法
3、減法求求a與與b的相反向的相反向量量b的的和的運算和的運算_法法則則數乘數乘求實數求實數與向量與向量a的積的運的積的運算算(1)| a|_ (2)當當0時，時， a與與a的方的方向向_；當當0時，時， a與與a的方的方向向_；當當0時，時， a_( a)_；()a_；(ab)_三角形三角形|a|相同相同相反相反0()a a a a b3.向量平行向量平行(共線共線)的充要條件的充要條件向量向量a(a 0)與向量與向量b共線的充要條件共線的充要條件為存在惟一一個實數為存在惟一一個實數，使，使_.ba 思考探究思考探究 如何用向量法證明三點如何用向量法證明三點A、B、C共線？共線？課前熱身課前熱身
4、1下列說法正確的是下列說法正確的是_向量向量a，b共線，向量共線，向量b，c共線，則共線，則a與與c也共線；也共線；任意兩個相等的非零向量的始點與終點是任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點；一平行四邊形的四個頂點；向量向量a與與b不共線，則不共線，則a與與b都是非零向量都是非零向量；有相同起點的兩個非零向量不平行有相同起點的兩個非零向量不平行答案：答案：答案：答案：a2b考點探究考點探究 講練互動講練互動考點考點1向量的有關概念向量的有關概念向量中的有關概念容易混淆，向量是矢量向量中的有關概念容易混淆，向量是矢量,有自己獨特的運算法則，準確把握與實數有自己獨特的運算法則，
5、準確把握與實數的不同，記憶特殊的有關知識才可以準確的不同，記憶特殊的有關知識才可以準確判斷，重點考查對概念的辨析判斷，重點考查對概念的辨析 判斷下列命題是否正確：判斷下列命題是否正確： (1)零向量沒有方向；零向量沒有方向； (2)若若|a|b|，則，則ab； (3)單位向量都相等；單位向量都相等； (4)向量就是有向線段；向量就是有向線段； (5)兩相等向量若其起點相同，則終點也相兩相等向量若其起點相同，則終點也相同；同；例例1【思路分析】【思路分析】正確理解向量的有關概正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵念是解決本題的關鍵【解解】(1)該命題不正確零向量不是該命題不正確零向量不是沒有方向
6、，而是方向任意沒有方向，而是方向任意(2)該命題不正確該命題不正確|a|b|只是說明只是說明這兩個向量的模相等，但其方向未必相這兩個向量的模相等，但其方向未必相同同(3)該命題不正確單位向量只是模均為該命題不正確單位向量只是模均為單位長度單位長度1，而對方向沒有要求，而對方向沒有要求(4)該命題不正確有向線段只是向量的該命題不正確有向線段只是向量的一種表示形式，不能把兩者等同起來一種表示形式，不能把兩者等同起來(5)該命題正確因兩相等向量的模相該命題正確因兩相等向量的模相等，方向相同，故當它們的起點相同等，方向相同，故當它們的起點相同時，則其終點必重合時，則其終點必重合(6)該命題正確由向量相
7、等的定義該命題正確由向量相等的定義知，知，a與與b的模相等，的模相等，b與與c的模相等，的模相等，從而從而a與與c的模相等；又的模相等；又a與與b的方向相的方向相同，同，b與與c的方向也相同，從而的方向也相同，從而a與與c的的方向也必相同，故方向也必相同，故ac.【名師點評名師點評】對向量有關概念的理解對向量有關概念的理解和判斷，要準確掌握有關概念、向量中和判斷，要準確掌握有關概念、向量中的典型特點，如帶方向、可以平移、零的典型特點，如帶方向、可以平移、零向量等，要理解在有關問題中所起的特向量等，要理解在有關問題中所起的特殊作用、對有關問題的影響等，才可能殊作用、對有關問題的影響等，才可能不出
8、錯誤不出錯誤 備選例題備選例題(教師用書獨具教師用書獨具) 變式訓練變式訓練 1(2011高考陜西卷改編高考陜西卷改編)設設a、b是向量，是向量，命題命題“若若ab，則，則|a|b|”的逆命題的逆命題是是_命題命題(填真、假填真、假) 解析：此命題的逆命題是：若解析：此命題的逆命題是：若|a|b|，則則ab是假命題是假命題 答案：假答案：假考點考點2向量的線性運算向量的線性運算關于向量的加法和減法，一種方法就是關于向量的加法和減法，一種方法就是依據三角形法則通過作圖來解決，另一依據三角形法則通過作圖來解決，另一種方法就是通過表示向量的有向線段的種方法就是通過表示向量的有向線段的字母符號運算來解
9、決字母符號運算來解決 在使用三角形法則求兩向量的和時要注意在使用三角形法則求兩向量的和時要注意“首尾相接首尾相接”，求兩向量的差時要注意，求兩向量的差時要注意“連接連接兩個向量的終點，方向指向被減向量，且兩個向量的終點，方向指向被減向量，且兩向量要共起點兩向量要共起點”例例2【思路分析思路分析】對于每個向量要找準向對于每個向量要找準向量的起點和終點，再利用向量的加減法量的起點和終點，再利用向量的加減法法則，轉化為用法則，轉化為用a、b來表示來表示【名師點評名師點評】三角形中兩邊對應的向三角形中兩邊對應的向量已知，可求第三邊對應的向量值得量已知，可求第三邊對應的向量值得注意的是，向量的方向不能搞
10、錯當向注意的是，向量的方向不能搞錯當向量運算轉化成代數式運算時，其運算過量運算轉化成代數式運算時，其運算過程可仿照多項式的加減運算進行程可仿照多項式的加減運算進行 備選例題備選例題(教師用書獨具教師用書獨具)答案：答案：考點考點3向量的共線問題向量的共線問題向量共線問題常見的有兩種題型：一是向量共線問題常見的有兩種題型：一是根據條件證明三點共線；二是利用三點根據條件證明三點共線；二是利用三點共線求參數的值無論上述哪種題型都共線求參數的值無論上述哪種題型都離不開共線向量定理離不開共線向量定理例例3【名師點評名師點評】(1)向量共線是指存在向量共線是指存在實數實數使兩向量能互相表示使兩向量能互相表
11、示(2)向量共線的充要條件中，通常只有向量共線的充要條件中，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向非零向量才能表示與之共線的其他向量量,要注意待定系數法的運用和方程思要注意待定系數法的運用和方程思想想 (3)證明三點共線問題，可用向量共線來解證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線能得出三點共線 備選例題備選例題(教師用書獨具教師用書獨具) 已知向量已知向量a2e13e2，b2e13e2，其，其中中e1、e2不共線，向量不共線，向量c2e19
12、e2.問是問是否存在這樣的實數否存在這樣的實數、，使向量，使向量dab與與c共線？共線？ 變式訓練變式訓練 3已知已知e1和和e2不平行，要使不平行，要使ke1e2和和e1ke2共線，則共線，則k的值為的值為_ 方法技巧方法技巧 1向量是自由向量，大小和方向是向量向量是自由向量，大小和方向是向量的兩個要素在用有向線段表示向量時，的兩個要素在用有向線段表示向量時，要認識到有向線段的起點的選取是任意要認識到有向線段的起點的選取是任意的不要誤以為向量也是由起點、大小和的不要誤以為向量也是由起點、大小和方向三個要素決定的方向三個要素決定的 一句話，研究向量問題應具有一句話，研究向量問題應具有“平移平移
13、”意意識識長度相等、方向相同的向量都是相長度相等、方向相同的向量都是相等向量等向量 2共線向量也就是平行向量，其要求是幾共線向量也就是平行向量，其要求是幾個非零向量的方向相同或相反當然向量個非零向量的方向相同或相反當然向量所在的直線可以平行，也可以重合其中所在的直線可以平行，也可以重合其中“共線共線”的含義不同于平面幾何中的含義不同于平面幾何中“共線共線”的的含義含義 實際上，共線向量有以下四種情況：方向實際上，共線向量有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等這樣，相反且模相等；方向相反且模不等這樣，也就找到了共
14、線向量與相等向量的關系，也就找到了共線向量與相等向量的關系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量量一定是共線向量 3向量的加減法運算，要在所表達的圖形向量的加減法運算，要在所表達的圖形上多思考，多聯系相關的幾何圖上多思考，多聯系相關的幾何圖 形，比如平行四邊形、菱形、三角形形，比如平行四邊形、菱形、三角形 等，可多記憶一些有關的結論等，可多記憶一些有關的結論 4對于向量共線定理及其等價定理，關鍵對于向量共線定理及其等價定理，關鍵要理解為位置要理解為位置(共線或不共線共線或不共線)與向量等式之與向量等式之間所建立的對應關系用向量共線定理可間所建
15、立的對應關系用向量共線定理可以證明幾何中的三點共線和直線平行問以證明幾何中的三點共線和直線平行問題但是向量平行與直線平行是有區(qū)別的，題但是向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況直線平行不包括重合的情況 也就是說，要證明三點共線或直線平行都也就是說，要證明三點共線或直線平行都是先探索有關的向量滿足向量等式是先探索有關的向量滿足向量等式ba，再結合條件或圖形有無公共點證明幾何位再結合條件或圖形有無公共點證明幾何位置置 失誤防范失誤防范 1向量要與直線區(qū)別開，向量只與方向、向量要與直線區(qū)別開，向量只與方向、模大小有關系，而直線與坐標平面內的位模大小有關系，而直線與坐標平面內的位置關系
16、有關置關系有關 2在向量平行的有關問題中，易忽略零在向量平行的有關問題中，易忽略零向量這一情形向量這一情形考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考 命題預測命題預測 本部分知識在高考命題中以理解和初步應本部分知識在高考命題中以理解和初步應用為主，一般為容易題預測用為主，一般為容易題預測2013年高考年高考對本部分內容的考查仍將以向量的線性運對本部分內容的考查仍將以向量的線性運算為主，將保持填空題的形式，難度也不算為主，將保持填空題的形式，難度也不會太大，但向量作為工具與其他知識交匯會太大，但向量作為工具與其他知識交匯命題趨勢增加，應給予關注命題趨勢增加，應給予關注 典例透析典例透析 例例【答案】【答案】1【得分技巧得分技巧】解決本題的關鍵，一是解決本題的關鍵，一是要采用特例法；二要合理猜想；三要注要采用特例法；二要合理猜想；三要注意用反證法排除除意用反證法排除除M點外的其他點點外的其他點【失分溯源失分溯源】本題容易出現的問題主要本題容易出現的問題主要有兩方面：一是不能采用特例法猜出結有兩方面：一是不能采用特例法猜出結論；二是不能用反證法驗證結論論；二是不能用反證法驗證結論
高考數學總復習 第四章第1課時 向量的概念與線性運算課件
