【人教A版】新編高中數(shù)學(xué) 3.4.1基本不等式一練習(xí) 新人教A版必修5

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1、 新編人教版精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 3.4.1基本不等式（一）練習(xí) 新人教A版必修5 ?基礎(chǔ)梳理 1．兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)．設(shè)a，b是任意兩個(gè)正數(shù)，稱為a，b的__________；稱為a，b的__________． 1和9的算術(shù)平均數(shù)是________，而1和9的幾何平均數(shù)是________． 2．重要不等式：設(shè)a，b∈R，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴________________．當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立． 3．基本不等式： 設(shè)a，b是任意兩個(gè)正數(shù)，那么≤. 當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，等號(hào)成立．基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的___

2、_________________________________． 如果把看做是正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)，看做是正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)，那么基本不等式也可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的__________________________________． 4．基本不等式≤的幾何意義是：________________________________________________________________________ 5．已知x，y都是正數(shù)， (1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和______有最小值__________； (2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積______

3、有最大值______________． (3)已知x，y都是正數(shù)， ①如果xy＝15，則x＋y的最小值是________； ②如果x＋y＝15，則xy的最大值是________． 6．求函數(shù)最值的兩個(gè)基本步驟： (1)證y≥m(m是與自變量無關(guān)的常數(shù))或y≤M(M是與自變量無關(guān)的常數(shù))； (2)證存在定義域中的x0，使f(x0)＝m 或f(x0)＝M. 有了這兩步就可以下結(jié)論：y＝f(x)的最小值是m或y＝f(x)的最大值是M. 基礎(chǔ)梳理 1．算術(shù)平均數(shù)　幾何平均數(shù)　5　3 2．a(chǎn)2＋b2≥2ab　a＝b 3．a(chǎn)＝b　算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)　等差中項(xiàng)不小于它們

4、的等比中項(xiàng) 4．半徑不小于半弦 5．解析：∵x，y∈R＋，∴≥. (1)當(dāng)xy＝P(定值)時(shí)，≥， ∴x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，上式取“＝”， ∴當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，(x＋y)min＝2. (2)當(dāng)x＋y＝S(定值)時(shí)，≤∴xy≤S2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，上式取“＝”，∴當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，(xy)max＝S2. (3)①因?yàn)閤，y都是正數(shù)，且xy＝15，由基本不等式得x＋y≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)，取等號(hào)． ②因?yàn)閤，y都是正數(shù)，且x＋y＝15，由基本不等式得xy≤＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝7.5時(shí)，取等號(hào)． 答案：(1)x＋y　2　(2)xy　S2 (3)①2?、? ?自測自評(píng)

5、 1．下列函數(shù)中，能取到最小值2的是(　　) A．y＝x＋(x<0) B．y＝＋ C．y＝＋ex(x∈R) D．y＝ 2．如果a2＋b2＝4，則ab的最________值是________；如果ab＝2，則a2＋b2的最________值是________． 3．下列不等式中，不正確的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2≥2|a||b| B.≥2a－b(b≠0) C.≥－1(b≠0) D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2 自測自評(píng) 1．C　2.大　2　小　4 3．解析：A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，∴A正確．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中

6、，當(dāng)b＜0時(shí)，≤2a－b，∴B不正確．C中，b≠0，則≥－1，∴C正確．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，∴D正確．故選B. 答案：B ?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是(　　) A．x＋　　　　　　B．x2－1＋ C．2x＋2－x D．x(1－x) 1．C 2．已知a、b∈R，且ab≠0，則在①≥ab；②＋≥2；③ab≤；④≤這四個(gè)不等式中，恒成立的個(gè)數(shù)有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．C 3．某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的

7、平均增長率為x，則(　　) A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥ 3．解析：依題意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴1＋x＝≤[(1＋a)＋(1＋b)] ＝1＋∴x≤.故選B. 答案：B 4．已知a>0，b>0，a＋b＝4，則下列不等式中正確的是(　　) A.＋≥1 B.＋＞1 C.≥2 D.≥1 4．解析：∵a>0，b>0，∴2≤a＋b＝4， 即≤2.∴≥. ∴C、D不正確．又＋＝＝≥1， ∴A正確，B不正確．故選A. 答案：A 5．(2014·上海卷)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為________． 5．解析

8、：x2＋2y2≥2＝2·＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝2y2時(shí)等號(hào)成立． 答案：2 6．已知a，b，c都是正數(shù)，求證：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 6．證明：∵a，b，c都是正數(shù)， ∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0， ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立． ?鞏固提高 7．已知x、y＞0且x＋y＝1，則p＝x＋＋y＋的最小值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 7．解析：此題很容易出錯(cuò)，認(rèn)為x＋≥2，y＋≥2， ∴p≥4，錯(cuò)選B，錯(cuò)誤的原因是x、y

9、不能同時(shí)取到1. 正確解法：x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5. 答案：C 8．設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是(　　) A．6 B．4 C．2 D．8 8．解析：2a＋2b≥2＝2＝2＝4，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2b. 即a＝b＝，故選B. 答案：B 9．已知函數(shù)f(x)＝x＋. (1)已知x>0，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)已知x<0，求函數(shù)f(x)的最大值； (3)已知x∈[2，4]，求f(x)的最值． 9．解析：(1)∵x>0，∴x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立．∴f(x)最小值為2. (2)∵x<0，∴－x>

10、0.∴f(x)＝ －≤－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時(shí)等號(hào)成立．∴f(x)的最大值為－2. (3)設(shè)2≤x10，x1x2>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)－1)的最小值． 10．解析：∵x>－1，∴x＋1>0. ∴y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立． ∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝(x>－1)取得最小值為 1．基本不等式的左式為和結(jié)構(gòu)，右式為積的形式，該不等式表明兩正數(shù)a，b的和與兩正數(shù)a，b的積之間的大小關(guān)系，運(yùn)用該不等式可作和與積之間的不等變換． 2．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”的含義． (1)當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立的含意是：a＝b?＝； (2)僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立的含意是：＝?a＝b. 綜合起來，其含意是： ＝?a＝b. 3．設(shè)a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab?ab≤? ab≤. 4．基本不等式的幾種變式：設(shè)a＞0，b＞0，則a＋≥2，＋≥2，≥2a－b.