第九講“牛吃草”問(wèn)題

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1、奧博教育培訓(xùn) 第九講 “牛吃草”問(wèn)題 有這樣的問(wèn)題，如：牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么它可供21頭牛吃幾周？ 這類問(wèn)題稱為“牛吃草”問(wèn)題。 解答這類問(wèn)題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長(zhǎng)，時(shí)間越長(zhǎng)，草的總量越多。草的總量是由兩部分組成的：（1）某個(gè)時(shí)間期限前草場(chǎng)上原有的草量；（2）這個(gè)時(shí)間期限后草場(chǎng)每天（周）生長(zhǎng)而新增的草量。因此，必須設(shè)法找出這兩個(gè)量來(lái)。 下面就用開(kāi)頭的題目為例進(jìn)行分析。（見(jiàn)下圖） 從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多，多出部分相當(dāng)于3周新生長(zhǎng)的草量。為了求出

2、一周新生長(zhǎng)的草量，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。27頭牛6周吃草量相當(dāng)于27×6=162頭牛一周吃草量（或一頭牛吃162周）。23頭牛9周吃草量相當(dāng)于23×9=207頭牛一周吃草量（或一頭牛吃207周）。這樣一來(lái)可以認(rèn)為每周新生長(zhǎng)的草量相當(dāng)于（207－162）÷（9－6）=15頭牛一周的吃草量。 需要解決的第二個(gè)問(wèn)題是牧場(chǎng)上原有草量是多少？用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長(zhǎng)的草量（即15×6=90頭牛吃一周的草量）即為牧場(chǎng)原有的草量。 所以牧場(chǎng)上原有草量為26×6－15×6=72頭牛一周的吃草量（或者為23×9－15×9=72）。 牧場(chǎng)上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于把21頭牛分成兩

3、部分。一部分看成專吃牧場(chǎng)上原有的草，另一部分看成專吃新生長(zhǎng)的草。但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終保持平衡（前面已分析過(guò)每周新生的草恰夠15頭牛吃一周）。故分出15頭牛吃新生長(zhǎng)的草，另一部分21－15=6頭牛去吃原有的草。所以牧場(chǎng)上的草夠吃72÷6=12周，也就是這個(gè)牧場(chǎng)上的草夠21頭牛吃12周。 例2：一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi)。如果10人淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘水8小時(shí)淘完。如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？ 分析與解答：這類問(wèn)題，都有它共同的特點(diǎn)，即總水量隨漏水的延長(zhǎng)而增加。所以總水量是個(gè)變量。而單位時(shí)間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長(zhǎng)量是不變的。船內(nèi)原有的水

4、量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時(shí)船內(nèi)已有的水量）也是不變的量。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們換一個(gè)角度進(jìn)行分析。 如果設(shè)每個(gè)人每小時(shí)的淘水量為“1個(gè)單位”，則船內(nèi)原有水量與3小時(shí)內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時(shí)淘水量×?xí)r間×人數(shù)，即1×3×10=30。 船內(nèi)原有水量與8小時(shí)漏水量之和為1×5×8=40。 每小時(shí)的漏水量等于8小時(shí)與3小時(shí)總水量之差÷時(shí)間差，即（40－30）÷（8－3）=2（即每小時(shí)漏進(jìn)水量為2個(gè)單位，相當(dāng)于每小時(shí)2人的淘水量）。 船內(nèi)原有的水量等于10人3小時(shí)淘出的總水量－3小時(shí)漏進(jìn)水量，3小時(shí)漏進(jìn)水量相當(dāng)于3×2=6人1小時(shí)淘水量。所以船內(nèi)原有水量為30－2×3=24。 如果這些水（24個(gè)單位）要

5、2小時(shí)淘完，則需24÷2=12人。但與此同時(shí)，每小時(shí)的漏進(jìn)水量又要安排2人淘出，因此共需要12＋2=14人。 從以上這兩個(gè)例題看出，不管從哪一個(gè)角度來(lái)分析問(wèn)題，都必須求出原有的量及單位時(shí)間內(nèi)增加的量，這兩個(gè)量是不變的量。有了這兩個(gè)量，問(wèn)題就容易解決了。 例3：12頭牛28天可以吃完10公畝牧場(chǎng)上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場(chǎng)上全部牧草。多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場(chǎng)上全部牧草（每公畝牧場(chǎng)上原有草量相等，且每公畝牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)草量相等）？ 分析：解量的關(guān)鍵在于求出一公畝一天新生長(zhǎng)的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。 12頭牛28天吃完10公畝牧場(chǎng)上

6、的牧草，相當(dāng)于1公畝原來(lái)的牧草加上28天新生產(chǎn)的草可供33.6頭牛吃一天（12×28÷10=33.6）。 21頭牛63天吃完30公畝牧場(chǎng)上的牧草，相當(dāng)于1公畝原有的草加上63天新生長(zhǎng)的草可供44.1頭牛吃一天（63×21÷30=44.1）。 1公畝一天新生長(zhǎng)的牧草可供0.3頭牛吃一天，即： (44.1－33.6)÷(63－28) = 0.3（頭） 1公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即： 33.6－0.3×28=25.2（頭） 72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天，即： 72×25.2÷126=14.4（頭） 72公畝每天新生長(zhǎng)的草量可供21.6頭牛吃一天

7、，即： 72×0.3=21.6（頭） 所以72公畝牧場(chǎng)上的牧草可供36（=14.4＋21.6）頭牛吃126天，問(wèn)題得解。 解：一公畝一天新生長(zhǎng)草量可供多少頭牛吃一天？ （63×21÷30－12×28÷10）÷（63－28）=0.3（頭） 一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？ 12×28÷10－0.3×28=25.2（頭） 72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？ 72×25.2÷126＋72×0.3= 36(頭) 例4：一塊草地，每天生長(zhǎng)的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只頭吃12天。如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛

8、與60只羊一起吃可以吃多少天？ 分析：由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15頭牛每天的吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。 解：60只羊每天吃草量相當(dāng)于多少頭牛每天的吃草量？ 60÷4=15（頭） 草地原有草量與20天新生長(zhǎng)草量可供多少頭牛吃一天？ 16×20=320（天） 80只羊12天的吃草量可供多少頭牛吃一天？ 80÷4×12=240（頭） 每天新生長(zhǎng)的草量夠多少頭牛吃一天？ （320－240）÷（20－12）=10（頭） 原有草量可夠多少頭牛吃一天？ 320－20×10

9、=120（頭） 原有草量可供10頭牛與60只羊吃多少天？ 120÷（60÷4＋10－10）=8（天） 例5：一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？ 解：水庫(kù)原有的水與20天流入水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？ 20×5=100（臺(tái)） 水庫(kù)原有水與15天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？ 6×15=90（臺(tái)） 每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？ （100－90）÷（20－15）=2（臺(tái)） 原有的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？ 100－20×2

10、=60（臺(tái)） 若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)？ 60÷6＋2=12（臺(tái)） 例6：有三片草場(chǎng)，每畝原有草量相同，草的生長(zhǎng)速度也相同。三片草場(chǎng)的面積分別為畝、10畝和24畝。第一片草場(chǎng)可供12頭牛吃4周，第二片草場(chǎng)可供21頭牛吃9周。問(wèn)：第三片草場(chǎng)可供多少頭牛吃18周？ 用方程解： 解：設(shè)每畝草場(chǎng)原有的草量為a，每周每畝草場(chǎng)新生長(zhǎng)草量為b。依題意 第一片草場(chǎng)（畝）原有的草與4周新生長(zhǎng)的草量之和為： （）a＋（4×）b 每頭牛每周的吃草量為（第一片草場(chǎng)畝）： []÷(12×4)== (1) 第二片草場(chǎng)（10畝）原有的草與9周生長(zhǎng)出來(lái)的草為： 10a＋

11、(10×9)b 每頭牛每周的吃草量為：（第二片草場(chǎng)） (2) 由于每頭牛每周吃草量相等，列方程為： (3) 5a=60b a=12b（表示1畝草場(chǎng)上原有草量是每周新生長(zhǎng)草量的12倍） 將a=12b代入（3）的兩邊得到每頭牛每周吃草量為。 設(shè)第三片草場(chǎng)（24畝）可供x頭牛吃18周吃完，則由每頭牛每周吃草量可列出方程為： (4) x=36

12、答：第三片草場(chǎng)可供36頭牛18周食用。 這道題列方程時(shí)引入a、b兩個(gè)輔助未知數(shù)，在解方程時(shí)不一定要求出其數(shù)值，在本題中只需求出它們的比例關(guān)系即可。 習(xí) 題 九 1． 一場(chǎng)牧場(chǎng)長(zhǎng)滿草，每天牧草都均勻生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問(wèn)：可供25頭牛吃多少天？ 2． 22頭牛吃33畝草地上的草，54天可以吃完；17頭牛吃28畝同樣的草地上的草，84天可以吃完。問(wèn)：同樣的牧草40畝可供多少頭牛食用24天？（每畝草地原有草量相等，草生長(zhǎng)速度相等） 3． 有一牧場(chǎng)，17頭牛30天可將草吃完；19頭牛則24天可以吃完。現(xiàn)有若干頭牛吃了6天后，賣掉了4頭牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完。問(wèn)：原來(lái)有多少頭牛吃草（草均勻生長(zhǎng)）？ 4． 現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時(shí)有水勻速流入池塘。若用8臺(tái)抽水機(jī)10天可以抽干；用6臺(tái)抽水機(jī)20天能抽干。問(wèn)：若要5天抽干水，需多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)來(lái)抽水？ 9