【人教A版】新編高中數(shù)學(xué) 3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題練習(xí) 新人教A版必修5

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1、 新編人教版精品教學(xué)資料 3．3.2　簡單的線性規(guī)劃問題 ?基礎(chǔ)梳理 1．線性約束條件： ________________________________________________________________________. 2．線性目標(biāo)函數(shù)： ________________________________________________________________________. 3．線性規(guī)劃問題： ________________________________________________________________________. 4

2、．可行解： ________________________________________________________________________. 5．可行域： ________________________________________________________________________. 6．最優(yōu)解： ________________________________________________________________________. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足求2x＋y的最大值，這個(gè)問題就是__________________________．

3、 其中實(shí)數(shù)x，y滿足的不等式組是______________________，z＝2x＋y是______________________． 滿足不等式組的解(x，y)叫________，如是一組可行解，由所有可行解組成的集合即不等式組所表示的平面區(qū)域(如上圖陰影部分)是______．易知，當(dāng)x＝，y＝1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y取最大值2，故是這個(gè)規(guī)劃問題的________． 7．利用代數(shù)式的幾何意義． 表示點(diǎn)P(x，y)與______連線的斜率.表示點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)______連線的斜率． 表示點(diǎn)P(x，y)到________的距離． 表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)________的

4、距離． 8．直線y＝2x－1的斜率為________，在y軸上的截距為________． 9．直線y＝kx＋b與y＝mx＋n平行的條件是__________________________． 10．兩直線y＝2x－1與y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)是________． 基礎(chǔ)梳理 1．由關(guān)于x，y的一次不等式形成的約束條件 2．由關(guān)于兩個(gè)變量x，y一次式形成的函數(shù) 3．在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 4．滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解 5．由所有可行解組成的集合叫可行域 6．使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解　線性規(guī)劃問題　線性約束條件

5、線性目標(biāo)函數(shù)　可行解　可行域　最優(yōu)解 7．原點(diǎn)　(－1，2)　原點(diǎn)　(1，－2) 8．2?。?　9.k＝m，b≠n　10.(1，1) ?自測自評 1．目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y，將其看成直線方程時(shí)，z的幾何意義是(　　) A．該直線的截距 B．該直線的縱截距 C．該直線的縱截距的相反數(shù) D．該直線的橫截距 2．(2014·福建卷)若變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最小值為________． 3．(2013·陜西卷)若點(diǎn)(x，y)位于曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值為________． 自測自評 1．解析：由z＝3x－y變形得y＝3x－z

6、.故選C. 答案：C 2．解析：作出可行域，通過目標(biāo)函數(shù)線的平移求出最優(yōu)解． 由題意，作出約束條件組成的可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y，即y＝－3x＋z過點(diǎn)(0，1)時(shí)z取最小值為1. 答案：1 3．解析：如圖，陰影部分為封閉區(qū)域，作直線2x－y＝0，并向左上平移，過點(diǎn)A時(shí)，2x－y最小，由得A(－1，2)． ∴(2x－y)min＝2×(－1)－2＝－4. 答案：－4 ?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．(2014·廣東卷)若變量x，y滿足約束條件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分別為M和m，則M－m＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 1．解析：作出不等式組

7、所表示的可行域如下圖中的陰影部分所表示， 直線y＝－1交直線x＋y＝1于點(diǎn)A(2，－1)，交直線y＝x于點(diǎn)B(－1，－1)，作直線l：z＝2x＋y，則z為直線l在y軸上的截距，當(dāng)直線l經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，直線l在y軸上的截距最大，此時(shí)z取最大值M，即M＝2×2＋(－1)＝3； 當(dāng)直線l經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)直線l在y軸上的截距最小，此時(shí)z取最小值m，即m＝2×(－1)＋(－1)＝－3.因此，M－m＝3－(－3)＝6，故選C. 答案：C 2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足設(shè)z＝2x＋y.取點(diǎn)(3，2)可求得z＝8，取點(diǎn)(5，2)可求得zmax＝12，取點(diǎn)(1，1)可求得zmin＝3，取

8、點(diǎn)(0，0)可求得z＝0.則點(diǎn)(3，2)叫做______解，點(diǎn)(0，0)叫做________解，點(diǎn)(5，2)和點(diǎn)(1，1)叫做______解． 2．解析：點(diǎn)(3，2)在可行域內(nèi)，所以點(diǎn)(3，2)叫做可行解；點(diǎn)(0，0)不在可行域內(nèi)，所以點(diǎn)(0，0)叫做非可行解；z＝2x＋y在點(diǎn)(5，2)和點(diǎn)(1，1)處取得最值，所以叫做最優(yōu)解． 答案：可行　非可行　最優(yōu) 3．已知非負(fù)實(shí)數(shù)x、y同時(shí)滿足2x＋y－4≤0，x＋y－1≥0，則目標(biāo)函數(shù)z＝x2＋(y＋2)2的最小值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 3．解析：不等式組(x，y≥0)表示的平面區(qū)域如下圖所示： 又表示區(qū)

9、域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)B(0，－2)的距離，當(dāng)點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A(1，0)處時(shí)， ()min＝，∴z＝x2＋(y＋2)2的最小值為5. 答案：B 4．(2014·湖南卷)若變量x，y滿足約束條件且z＝2x＋y的最小值為－6，則k＝______． 4．解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合線性目標(biāo)函數(shù)的最值求k. 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z＝2x＋y，則y＝－2x＋z.易知當(dāng)直線y＝－2x＋z過點(diǎn)A(k，k)時(shí)，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2. 答案：－2 5．在條件下，z＝(x－1)2＋(y－1)2的取值范圍是________． 5

10、．解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示： z表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(1，1)距離的平方，又|PA|min就是點(diǎn)A到直線x－y＝1的距離，|PA|max就是點(diǎn)A到點(diǎn)(2，0)的距離，∴≤z≤2，即z的取值范圍是. 答案： 6．已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值為______． 6．解析：畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域Ω，如圖所示． ＝表示平面區(qū)域Ω上的點(diǎn)P(x，y)與原點(diǎn)的連線的斜率．A(1，2)，B(3，0)，∴0≤≤2. 答案：2 ?鞏固提高 7．若則z＝2y－2x＋4的最小值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 7．解析：作出可行域，當(dāng)直

11、線z＝2y－2x＋4過可行域上點(diǎn)B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z最小，又點(diǎn)B(1，1)，∴zmin＝2×1－2×1＋4＝4. 答案：C 8．將大小不同的兩種鋼板截成A、B兩種規(guī)格的成品，每張鋼板可同時(shí)截得這兩種規(guī)格的成品的塊數(shù)如下表所示．若現(xiàn)在需要A、B兩種規(guī)格的成品分別為12塊和10塊，則至少需要這兩種鋼板共______張. 　　 　規(guī)格類型 鋼板類型　　　 A規(guī)格 B規(guī)格 第一種鋼板 2 1 第二種鋼板 1 3 8．解析：設(shè)這兩種鋼板分別需要x，y張，依題意有： 且x，y∈N， 可行域如下圖所示： 目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y， 由? ∵x、y∈N，∴當(dāng)x

12、＝5，y＝2時(shí)，zmin＝7， 即當(dāng)直線x＋y＝z過點(diǎn)(5，2)時(shí)，z取最小值7. 答案：7 9．實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組：則k＝的取值范圍為________． 9．解析：不等式所表示的平面區(qū)域如下圖所示． k表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)M(－1，3)連線的斜率．由下圖可知：kMO≤k≤kMA， 又kMO＝－3，kMA＝－，∴－3≤k≤－. 故k的取值范圍是. 答案： 10．某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，計(jì)劃每天各生產(chǎn)量不少于15噸．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸需煤9噸，電力4千瓦時(shí)，勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸需煤4噸，電力5千瓦時(shí)，勞力10個(gè)．甲產(chǎn)品每1噸利潤7萬元，乙產(chǎn)品每1噸利潤12萬元

13、，但每天用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時(shí)，勞力只有300個(gè)．問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少，能使利潤總額達(dá)到最大？ 10．分析：將已知數(shù)據(jù)列成表，如下表所示. 　　　　　產(chǎn)品 消耗量 資源　　　　　 甲產(chǎn)品 乙產(chǎn)品 資源限額 煤/噸 9 4 300 電力/千瓦時(shí) 4 5 200 勞力/個(gè) 3 10 300 利潤/萬元 7 12 設(shè)出未知量，根據(jù)資源限額建立約束條件，由利潤建立目標(biāo)函數(shù)． 解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸，利潤總額為z萬元，那么 z＝7x＋12y. 作出以上不等式組的可行域，如

14、下圖所示． 目標(biāo)函數(shù)為z＝7x＋12y，變?yōu)閥＝－x＋，得到斜率為－，在y軸上截距為，且隨z變化的一簇平行直線．由圖可以得到，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上點(diǎn)A時(shí)，截距最大，z最大． 解方程組得點(diǎn)A坐標(biāo)為(20，24)． 所以zmax＝7×20＋12×24＝428(萬元)． 故生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸，24噸時(shí)，利潤最大，最大值為428萬元． 解簡單線性規(guī)劃問題的基本步驟： 1．畫圖．畫出線性約束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域． 2．定線．令z＝0，得一過原點(diǎn)的直線． 3．平移．在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線． 4．求最優(yōu)解．通過解方程組求出最優(yōu)解． 5．求最值．求出線性目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值．