【人教A版】新編高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末知識整合 新人教A版必修5

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1、 新編人教版精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末知識整合 新人教A版必修5 一、等差數(shù)列 1．定義：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)． 2．通項公式：an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)． 3．如果數(shù)列{an}的通項公式是 an＝An＋B(A、B是與n無關(guān)的常數(shù))，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列． 4．等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝， Sn＝na1＋d. 5．如果數(shù)列{an}的通項公式是 Sn＝An2＋Bn(A、B是與n無關(guān)的常數(shù))，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列． 6.a、b、c成等差數(shù)列{an}?b為a、c 的等

2、差中項?2b＝a＋c. 7．在等差數(shù)列{an}中，an＝am＋(n－m)d(n∈N*)． 8．在等差數(shù)列{an}中，由m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq，若m＋n＝2p?am＋an＝2ap. 9.在等差數(shù)列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k構(gòu)成等差數(shù)列?2(S2k－Sk )＝Sk＋( S3k－S2k)． 10．已知{an} 、{bn}為等差數(shù)列，則{an－c}，{can}，{an＋bn}，{an＋kbn}(其中c為常數(shù)，k∈N*)仍是等差數(shù)列． 11．已知{an} 為等差數(shù)列，若k1，k2，k3，…，kn為等差數(shù)列，則ak1，ak2，ak3，…，akn仍是等差數(shù)列．

3、 12.若三個數(shù)成等差數(shù)列，則設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，可簡化計算． 13．證明等差數(shù)列的兩種方法． (1)定義：an＋1－an＝d(n∈N*)． (2)等差中項2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． 二、等比數(shù)列 1．定義：＝q(n∈N*)或＝q(n∈N*，n≥2)． 2．通項公式：an＝a1qn－1(n∈N*)． 3．等比數(shù)列前n項和：Sn＝＝(q≠1)；Sn＝na1(q＝1)． 4．a(chǎn)，b，c成等比數(shù)列?b為a、c 的等比中項?b2＝ac. 5．在等比數(shù)列{an}中，an＝am×qn－m(n∈N*)． 6．在等比數(shù)列{an}中，由m＋n＝p＋q?

4、aman＝apaq， 若m＋n＝2p?aman＝a. 7.在等比數(shù)列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k 構(gòu)成等比數(shù)列?( S2k－Sk)2＝Sk(S3k －S2k)(Sk≠0)． 8．已知{an} 、{bn}為等比數(shù)列，則{can}，{anbn}，(其中c為不為0的常數(shù)，k∈N*)仍是等比數(shù)列． 9．已知{an} 為等比數(shù)列，若k1，k2，k3，…，kn為等差數(shù)列，則ak1，ak2，ak3，…，akn仍是等比數(shù)列． 10．若三個數(shù)成等比數(shù)列，則設(shè)這三個數(shù)為，a，aq，可簡化計算． 11．證明等比數(shù)列的兩種方法． (1)利用定義：＝q或＝q(n∈N*，n≥2)．

5、 (2)等比中項：a＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)． 三、通項公式的求法 數(shù)列的通項公式是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，它把數(shù)列各項的性質(zhì)集于一身．常用的求通項的方法有觀察法、公式法、累加法、累乘法、前n項和作差法、輔助數(shù)列法． 累加法：數(shù)列的基本形式為an＋1－an＝f(n)(n∈N*)的解析式，而f(1)＋f(2)＋……＋f(n)的和可求出． 累乘法：數(shù)列的基本形式為＝f(n)(n∈N*)的解析關(guān)系，而f(1)·f(2)·…·f(n)的積可求出． 前n項和作差法：利用an＝能合則合． 待定系數(shù)法：數(shù)列有形如an＋1＝kan＋b(k≠1)的關(guān)系，可用待定系數(shù)法求得(an＋t

6、)為等比數(shù)列，再求得an. 四、特殊數(shù)列的前n項和 利用等差、等比數(shù)列求和公式是最基本最重要的方法．?dāng)?shù)列的求和除記住一些公式外，還應(yīng)注重對通項公式的分析與整理，根據(jù)其特征求和，常用的方法技巧有分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等． 分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但如果將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，那么就可以分別求和，再將其合并即可． 倒序相加法：這是在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個a1＋an. 錯位相減法：這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的

7、方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差和等比數(shù)列． 裂項相消法：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用．裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的． 題型1　求數(shù)列的通項公式 (一)觀察法 就是觀察數(shù)列的特征，橫向看各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項公式． 例1　數(shù)列1，3，5，7，…的通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝(2n－1)· B．a(chǎn)n＝(2n－1)＋ C．a(chǎn)n＝(2n＋1)＋ D．a(chǎn)n＝ 解析：1＝1＋，3＝3＋，5＝5＋，…，

8、 ∴an＝(2n－1)＋. 答案：B (二)公式法 等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種常見且重要的數(shù)列，所謂公式法就是先分析后項與前項的差或比是否符合等差、等比數(shù)列的定義，然后用等差、等比數(shù)列的通項公式表示它． 例2　已知數(shù)列{an}為無窮數(shù)列，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2且n∈N*)，且a2＝4，a6＝8，求通項an. 解析：∵an－1＋an＋1＝2an， ∴an－1，an，an＋1成等差數(shù)列． 又∵n≥2且n∈N*， ∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項為a1，公差為d. 由可得 ∴通項an＝3＋(n－1)×1＝n＋2. (三)利用an與Sn的關(guān)系 前n項和關(guān)系式有兩種形

9、式：一種是Sn與n的關(guān)系式，記為Sn＝f(n)，它可由公式an＝直接求出通項an，但要注意n＝1與n≥2兩種情況能否統(tǒng)一；另一種是Sn與an的關(guān)系式，記為f(an，Sn)＝0，求它的通項公式an. 例3　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝5Sn－3，求數(shù)列{an}的通項公式． 解析：當(dāng)n＝1時，∵a1＝5a1－3，∴a1＝， 當(dāng)n≥2時，∵an＝5Sn－3，∴an－1＝5Sn－1－3， ∴an－an－1＝5(Sn－Sn－1)． 即an－an－1＝5an， ＝－， ∴{an}是首項a1＝，公比q＝－的等比數(shù)列． ∴an＝a1qn－1＝(n∈N*)． (四)累加法、累乘法

10、 有些數(shù)列，雖然不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但是它的后項與前項的差或商具有一定的規(guī)律性，這時，可考慮利用累加或累乘法，結(jié)合等差、等比數(shù)列的知識解決． 　例4 (1)已知a1＝1，＝，求an； (2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項公式． 解析：(1)當(dāng)n≥2時，an＝a1···…· ＝1××××…× ＝. 而a1＝1也適合上式． 故{an}的通項公式an＝n(n＋1)(n∈N*)． (2)∵an＝an－1＋n(n≥2)，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n. 將這n－1個等式兩

11、邊分別相加得 an－a1＝2＋3＋…＋n， ∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝(n≥2)． 當(dāng)n＝1時，a1＝＝1成立． ∴an＝(n∈N*)． (五)構(gòu)造法 有些數(shù)列直觀上不符合以上各種形式，這時，可對其結(jié)構(gòu)進行適當(dāng)變形，以利于使用以上各類方法． 形如已知a1，an＋1＝pan＋q(p、q為常數(shù))形式均可用構(gòu)造等比數(shù)列法，即an＋1＋x＝p(an＋x)，{an＋x}為等比數(shù)列，或an＋2－an＋1＝p(an＋1－an)，{an＋1－an}為等比數(shù)列． 　例5 設(shè)數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求{an}的通項． 解析：∵an＋1

12、－an＋an＋1·an＝0. ∴－＝1. 又＝1，∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， 故＝n，∴an＝(n∈N*)． 　若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋1，求an. 分析：根據(jù)遞推公式求出前幾項，再觀察規(guī)律，猜想通項公式，有時比較困難．可變換遞推公式，利用構(gòu)造等差或等比數(shù)列的技巧，從而求通項公式． 解析：方法一　∵an＋1＝an＋1， ∴an＋2＝an＋1＋1， 兩式相減得：an＋2－an＋1＝(an＋1－an)， 令bn＝an＋1－an(n＝1，2，3，…)， 則b1＝a2－a1＝－1＝，bn＋1＝bn， ∴數(shù)列{bn}是以為首項，為公比的等比數(shù)列． ∴a

13、n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1 ＝1＋＝2－(n∈N*)． 方法二　設(shè)an＋1－A＝(an－A)， 則an＋1＝an－A＋A， 根據(jù)an＋1＝an＋1可得：－A＋A＝1，即A＝2， ∴an＋1－2＝(an－2)． 令bn＝an－2，則b1＝a1－2＝－1，bn＋1＝bn， ∴數(shù)列{bn}是以－1為首項，為公比的等比數(shù)列． ∵bn＝b1·qn－1＝(－1)·， ∴an＝2＋bn＝2－(n∈N*)． 題型2　數(shù)列求和的方法 數(shù)列中求前n項和是數(shù)列運算的重要內(nèi)容，高考題中涉及此部分與通項的綜合問題，對于等差數(shù)

14、列與等比數(shù)列可依據(jù)公式求其和，對于某些具有特殊結(jié)構(gòu)的非等差、等比數(shù)列可轉(zhuǎn)化為利用等差或等比數(shù)列前n項和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分組法、裂項法、錯位相減法等．要對通項進行深入研究，找出規(guī)律，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法． 例7　等差數(shù)列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn為前n項和，求＋＋…＋. 解析：∵等差數(shù)列{an}的首項a1＝3，公差d＝2， ∴前n項和Sn＝na1＋d＝3n＋×2 ＝n2＋2n(n∈N*)， ∴＝＝＝， ∴＋＋…＋ ＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝－. 　例8 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N*)

15、． (1)求數(shù)列{an}的通項； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解析：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① ∴當(dāng)n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② 由①－②得3n－1an＝，∴an＝， 在①中，令n＝1，得a1＝， ∴數(shù)列{an}的通項公式an＝(n∈N*)． (2)∵bn＝＝n·3n， ∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③ ∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1.④ 由④－③得2Sn＝n×3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n) ＝n×3n＋1－， ∴Sn＝＋. 題型3　數(shù)列的應(yīng)

16、用問題 例9　(2013·廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*. (1)求a2的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. (1)解析：依題意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4. (2)解析：當(dāng)n≥2時，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n， 2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)， 兩式相減得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－， 整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1， 故

17、數(shù)列是首項為＝1，公差為1的等差數(shù)列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，當(dāng)n＝1時，上式顯然成立． 所以an＝n2(n∈N*)． (3)證明：當(dāng)n＝1時，＝1＜； 當(dāng)n＝2時，＋＝1＋＝＜； 當(dāng)n≥3時，＝＜＝－， 此時，＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜， 綜上，對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. 　例10 夏季高山上的溫度從山腳起，每升高100 m，降低0.7 ℃，已知山頂處的溫度是14.8 ℃，山腳處的溫度是26 ℃，問此山相對于山腳處的高度是多少？ 解析：∵每升高100 m溫度降低0.7 ℃， ∴該處溫度的變化是一個等差數(shù)列問題． 設(shè)山腳溫度為首項a1＝26，山頂溫度為末項an＝14.8， ∴26＋(n－1)(－0.7)＝14.8，解得n＝17. 此山的高度為(17－1)×100＝1 600(m)． 故此山相對于山腳處的高度是1 600 m.