中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)( 四邊形)

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1、11. 四邊形（分類） 11.1. 四邊形（包含題目總數(shù)：8） 010010； 010020； 010030； 010040； 010050； 010100； 010120； 010510； 11.1.1. 四邊形的相關(guān)概念 在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形．四邊形用表示它的各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示． 注意：表示四邊形必須按頂點(diǎn)的順序書寫，可按照順時(shí)針或逆時(shí)針的順序．如圖讀作“四邊形” ． 把四邊形的任一邊向兩方延長(zhǎng)，如果其它各邊都在延長(zhǎng)線所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形．

2、 注意：我們今后研究的四邊形都指凸四邊形． 在四邊形中，連結(jié)不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做四邊形的對(duì)角線． 注意： ①四邊形共有兩條對(duì)角線． ②連結(jié)四邊形的對(duì)角線也是一種常用的輔助線作法． 四邊形的不穩(wěn)定性： 三角形的三邊如果確定后，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩(wěn)定性．但是，四邊形四邊長(zhǎng)確定后，它的形狀不能確定．這就是四邊形具有不穩(wěn)定性，它在生產(chǎn)、生活方面有很多的應(yīng)用． 11.1.2. 四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理 四邊形內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于． 四邊形外角和定理：四邊形的外角和等于． 注意： 1、四邊形內(nèi)角中最多有三個(gè)鈍角，四個(gè)直角，三個(gè)銳

3、角； 2、四邊形外角中最多有三個(gè)鈍角、四個(gè)直角、三個(gè)銳角，最少?zèng)]有鈍角，沒(méi)有直角，沒(méi)有銳角； 3、四邊形內(nèi)角與同一個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)外角互為鄰補(bǔ)角． 推論： 1、多邊形內(nèi)角和定理：邊形的內(nèi)角和等于． 2、多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于． 3、邊形共有條對(duì)角線． 11.1.3. 多邊形對(duì)角線條數(shù)公式 設(shè)多邊形邊數(shù)為n，則多邊形對(duì)角線條數(shù)為． 11.2. 平行四邊形（包含題目總數(shù)：11） 010060； 010070； 010080； 010090； 010110； 010130； 010140； 010150； 010

4、160； 010170； 010780； 11.2.1. 平行四邊形的概念 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．平行四邊形用符號(hào)“ ”表示．平行四邊形記作 ．讀作：平行四邊形． 11.2.2. 平行四邊形的性質(zhì) (1)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等． (2)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等． (3)夾在兩條平行線間的平行線段相等． (4)平行四邊形的對(duì)角線互相平分． (5)若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這直線被一組對(duì)邊截下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，且這條直線二等分四邊形的面積． 11.2.3. 平行四邊形的判定

5、 平行四邊形的判定： (1)定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形． (2)定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形． (3)定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形． (4)定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形． (5)定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形． 平行四邊形的判定定理的選擇： 已知條件 選擇的判定定理 邊 一組對(duì)邊相等 定理2或定理4 一組對(duì)邊平行 定義或定理4 角 一組對(duì)角相等 定理1 對(duì)角線 定理3 11.2.4. 兩條平行線的距離 兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做

6、這兩條平行線的距離．平行線間的距離處處相等． 注意： (1)距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值． (2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離是定值，不隨垂線段位置改變． (3)平行線間的距離處處相等，因此在作平行四邊形的高時(shí)，可根據(jù)需要靈活選擇位置． 11.2.5. 平行四邊形的面積 1、如圖1，． 也就是底邊長(zhǎng)×高(是平行四邊形任何一邊長(zhǎng)，必須是邊與其對(duì)邊的距離)． 注意：這里的底是相對(duì)高而言的，也就是高所在的邊，平行四邊形任一邊都可作底，底確定后，高也就確定了． 2、同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等． 如圖2，．

7、 圖1 圖2 11.3. 矩形（包含題目總數(shù)：10） 010180； 010190； 010200； 010210； 010220； 010230； 010240； 010250； 010340； 010770； 11.3.1. 矩形的概念 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形． 注意：矩形首先是平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件． 11.3.2. 矩形的性質(zhì) (1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)． (2)矩形的四個(gè)角都是直

8、角． (3)矩形的對(duì)角線相等． (4)矩形是軸對(duì)稱圖形． 利用矩形的性質(zhì)可以證明線段相等或倍分、直線平行、角相等等． 11.3.3. 矩形的判定 (1)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形． (2)定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形． (3)定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形． 注意： ①用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角；二是平行四邊形．也就是說(shuō)有一角是直角的四邊形，不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個(gè)條件，它才是矩形． ②用定理2證明一個(gè)四邊形是矩形，也必須滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線相等；二是平行四邊形．也就說(shuō)明：兩條對(duì)角線

9、相等的四邊形不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個(gè)條件，它才是矩形． 11.3.4. 矩形的面積 矩形面積＝長(zhǎng)×寬． 11.4. 菱形（包含題目總數(shù)：14） 010260； 010270； 010280； 010290； 010300； 010310； 010311； 010320； 010330； 010350； 010360； 010370； 010380； 010800； 11.4.1. 菱形的概念 有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形． 注意：菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組

10、鄰邊相等． 11.4.2. 菱形的性質(zhì) (1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)． (2)菱形的四條邊都相等． (3)菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角． (4)菱形是軸對(duì)稱圖形． 11.4.3. 菱形的判定 (1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形． (2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形． (3)定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 注意：對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，必須加上平行四邊形這個(gè)條件它才是菱形． 利用菱形的性質(zhì)及判定可以證明線段相等及倍分、角相等及倍分、直線平行、垂直，以及證明一個(gè)四邊形是菱形和有關(guān)計(jì)算．

11、 11.4.4. 菱形的面積 菱形面積＝底×高＝對(duì)角線乘積的一半． 11.5. 正方形（包含題目總數(shù)：13） 010390； 010400； 010420； 010430； 010440； 010450； 010460； 010470； 010480； 010500； 010520； 010530； 010540； 11.5.1. 正方形的概念 有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形． 從正方形的定義可知正方形既是一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四邊形是正方形．

12、 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關(guān)系如圖： 11.5.2. 正方形的性質(zhì) (1)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)． (2)正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等． (3)正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角． (4)正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸． (5)正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)小的全等的等腰直角三角形． (6)正方形一條對(duì)角線上一點(diǎn)和另一條對(duì)角線的兩端距離相等． 11.5.3. 正方形的判定

13、(1)判定一個(gè)四邊形為正方形主要根據(jù)定義，途徑有兩種： ①先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等． ②先證它是菱形，再證它有一個(gè)角為直角． (2)判定正方形的一般順序： ①先證明它是平行四邊形； ②再證明它是菱形(或矩形)； ③最后證明它是矩形(或菱形)． 11.5.4. 正方形的面積 正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，或者等于兩條對(duì)角線乘積的一半．即：若正方形的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線長(zhǎng)為，則有正方形的面積． 11.6. 梯形（包含題目總數(shù)：18） 010410； 010490； 010550； 010551； 010560； 010570； 010

14、580； 010590； 010600； 010610； 010620； 010630； 010640； 010730； 010740； 010760； 010790； 010820； 11.6.1. 梯形的相關(guān)概念 一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形．梯形中平行的兩邊叫做梯形的底． 注意：通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底，梯形的上下底是以長(zhǎng)短區(qū)分的，不是指位置說(shuō)的．梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰．梯形兩底的距離叫做梯形的高． 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形． 梯形一般如下分類：

15、 轉(zhuǎn)化 分割、拼接 解決梯形問(wèn)題的基本思路： 梯形問(wèn)題 三角形或平行四邊形問(wèn)題． 這種思路常通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)． 11.6.2. 梯形的判定 梯形的判定： (1)定義法：判定四邊形中①一組對(duì)邊平行；②另一組對(duì)邊不平行． (2)有一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形． 注意：此判定可由梯形定義和一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出． 11.6.3. 等腰梯形的性質(zhì) (1)等腰梯形兩腰相等、兩底平行． (2)等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等． (3)等腰梯形的對(duì)角線相等． (4)等腰梯形是

16、軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，一底的垂直平分線是它的對(duì)稱軸． 注意：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等，不能說(shuō)成：①等腰梯形兩底上的角相等；②等腰梯形同一底上的兩底角相等． 11.6.4. 等腰梯形的判定 (1)兩腰相等的梯形是等腰梯形． (2)在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形． (3)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形． 11.6.5. 梯形的面積 (1)如圖，． (2)梯形中有關(guān)圖形面積： ①． ②． ③． 11.7. 平行線等分線段定理（包含題目總數(shù)：2） 010650； 010750； 平行線等分線段定理： 定理：如果一組平

17、行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等． 定理的作用： ①可以證明同一條直線上的線段相等． ②可以任意等分線段． 注意： (1)定理中的“平行線組”是每相鄰兩條的距離都相等的特殊的平行線組． (2)定理中的“平行線組”是由三條或三條以上直線組成的． 平行線等分線段定理的推論： 推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰． 推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊． 它們的作用為：平分線段，求線段的中點(diǎn)或證明線段的倍分． 這兩個(gè)推論可簡(jiǎn)記為：“中點(diǎn)”+“平行”中點(diǎn)． 11.8. 三角形、梯形中位線（包含題目總數(shù)

18、：7） 010660； 010670； 010680； 010690； 010700； 010710； 010720； 11.8.1. 三角形、梯形中位線的概念 連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線． 注意： ①三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形． ②要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線． 連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線． 注意：梯形中位線是連結(jié)兩腰中點(diǎn)的線段，而不是連結(jié)兩底的中點(diǎn)的線段． 11.8.2. 三角形中位線定理 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半． 三角形中位

19、線定理的作用： ①位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行． ②數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系． 任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有： 結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半． 結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形． 結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形． 結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分． 結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等． 11.8.3. 梯形中位線定理 梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半． 梯形中位線定理的作用： ①位置關(guān)系：可以證明三條直線平行． ②數(shù)量關(guān)系：可以證明一條線段與另兩條線段的倍分關(guān)系．