（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做02 排列與組合試題（含解析）

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1、 專題2 排列與組合 【三年高考】 1. 【2016高考江蘇】 （1）求的值； （2）設(shè)m，nN*，n≥m，求證： （m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）. 【答案】（1）0（2）詳見解析 試題解析：解：（1） （2）當時，結(jié)論顯然成立，當時 又因為 所以 因此 【考點】組合數(shù)及其性質(zhì) 【名師點睛】組合數(shù)的性質(zhì)不僅有課本上介紹的、，更有，現(xiàn)在又有，這些性質(zhì)不需記憶，但需會推導(dǎo)，更需會應(yīng)用. 2.【2017課標II，理6】安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ） A．12

2、種 B．18種 C．24種 D．36種 【答案】D 【解析】 試題分析：由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有種方法。 故選D。 【考點】 排列與組合；分步乘法計數(shù)原理 【名師點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步。具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。

3、 3.【2017浙江，16】從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有______中不同的選法．（用數(shù)字作答） 【答案】660 【解析】 【考點】排列組合的應(yīng)用 【名師點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率．在某些特定問題上，也

4、可充分考慮“正難則反”的思維方式． 4. 【2017天津，理14】用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.（用數(shù)字作答） 【答案】 【解析】 【考點】計數(shù)原理、排列、組合 【名師點睛】計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理（加法）和分步計數(shù)原理（乘法），組成四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，利用加法原理計數(shù). 5.【2016高考新課標2理數(shù)改編】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以

5、選擇的最短路徑條數(shù)為　　　?。? 【答案】18 【解析】 試題分析：由題意，小明從街道的E處出發(fā)到F處最短有條路，再從F處到G處最短共有條路，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為條． 考點： 計數(shù)原理、組合. 【名師點睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的． 分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的． 6.【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為　　　?。? 【答案】72 考點：排列、組合 【名師點睛】利

6、用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．在本題中，個位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置．. 7.【2016高考新課標3理數(shù)改編】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有　　　　個． 【答案】14 【解析】 試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下： 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1

7、 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 考點：計數(shù)原理的應(yīng)用． 【方法點撥】求解計數(shù)問題時，如果遇到情況較為復(fù)雜，即分類較多，標準也較多，同時所求計數(shù)的結(jié)果不太大時，往往利用表格法、樹枝法將其所有可能一一列舉出來，常常會達到岀奇制勝的效果． 8．【2015高考四川，理6】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有________________個 【答案】120 【解析】據(jù)題意，萬位上只能排4、5.若萬位上排4，則有個；若萬位上排5，則有個.所以共有個

8、. 9.【2015高考上海，理8】在報名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為 （結(jié)果用數(shù)值表示）． 【答案】 【解析】由題意得，去掉選5名女教師情況即可： 10.【2015高考廣東，理12】某高三畢業(yè)班有人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言．（用數(shù)字作答） 【答案】． 【解析】依題兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了條畢業(yè)留言，故應(yīng)填入． 【2018年高考命題預(yù)測】 縱觀近幾年高考，我們可以發(fā)現(xiàn)，排列與組合問題一直是高考數(shù)

9、學(xué)的熱點內(nèi)容之一，從近幾年的高考試題統(tǒng)計分析來看，對排列與組合知識的考查可能出現(xiàn)在理科附加題，屬于中檔題．內(nèi)容以考查排列、組合的基礎(chǔ)知識為主，考查排列組合的綜合應(yīng)用．題目有一定的難度，有時難度還較大，重點考查分析問題，解決問題的能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.排列、組合是高考數(shù)學(xué)相對獨立的內(nèi)容，也是密切聯(lián)系實際的一部分.在2018年高考中，應(yīng)該注重基本概念，基礎(chǔ)知識和基本運算的考查.排列組合的試題會以現(xiàn)實生活中的生產(chǎn)問題、經(jīng)濟問題為背景，不會僅是人或數(shù)的排列.以排列組合應(yīng)用題為載體，考查學(xué)生的抽象概括能力，分析能力，綜合解決問題的能力.將排列組合與概率統(tǒng)計相結(jié)合是近幾年高考的一大熱點，應(yīng)引起重視

10、.排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，而且在實際中有廣泛的應(yīng)用，因此新高考會有題目涉及；考察形式：單獨的考題會出現(xiàn)在理科附加22或23題，屬于中等難度的題目，排列組合有時與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目；預(yù)測2018年高考，排列、組合及排列與組合的綜合應(yīng)用仍可能是高考的重點，同時應(yīng)注意排列、組合與概率、分布列等知識的結(jié)合，重點考查學(xué)生的運算能力與邏輯推理能力．復(fù)習(xí)建議：⑴ 使用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理要根據(jù)我們完成某件事情時采取的方式而定，分類來完成這件事情時用分類計數(shù)原理，分步驟來完成這件事情時用分步計數(shù)原理.怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一

11、類均可獨立完成所給事件，而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事情.所以準確理解兩個原理的關(guān)鍵在于明確：分類計數(shù)原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此之間交集為空集，并集為全集，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成事件；分步計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法.⑵ 排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān).⑶ 復(fù)雜的排列問題常常通過試驗、畫簡圖、小數(shù)字簡化等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難以直接檢驗，因而常需要用不同的方法求解來獲得檢驗.⑷ 按元素的性質(zhì)進行分類、

12、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合問題的基本思想方法，要注意題設(shè)中“至少”“至多”等限制詞的意義.⑸ 處理排列組合的綜合性問題，一般思想方法是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質(zhì)“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本方法和原理，通過解題訓(xùn)練要注意積累分類和分步的基本技能.⑹ 在解決排列組合綜合性問題時，必須深刻理解排列與組合的概念，能夠熟練確定——問題是排列問題還是組合問題，牢記排列數(shù)、組合數(shù)計算公式與組合數(shù)性質(zhì).容易產(chǎn)生的錯誤是重復(fù)和遺漏計數(shù).常見的解題策略有以下幾種：①特殊元素優(yōu)先安排的策略；②合理分類與準確分步的策略；③排列、組合混合問題先選后排的策略

13、；④正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略；⑤相鄰問題捆綁處理的策略；⑥不相鄰問題插空處理的策略；⑦定序問題除法處理的策略；⑧分排問題直排處理的策略；⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略；⑩構(gòu)造模型的策略. 【2018年高考考點定位】 本節(jié)內(nèi)容高考的重點就是利用計數(shù)原理，排列組合，排列數(shù)、組合數(shù)計算公式與組合數(shù)性質(zhì), 重點考查學(xué)生的抽象概括能力，分析問題，解決問題的能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.題型既有選擇題也有填空題,難度中等偏下,將排列組合與概率統(tǒng)計相結(jié)合是近幾年高考的一大熱點. 【考點1】計數(shù)原理 【備考知識梳理】 1. 分類加法計數(shù)原理（加法原理）的概念 一般形式：完成一件事有

14、n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=++……+種不同的方法. 2．分步乘法計數(shù)原理(乘法原理)的概念 一般形式：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法. 3. 兩個原理的區(qū)別： （1）“每類”間與“每步”間的關(guān)系不同：分類加法計數(shù)原理中的每一類方案中的任何一種方法、不同類之間的任何一種方法都是相互獨立，互不依賴的，且是一次性的；而分步乘法計數(shù)原理中的每一步是相互依賴，且是連續(xù)性的. （2）“每

15、類”與“每步”完成的效果不同：分類加法計數(shù)原理中所描述的每一種方法完成后，整個事件就完成了，而分步乘法計數(shù)原理中每一步中的每一種方法得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事. 4.切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行，同時要優(yōu)先考慮題中的限制條件. 【規(guī)律方法技巧】 1. 計數(shù)問題中如何判定是分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理：如果已知的每類方法中的每一種方法都能單獨完成這件事，用分類加法計數(shù)原理；如果每類方法中的每一種方法只能完成事件的一部分，用分步乘法計數(shù)原理． 2.利用分類計數(shù)原理解決問題時： (1)將一個比較復(fù)雜的問題分解為若干個“類別”，先分

16、類解決，然后將其整合，如何合理進行分類是解決問題的關(guān)鍵．(2)要準確把握分類加法計數(shù)原理的兩個特點：①根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏；②分類時，注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)；③對于分類問題所含類型較多時也可考慮使用間接法． 3.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件．(3)對完成各步的方法數(shù)要準確確定． 4. 用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步． (1)分類要做到“不重不漏”，分類后

17、再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)． (2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)． (3)對于復(fù)雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析，使問題形象化、直觀化． (4)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理． 5.在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準是什么． 5. (1)分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，

18、類與類之間是獨立的． (2)分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的． 6. 分類加法計數(shù)原理的兩個條件：(1)根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理． 分步乘法計數(shù)原理的兩個條件：(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．(2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才

19、算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵．從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)． 7. 應(yīng)用兩種原理解題：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；(3)有無特殊條件的限制；(4)檢驗是否有重漏． 8. 涂色問題：涂色問題是由兩個基本原理和排列組合知識的綜合運用所產(chǎn)生的一類問題，這類問題是計數(shù)原理應(yīng)用的典型問題，由于涂色本身就是策略的一個運用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為新課標高考的命題熱點. 涂色問題的關(guān)鍵是顏色的數(shù)目和在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同一種顏色，具體操作

20、法和按照顏色的數(shù)目進行分類法是解決這類問題的首選方法. 涂色問題的實質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時還要進行分類．涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結(jié)合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理． 【考點針對訓(xùn)練】 1.用一顆骰子連擲三次，投擲出的數(shù)字順次排成一個三位數(shù)，此時： （1）各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個？ （2）可以排出多少個不同的數(shù)？ （3）恰好有兩個相同數(shù)字的三位數(shù)共有多少個？ 【答案】（1）120；（2）216；（3）90． 【解析】 試題分析：（1）得到一個三位數(shù)，分三步進行：先填百位，有6種方法；再填

21、十位，有5種方法；最后填個位，有4種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可得； （2）分三步進行：先填百位，再填十位，最后填個位，每種都有6種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可得； （3）從三個位中任選兩個位，填上相同的數(shù)字，有種方法，剩下的一位數(shù)字的填法有5中，根據(jù)分步計數(shù)原理可求得結(jié)果． 2.某出版社的11名工人中，有5人只會排版，4人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從11人中選4人排版，4人印刷，有多少種不同的選法？ 【答案】185種. 【解析】 試題分析：根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個問題可按只會印刷的四人作為分類標準：第一類：只會印刷的4人全被選出，有種；第二類：從只會印刷的4人中選出3人，有

22、種； 第三類：從只會印刷的4人中選出2人，即可. 試題解析：將只會印刷的4人作為分類標準，將問題分為三類： 第一類：只會印刷的4人全被選出，有種； 第二類：從只會印刷的4人中選出3人，有種4； 第三類：從只會印刷的4人中選出2人，有種. 所以共有（種）. 【考點2】排列組合綜合 【備考知識梳理】 1. 排列的相關(guān)概念及排列數(shù)公式 (1)排列的定義：從個不同元素中取出 ()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列． (2)排列數(shù)的定義：從個不同元素中取出 ()個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用表示． (3)排列

23、數(shù)公式：這里并且 (4)全排列：個不同元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列，(叫做n的階乘).排列數(shù)公式寫成階乘的形式為，這里規(guī)定. 2．組合的相關(guān)概念及組合數(shù)公式 (1)組合的定義：從個不同元素中取出 ()個元素合成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合． (2)組合數(shù)的定義：從個不同元素中取出 ()個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用表示． (3)組合數(shù)的計算公式：，由于，所以. (4)組合數(shù)的性質(zhì)：①；②；③. 3.區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)．若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排

24、列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題．也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān)． 4.解決排列組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關(guān)鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序”． 5.要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解，檢驗算法的正確與否，又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果． 【規(guī)律方法技巧】 1. 求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確

25、；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘． 具體地說，解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置．(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)． 2. 解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類

26、，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決． 3. 有條件的排列問題大致分四種類型．(1)某元素不在某個位置上問題，①可從位置考慮用其它元素占上該位置，②可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問題)；③可間接計算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個數(shù)．(2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個元素(即捆綁法)然后與其它元素排列．(3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進行插空(即插空法)．(4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個位置，先排上剩余的其它元素，這個元素也就一種排法． 4. 對于有

27、條件的組合問題，可能遇到含某個(些)元素與不含某個(些)元素問題；也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算，此類問題要注意分類處理或間接計算，切記不要因為“先取再后取”產(chǎn)生順序造成計算錯誤． 5.排列、組合綜合應(yīng)用問題的常見解法：①特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法；②合理分類與準確分步；③排列、組合混合問題先選后排法；④相鄰問題捆綁法；⑤不相鄰問題插空法；⑥定序問題倍縮法；⑦多排問題一排法；⑧“小集團”問題先整體后局部法；⑨構(gòu)造模型法；⑩正難則反、等價轉(zhuǎn)化法． 6. 在計算排列組合問題時，可能會遇到“分組”問題，要特別注意是平均分組還是不平均分組．可從排列與組合的關(guān)系出發(fā)，用類比的方法去

28、理解分組問題，比如將4個元素分為兩組，若一組一個、一組三個共有種不同的分法；而平均分為兩組則有種不同的分法． 【考點針對訓(xùn)練】 1.現(xiàn)有6名學(xué)生，按下列要求回答問題（列出算式，并計算出結(jié)果）： （Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相鄰）的不同站法種數(shù)； （Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相鄰，且丙與乙不相鄰的不同站法種數(shù)； （Ⅲ）把這6名學(xué)生全部分到4個不同的班級，每個班級至少1人的不同分配方法種數(shù)； （Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相鄰條件下，丙、丁不相鄰的概率． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）； （Ⅳ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）6個人全排列共有種不同排法，

29、由于甲站在乙的前面與乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面（甲、乙可以不相鄰）的不同站法種數(shù)為；（Ⅱ）甲乙捆綁到一起與剩下3人共4人共有種不同排法，由于丙與乙不相鄰，丙只需從甲乙這個整體與剩余3人產(chǎn)生的4個空中任選一個進行排放，根據(jù)分步計數(shù)原理，共種不同排法；（Ⅲ）6名學(xué)生全部分到4個不同的班級，每個班級至少1人有兩類，第一類是3個班級各1人，1個班級有3人，這種情況共有，第二類是2個班級2人，2個班級1人，這種情況共有,根據(jù)分類計數(shù)原理知每個班級至少1人的不同分配方法種數(shù)為；（Ⅳ）記A：甲乙相鄰共有種不同排法，記B:甲、乙相鄰且丙、丁不相鄰共有種不同排法，根據(jù)條件概率的計算公式 試題解析

30、： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） （Ⅳ） 2. 6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？ （1）一堆一本，一堆兩本，一堆三本； （2）甲得一本，乙得二本，丙得三本； （3）平均分給甲、乙、丙三人； （4）平均分成三堆. 【答案】（1）60； （2）60; (3)90; (4)15 【解析】（1）先在6本書中任取一本．作為一本一堆，有種取法，再從余下的五本書中任取兩本，作為兩本一堆，有種取法，再后從余下三本取三本作為一堆，有種取法，故共有分法種． （2）由（1）知．分成三堆的方法有種，而每種分組方法僅對應(yīng)一種分配方法， 故甲得一本，乙得二本，丙得三本

31、的分法亦為種． （3）3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書本中任取出2本的方法有種，甲不論用哪一種方法取得2本書后，已再從余下的4本書中取書有種方法，而甲、乙不論用哪一種方法各取2本書后，丙從余下的兩本中取兩本書，有種方法，所以一共有種方法． （4）把6本不同的書分成三堆，每推二本與把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人二本的區(qū)別在于，后者相當于把六本不同的書，平均分成三難后，再把每次分得的三堆書分給甲、乙、丙三個人．因此，設(shè)把六本不同的書，平均分成三堆的方法有種，那么把六本不同的書分給甲、乙、丙三人每人2本的分法就應(yīng)種，由（3）知，把六本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本的方法有種

32、． 所以,則（種）. 【兩年模擬詳解析】 1.將甲、乙等名學(xué)生分配到三個不的班級，每個班級至少1．用這六個數(shù)字，完成下面兩個小題． （1）若數(shù)字不允許重復(fù)，可以組成多少個能被整除的且百位數(shù)字不是的不同的五位數(shù)； （2）若直線方程中的可以從已知的六個數(shù)字中任取個不同的數(shù)字，則直線方程表示的不同直線共有多少條？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）依據(jù)能被整除的數(shù)，其個位是或，分兩類，由加法原理得到結(jié)論； （2）對于選不選零，結(jié)果會受影響，所以第一類均不為零，的取值，第二類中有一個為，則不同的直線僅有兩條，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果． 試題解析：（1）當末位

33、數(shù)字是時，百位數(shù)字有個選擇，共有（個）； 當末位數(shù)字是時，若首位數(shù)字是，共有個）； 當末位數(shù)字是時，若首位數(shù)字是或或，共有（個）； 故共有（個）． （2）中有一個取時，有條； 都不取時，有（條）； 與重復(fù)； ，與重復(fù)． 故共有（條）． 2．六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？ （1）甲不站兩端； （2）甲、乙必須相鄰； （3）甲、乙不相鄰； （4）甲、乙按自左至右順序排隊（可以不相鄰）； （5）甲、乙站在兩端． 【答案】（1）480；（2）240；（3）480；（4）360；（5）48． 【解析】 試題分析：本題主要考查排列

34、組合等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，甲除去兩端的位置外，還有四個位置可供選擇，排好后再其余的5人；第二問，用捆綁法把甲乙看成1個人，甲乙進行全排列，5個人進行全排列；第三問，用插空法，先排其余4人，將甲乙插在5個空中；第四問，先排甲乙以外的4人，排好后剩下的2個位置直接放甲和乙；第五問，先排甲乙兩端的位置，再排中間4個人． 方法三：若對甲沒有限制條件共有種法，甲在兩端共有2種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即得所求的站法數(shù)，共有2=480（種）． （2）先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，有種站法，再把甲、乙進行全排列，有種站法，根椐分步

35、計數(shù)原理，共有=240（種）站法． （3）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有種；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，有種，故共有站法為（種）． 也可是用“間接法”，6個人全排列有種站法，由（2）知甲、乙相鄰有種站法，所以不相鄰的站法有（種）． （4）先將甲、乙以外的4人從6個位置中挑選4個位置進行排列共有種，剩下的兩個位置，左邊的就是甲，右邊的就是乙，全部排完，故共有種． （5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有=48（種）． 方法二：首先考慮兩端

36、兩個特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4個位置，由剩下的4人去站，有種站法，由分步計數(shù)原理共有=48種站法． 3．由四個不同的數(shù)字1,2,4，x組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)． （1）若x＝5，其中能被5整除的共有多少個？ （2）若x＝9，其中能被3整除的共有多少個？ （3）若x＝0，其中的偶數(shù)共有多少個？ （4）若所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和是252，求x． 【答案】（1）6個；（2）12個；（3）14個；（4）x=7 【解析】 試題分析：（1）能被5整除需要滿足個位數(shù)字是5，只需排列十位百位； （2）能被3整除需滿足3個數(shù)字之和是3的倍數(shù)；（3）偶數(shù)需要將個位數(shù)字安排2或0

37、；（4）分析易得x=0時不能滿足題意，進而討論x≠0時，先求出4個數(shù)字可以組成無重復(fù)三位數(shù)的個數(shù)，進而可以計算出每個數(shù)字用了18次，則有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值 試題解析：（1）若x=5，則四個數(shù)字為1，2，4，5； 又由要求的三位數(shù)能被5整除，則5必須在末尾， 在1、2、4三個數(shù)字中任選2個，放在前2位，有A32=6種情況， 即能被5整除的三位數(shù)共有6個； （2）若x=9，則四個數(shù)字為1，2，4，9； 又由要求的三位數(shù)能被3整除，則這三個數(shù)字為1、2、9或2、4、9， 取出的三個數(shù)字為1、2、9時，有A33=6種情況， 取出的三個數(shù)字為2、4、9時，有A

38、33=6種情況， 則此時一共有6+6=12個能被3整除的三位數(shù)； （3）若x=0，則四個數(shù)字為1，2，4，0； 又由要求的三位數(shù)是偶數(shù)，則這個三位數(shù)的末位數(shù)字為0或2或4， 當末位是0時，在1、2、4三個數(shù)字中任選2個，放在前2位，有A32=6種情況， 當末位是2或4時，有A21×A21×A21=8種情況， 此時三位偶數(shù)一共有6+8=14個， （4）若x=0，可以組成=3×3×2=18個三位數(shù)，即1、2、4、0四個數(shù)字最多出現(xiàn)18次，則所有這些三位數(shù)的各位數(shù)字之和最大為（1+2+4）×18=126，不合題意， 故x=0不成立；當x≠0時，可以組成無重復(fù)三位數(shù)共有=4×3×2=2

39、4種，共用了24×3=72個數(shù)字，則每個數(shù)字用了=18次，則有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7 4．已知一個袋內(nèi)有4只不同的紅球，6只不同的白球。 （1）從中任取4只球，紅球的只數(shù)不比白球少的取法有多少種？ （2）若取一只紅球記2分，取一只紅球記2分，取一只白球記1分，從中任取5只球，使總分不小于7分的取法有多少種? （3）在（2）條件下，當總分為8時，將抽出的球排成一排，僅有兩個紅球相鄰的排法種數(shù)是多少？ 【答案】（1）115;（2）186;（3）4320。 【解析】 試題分析：（1）本題考察的是分類計數(shù)原理，根據(jù)所給條件利用組合數(shù)求出每一類的取法，然后把每一類相

40、加一起就可以算出答案。本題易錯點在分類不完整，從而導(dǎo)致最后的答案出錯。 本題考察的是分類計數(shù)原理，因為要求總分不小于7分的取法，所以可以從整體中去掉不滿足要求的取法即可，所以至少要取兩個紅球，從10個球種任取5個球，有種取法；取0個紅球5個白球，有種取法；取1個紅球4個白球，有種取法，所以就可以得到所求答案。 （3）本題考察的是排列數(shù)和分步計數(shù)法，因為總分為8，所以取到的是3個紅球，2個白球，有種取法，取出的5個球排成一排，僅有兩個紅球的排列方法有種，所以根據(jù)分步計數(shù)原理有種排法。 試題解析：（1）種 （2）總分不小于7分的取法必需紅球至少有2個紅球，所以方法數(shù)為種 （3）種。 5

41、．一個袋子里有4個不同的紅球，6個不同的白球，從中任取4個使得取出的球中紅球比白球多的取法有多少種？紅球不少于白球的取法又有多少種？ 【答案】（1）;（2） 6．解下列方程： 【答案】14 【解析】 試題分析：本題主要考察組合數(shù)公式的應(yīng)用，根據(jù)公式就可以把所給方程化簡成簡單方程，就可以解出答案。本題易錯點在記錯公式，從而導(dǎo)致化簡出錯，本題中的上下標較多 ，化簡時要多加注意。 試題解析：得 7．（1）把5本不同的書分給3名同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？ （2）把5本相同的書分給3名同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？ 【答案】（1）;（2） 【解析】 試題分析

42、：（1）先選3本，然后再分給三名不同的同學(xué)；（2）因為是相同的書，所以選3本事一種方法，分給三名同學(xué)也是一種方法． 試題解析：（1）種方法，答：共有60種方法．（2）因為是相同的書，所以是1種方法． 8．從射擊、乒乓球、跳水、田徑四個大項的雅典奧運冠軍中選出6名作“奪冠之路”的勵志報告． （1）若每個大項中至少選派一人，則名額分配有幾種情況？ （2）若將6名冠軍分配到5個院校中的4個院校作報告，每個院校至少一名冠軍，則有多少種不同的分配方法？ 【答案】（1）10;（2）7800. 【解析】 試題分析：（1）6個名額沒有差異，所以選擇隔板法，（2）首先先從5個院校選擇4個院校，

43、然后將6名冠軍分組，3111，或是2211，兩種情況，最后再分配乘以. 試題解析：（1）名額分配只與人數(shù)有關(guān)，與不同的人無關(guān)． 所以選擇隔板法， （2）從5個院校中選4個，再從6個冠軍中，先組合，再進行排列，有種分配方法． 9．將四個編號為1,2,3,4的相同小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中， （1）若每個盒子放一個小球，求有多少種放法; （2）若每個盒子放一球，求恰有1個盒子的號碼與小球的號碼相同的放法種數(shù)； （3）求恰有一個空盒子的放法種數(shù)。 【答案】（1）24；（2）8；（3）144

44、； 【解析】 試題分析：（1）直接利用排列數(shù)公式即可；（2）先從四個球中選出一個與盒子號碼相同，再把剩余的三個分別放入號碼不同的盒子中；（3）先從四個盒子中選出一個空盒子，再把球分成2、1、1三組放入三個盒子中，屬于不平均分組問題。 試題解析：（1）種；（2）先從四個球中選出一個與盒子號碼相同由種方法，再把剩余的三個分別放入號碼不同的盒子中有2種方法，所以有種；（3）先從四個盒子中選出一個空盒子有種方法，再把球分成2、1、1三組放入三個盒子中有種，所以有種 10．六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？ （l）甲不站兩端； （2）甲、乙不相鄰； （3）甲、乙之間間

45、隔兩人； （4）甲不站左端，乙不站右端． 【答案】（l）480（2）480（3）144（4）504 【解析】 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】 1. 一個正方形花圃，被分為n（）份，種植紅、黃、藍、綠4種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花。 （1）如圖1，正方形被分為3份A、B、C，有多少種不同的種植方法？ （2）如圖2，正方形被分為4份A、B、C、D，有多少種不同的種植方法？ （3）如圖3，正方形被分為5份A、B、C、D、E，有多少種不同的種植方法？ 【答案】（1）24（2）48（3）96 【解析】 試題分析：（1）采用分步計數(shù)原理求解（2）（3）分步計數(shù)原理求解

46、時需分兩種情況：對角相同與不相同兩種情況 試題解析：（1）共24種。圖1，運用分步種植的方法，先對A部分種植，有4種不同的種植方法；再對B部分種植，有3種不同的種植方法；最后對C部分種植，有2種不同的種植方法，共4×3×2=24種。 （2）共84種。圖2，先對A部分種植，有4種不同的種植方法；再對B部分種植，有3種不同的種植方法；對C種植進行分類：若與B相同，D有3種不同的種植方法，共有4×3×1×3=36種種植方法，若與B不同，C有2種不同的種植方法，D有2種不同的種植方法，共有4×3×2×2=48。 共有36+38=84種不同的種植方法。

47、 （3）共96種。圖3，先對A部分種植，有4種不同的種植方法；再對B部分種植，有3種不同的種植方法；對C種植進行分類：若與B相同，D有2種不同的種植方法，E有2種不同的種植方法，共有4×3×1×2×2=48種種植方法，若與B不同，C有2種不同的種植方法，D有1種不同的種植方法，E有2種不同的種植方法，共有4×3×2×1×2=48。 共有48+48=96種不同的種植方法。 【入選理由】本題考查排列數(shù)與組合數(shù)，以及計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題以及簡單的計算能力．染色問題是計數(shù)原理應(yīng)用，也是高考考試的重點，本題考查內(nèi)容基礎(chǔ)

48、性較強，符合高考的方向，故押此題． 2. 標號為0到9的10瓶礦泉水. （1）從中取4瓶, 恰有2瓶上的數(shù)字相鄰的取法有多少種？ （2）把10個空礦泉水瓶掛成如下4列的形式, 作為射擊的靶子, 規(guī)定每次只能射擊每列最下面的一個（射中后這個空瓶會掉到地下）, 把10個礦泉水瓶全部擊中有幾種不同的射擊方案？ （3）把擊中后的礦泉水瓶分送給A、B、C三名垃圾回收人員, 每個瓶子1角錢.垃圾回收人員賣掉瓶子后有幾種不同的收入結(jié)果？ 【答案】（1）35種；（2）25200；（3）66. 【解析】 試題分析：（1）取4張紅卡，其中2張連在一起，組成3個組合卡，6張白卡排成一排，插入3個組合卡，有種方法，即可得出結(jié)論； （2）一種射擊方案對應(yīng)于從0至9共十個數(shù)字中取2個、3個、3個、2個數(shù)字的組合，因為每組數(shù)的數(shù)字大小是固定的，數(shù)字小的掛下面，可得結(jié)論； （3）由于A、B、C所得錢數(shù)與瓶子編號無關(guān)，他們所得錢數(shù)只與所得瓶子個數(shù)有關(guān)，即可得出結(jié)論 【入選理由】本題主要考查排列組合問題、排列數(shù)組合數(shù)公式的應(yīng)用等知識，意在考查考生的理解能力及計算能力.本題是一個常規(guī)題,但考查的知識基礎(chǔ),有一定的綜合性,符合小題綜合化的高考要求, 故選此題. - 22 -