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1、
一、填空題
1．已知集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{0,4}，N＝{2,4}，則?U(M∪N)＝________.
解析：由題意得M∪N＝{0,2,4}，所以?U(M∪N)＝{1,3}．
答案：{1,3}
2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.
解析：由log2x≤2得04，∴c＝4.
答案：4
3．已知集合A＝{x|y＝log2 (－x2＋x＋2)，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，則A∩B＝________.
解
2、析：由－x2＋x＋2>0得－1
3、素除去(?UA)∪(?UB)中的元素，所以A∩B中的元素個數(shù)為m－n.
答案：m－n
6．集合M＝{x|x＝sin ，n∈Z}，N＝{x|x＝cos ，n∈Z}，則M∩N＝________.
解析：由與的終邊位置知M＝{－，0，}，N＝{－1,0,1}，M∩N＝{0}．
答案：{ 0}
7．(20xx·江西七校聯(lián)考)若集合P＝{x|3
4、集U＝R，M＝{m|方程mx2－x－1＝0有實數(shù)根}，N＝{n|方程x2－x＋n＝0有實數(shù)根}，則(?UM)∩N＝________.
解析：當m＝0時，x＝－1，即0∈M；
當m≠0時，Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，且m≠0，
∴m≥－，
∴?UM＝{m|m<－}，
而對于N，Δ＝1－4n≥0，即n≤，
N＝{n|n≤}，∴(?UM)∩N＝{x|x<－}．
答案：{x|x<－}
9．設(shè)S為復數(shù)集C的非空子集．若對任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：①集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③
5、封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集．
其中的真命題是________．(寫出所有真命題的序號)
解析：由題意，①S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}，S為復數(shù)集，若x、y∈S，則x＋y， x－y及xy仍為復數(shù)，故①正確．
②若S為封閉集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，故②正確．
③因為{0}是封閉集，且是有限集，故③錯誤．
④舉特例，若S＝{0}，T＝{0，i，－i}，顯然，T中i·(－i)＝1?T，∴T不是封閉集，故④錯誤．
答案：①②
二、解答題
10．已知集合A＝{x|≥1，x∈R}，B＝{x|x
6、2－2x－m<0}，
(1)當m＝3時，求A∩(?RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1
7、}，問是否存在非零整數(shù)a，使A∩B≠?？若存在，請求出a的值；若不存在，說明理由．
解析：假設(shè)A∩B≠?，則方程組有正整數(shù)解，消去y，得ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0(*)．
由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥0，解得－≤a≤.∵a為非零整數(shù)，
∴a＝±1，
當a＝－1時，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.
當a＝1時，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合題意．
故存在a＝1，使得A∩B≠?，
此時A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．
12．對于函數(shù)f(x)，若f(x)＝x，則稱x為f(x)的“不動點”，若f(f(x))＝x，則稱x為f(x)的
8、“穩(wěn)定點”，函數(shù)f(x)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)求證：A?B.
(2)若f(x)＝ax2－1(a∈R，x∈R)，且A＝B≠?，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：(1)證明：若A＝?，則A?B顯然成立；
若A≠?，設(shè)t∈A，則f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，
即t∈B，從而A?B.
(2)A中元素是方程f(x)＝x，即ax2－1＝x的實根．
由A≠?，知a＝0或即a≥－，
B中元素是方程a(ax2－1)2－1＝x，
即a3x4－2a2x2－x＋a－1＝0的實根，
由A?B，知上述方程左邊含有一個因式ax2－x－1，
即方程可化為(ax2－x－1)(a2x2＋ax－a＋1)＝0.
因此，若要A＝B，即要方程①a2x2＋ax－a＋1＝0 要么沒有實根，要么實根是方程②ax2－x－1＝0的根．
若①沒有實根，則Δ＝a2－4a2(1－a)<0，由此解得a<.
若①有實根且①的實根是②的實根，則由②有a2x2＝ax＋a，代入①有2ax＋1＝0.
由此解得x＝－，再代入②得＋－1＝0，
由此解得a＝.
故a的取值范圍是[－，]．
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