高考數學復習 17-18版 附加題部分 第1章 第62課 離散型隨機變量的均值與方差

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1、 第62課 離散型隨機變量的均值與方差 [最新考綱] 內容 要求 A B C 離散型隨機變量的均值與方差 √ 1．離散型隨機變量的均值與方差 一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 稱E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． (2)方差 稱V(X)＝σ2＝ (xi－E(X))2pi＝xpi－μ2為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的

2、平均偏離程度，其算術平方根σ＝為隨機變量X的標準差． 2．均值與方差的性質 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b為常數) 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)． 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)期望是算術平均數概念的推廣，與概率無關．(　　) (2)隨機變量的均值是常數，樣本的平均值是隨機變量．(　　) (3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變

3、量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小. (　　) (4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分，如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知X的概率分布為 X －1 0 1 P 設Y＝2X＋3，則E(Y)的值為________． 　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， 則E(Y)＝2E(X)＋3＝3－＝.] 3．設隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，則V(ξ)等于________．

4、8　[∵E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴V(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.] 4．(2016·四川高考)同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數X的均值是________． 　[同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，至少有一枚硬幣正面向上的概率P＝1－2＝. 又X～B， ∴成功次數X的均值E(X)＝2×＝.] 5．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，則P(X＝1)＝________. 　[∵E(X)＝np＝6， V(X)＝np(1－p)＝3， ∴p＝，n＝12， 則P(X＝1)

5、＝C××11＝3×2－10＝.] 離散型隨機變量的均值、方差 　設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數之和，求ξ的概率分布； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 【導學號：62172334】 [解]　(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝，

6、 P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的概率分布為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的概率分布為 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， D(η)＝2·＋2·＋2·＝， 化簡得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. [規(guī)律方法]　1.求離散型隨機變量的均值與方差關鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算． 2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)的應用． [變式訓練1]　(2016·蘇北四市摸底)已知某校有甲、

7、乙兩個興趣小組，其中甲組有2名男生、3名女生，乙組有3名男生、1名女生，學校計劃從兩興趣小組中隨機各選2名成員參加某項活動． (1)求選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數； (2)記X為選出的4名選手中女選手的人數，求X的概率分布和數學期望． [解]　(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數為C·C·C＋C＝21種． (2)X的可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝. X的概率分布為 X 0 1 2 3 P E(X)＝

8、0×＋1×＋2×＋3×＝. 與二項分布有關的均值、方差 　某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎． (1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率； (2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的概率分布和數學期望及方差. 【導學號：62172335】 [解]　(1)記事件A1＝{從甲箱中摸出的1個球是紅球}， A2＝{從乙箱中摸出的1個球是紅球}， B1＝{

9、顧客抽獎1次獲一等獎}，B2＝{顧客抽獎1次獲二等獎}，C＝{顧客抽獎1次能獲獎}． 由題意知A1與A2相互獨立，A1 與A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2. 因為P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝， P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2) ＝P(A1)P()＋P()P(A2) ＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2) ＝×＋×＝. 故所求概率為P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝. (2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗

10、，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以X～B. 于是P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝. 故X的概率分布為 X 0 1 2 3 P X的數學期望為E(X)＝3×＝. 隨機變量X的方差V(X)＝3×＝. [規(guī)律方法]　1.求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量． 2．有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，此時，可以綜合應用E(a

11、ξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)．同樣還可求出V(aξ＋b)． [變式訓練2]　空氣質量指數(Air Quality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數，空氣質量按照AQI大小分為六級，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；＞300為嚴重污染．一環(huán)保人士記錄2015年某地某月10天的AQI的莖葉圖如圖62-1所示． 圖62-1 (1)利用該樣本估計該地本月空氣質量優(yōu)良(AQI≤100)的天數；(按這個月總共30天計算) (2)將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記

12、空氣質量優(yōu)良的天數為ξ，求ξ的概率分布列、數學期望和方差． [解]　(1)從莖葉圖中可發(fā)現該樣本中空氣質量優(yōu)的天數為2，空氣質量良的天數為4，故該樣本中空氣質量優(yōu)良的頻率為＝， 從而估計該月空氣質量優(yōu)良的天數為30×＝18. (2)由(1)估計某天空氣質量優(yōu)良的概率為， ξ的所有可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝C2＝， P(ξ＝2)＝C2＝，P(ξ＝3)＝3＝. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 顯然ξ～B，E(ξ)＝3×＝1.8，隨機變量ξ的方差V(ξ)＝3×＝. 均值與方差在決策中的應用 　有甲、乙兩種

13、棉花，從中各抽取等量的樣品進行質量檢驗，結果如下： X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 其中X表示纖維長度(單位：mm)，根據纖維長度的均值和方差比較兩種棉花的質量． [解]　由題意，得E(X甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30， E(X乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30. 又V(X甲)＝(28－30

14、)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1， V(X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38， 所以E(X甲)＝E(X乙)，V(X甲)＜V(X乙)，故甲種棉花的質量較好． [規(guī)律方法]　1.依據均值與方差的定義、公式求出相應的均值與方差． 2．依據均值與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的解釋． [變式訓練3]　(2016·揚州期末)某商場舉辦“迎新年摸球”活動，主辦方準備了甲、乙兩個

15、箱子，其中甲箱中有四個球、乙箱中有三個球(每個球的大小、形狀完全相同)，每一個箱子中只有一個紅球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的紅球，則可獲獎金m元，若摸中乙箱中的紅球，則可獲獎金n元．活動規(guī)定：①參與者每個箱子只能摸一次，一次摸一個球；②可選擇先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一個箱子中摸到紅球，則可繼續(xù)在第二個箱子中摸球，否則活動終止. (1)如果參與者先在乙箱中摸球，求其恰好獲得獎金n元的概率； (2)若要使得該參與者獲獎金額的期望值較大，請你幫他設計摸箱子的順序，并說明理由． [解]　(1)設參與者先在乙箱中摸球，且恰好獲得獎金n元為事件M. 則P(M)＝×＝，即參與者先在乙箱

16、中摸球，且恰好獲得獎金n元的概率為. (2)參與者摸球的順序有兩種，分別討論如下： ①先在甲箱中摸球，參與者獲獎金x可取0，m，m＋n， 則P(x＝0)＝，P(x＝m)＝×＝，P(x＝m＋n)＝×＝； E(X)＝0×＋m×＋(m＋n)×＝＋； ②先在乙箱中摸球，參與者獲獎金η可取0，n，m＋n， 則P(η＝0)＝，P(η＝n)＝ ×＝，P(η＝m＋n)＝×＝， E(η)＝0×＋n×＋(m＋n)×＝＋， E(X)－E(η)＝， 當>時，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大；當＝時，兩種順序參與者獲獎金期望值相等； 當<時，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，參與

17、者獲獎金期望值較大． 即當>時，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大；當＝時，兩種順序參與者獲獎金期望值相等；當<時，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，參與者獲獎金期望值較大． [思想與方法] 1．均值與方差的性質 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)(a，b為常數)． (2)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)． (3)若X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)． 2．求離散型隨機變量的均值與方差的基本方法 (1)已知隨機變量的概率分布求它的均值、方差，按定義求解．

18、(2)已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性質求解． (3)如果所給隨機變量是服從二項分布，利用均值、方差公式求解． [易錯與防范] 1．理解均值E(X)易失誤，均值E(X)是一個實數，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X值的取值平均狀態(tài)． 2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)易錯易混． 3．對于應用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設出來，再進行分析，求出隨機變量的概率分布，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差． 課時分層訓練(六

19、) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 1．某班從4名男生、2名女生中選出3人參加志愿者服務，若選出的男生人數為ξ，求ξ的方差． [解]　依題意，隨機變量ξ服從超幾何分布，ξ可能的取值為1,2,3. P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3. ξ的概率分布為 ξ 1 2 3 P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2. V(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝0.4. 2．現有一游戲裝置如圖62-2，小球從最上方入口處投入，每次遇到黑色障礙物等可能地向左、右兩邊落下．游戲規(guī)則為：若小球最終落入A槽，得10張獎票，若落入B槽，得5張獎票；若落入C槽，得

20、重投一次的機會，但投球的總次數不超過3次． 圖62-2 (1)求投球一次，小球落入B槽的概率； (2)設玩一次游戲能獲得的獎票數為隨機變量X，求X的概率分布及均值. 【導學號：62172336】 [解]　(1)由題意可知投一次小球，落入B槽的概率為2＋2＝. (2)落入A槽的概率為2＝， 落入B槽的概率為， 落入C槽的概率為2＝. X的所有可能取值為0,5,10， P(X＝0)＝3＝， P(X＝5)＝＋×＋2×＝. P(X＝10)＝＋×＋2×＝. 所以X的概率分布為 X 0 5 10 P E(X)＝0×＋5×＋10×＝. 3．(2017

21、·南通二調)一個摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當所指定的玻璃球不出現時，游戲費被沒收；當所指定的玻璃球出現1次，2次，3次時，參加者可相應獲得游戲費的0倍，1倍，k倍的獎勵(k∈N＋)，且游戲費仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為X元． (1)求概率P(X＝0)的值； (2)為使收益X的數學期望不小于0元，求k的最小值． (注：概率學源于賭博，請自覺遠離不正當的游戲！) 【導學號：62172337】 [解]　(1)事件“X＝0”表示“有

22、放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現1次”， 則P(X＝0)＝3××2＝. (2)依題意，X的可能值為k，－1,1,0， 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝，P(X＝0)＝， 結合(1)知，參加游戲者的收益X的數學期望為 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝(元)． 為使收益X的數學期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110. 4．(2016·山東高考)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語．在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已

23、知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求： (1)“星隊”至少猜對3個成語的概率； (2)“星隊”兩輪得分之和X的概率分布和數學期望E(X)． [解]　(1)記事件A：“甲第一輪猜對”， 記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”， 記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”． 由題意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC， 由事件的獨立性與互斥性， P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(

24、B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝， 所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為. (2)由題意，隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨立性與互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝， P(X＝1)＝2× ＝＝， P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝， P(X＝3)＝×××＋×××＝＝， P(X＝4)＝2× ＝＝， P(X＝6)＝×××＝＝. 可得隨機變量X的概率分布為 X 0 1 2 3 4 6 P

25、 所以數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2016·南京鹽城二模)甲、乙兩人投籃命中的概率分別為與，各自相互獨立．現兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球． (1)求比賽結束后甲的進球數比乙的進球數多1個的概率； (2)設ξ表示比賽結束后甲、乙兩人進球數的差的絕對值，求ξ的概率分布和數學期望E(ξ)． [解]　(1)比賽結束后甲的進球數比乙的進球數多1個有以下幾種情況： 甲進1球，乙進0球；甲進2球，乙進1球；甲進3球，乙進2球． 所以比賽結束后甲的進球數比乙的進球數多1個的概率 P＝

26、C23＋C2C3＋C3C3＝. (2)ξ的取值為0,1,2,3，所以ξ的概率分布列為 ξ 0 1 2 3 P 所以數學期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. 2．計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立． (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水

27、電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系： 年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120 發(fā)電機最多 可運行臺數 1 2 3 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？ [解]　(1)依題意，p1＝P(40＜X＜80)＝＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7， p3＝P(X＞120)＝＝0.1. 由二項分布知，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為 p＝C(1－p3)4＋

28、C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7. (2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)． ①安裝1臺發(fā)電機的情形． 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安裝2臺發(fā)電機的情形． 依題意知，當40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下： Y 4

29、200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安裝3臺發(fā)電機的情形． 依題意，當40＜X＜80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當X＞120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下

30、： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機2臺． 3．(2017·南通模擬)一位網民在網上光顧某網店，經過一番瀏覽后，對該店鋪中的A，B，C三種商品有購買意向．已知該網民購買A種商品的概率為，購買B種商品的概率為，購買C種商品的概率為.假設該網民是否購買這三種商品相互獨立． (1)求該網民至少購買2種商品的概率； (2)用隨機變量h表示該網民購買商品的種數，求h的概率分布和數學期望． [解]　

31、(1)記“該網民購買i種商品”為事件Ai，i＝2,3，則：P(A3)＝××＝， P(A2)＝××＋××＋××＝， 所以該網民至少購買2種商品的概率為P(A3)＋P(A2)＝＋＝. 該網民至少購買2種商品的概率為. (2)隨機變量h的可能取值為0,1,2,3， P(h＝0)＝××＝， 又P(h＝2)＝P(A2)＝，P(h＝3)＝P(A3)＝，所以P(h＝1)＝1－－－＝. 所以隨機變量h的概率分布為： h 0 1 2 3 P 故數學期望E(h)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．(2017·蘇州市期中)某公司對新招聘的員工張某進行綜合能力測式，共設置了

32、A，B，C三個測試項目．假定張某通過項目A的概率為，通過項目B，C的概率均為a(0