高考數(shù)學 17-18版 附加題部分 第5章 第71課 課時分層訓練15

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1、 課時分層訓練(十五) A組　基礎(chǔ)達標 (建議用時：30分鐘) 1．已知矩陣A＝，B＝，向量α＝，若Aα＝Bα，求實數(shù)x，y的值． [解]　Aα＝，Bα＝， 由Aα＝Bα得解得x＝－，y＝4. 2．(2017·如皋中學模擬)在平面直角坐標系xOy中，設點P(x,5)在矩陣M＝對應的變換下得到點Q(y－2，y)，求M－1. 【導學號：62172372】 [解]　依題意，＝，即解得，由逆矩陣公式知，矩陣M＝的逆矩陣M－1＝， 所以M－1＝＝. 3．(2017·泰州二中月考)若點A(2,2)在矩陣M＝對應變換的作用下得到的點為B(－2,2)，求矩陣M的逆矩陣． [解]　由題意，

2、得＝， ∴ ∴sin α＝1，cos α＝0， ∴M＝. ∴＝1≠0，∴M－1＝. 4．已知矩陣A＝，其中a∈R，若點P(1,1)在矩陣A的變換下得到點P′(0，－3)． (1)求實數(shù)a的值； (2)求矩陣A的特征值及特征向量. 【導學號：62172373】 [解]　(1)由＝，得a＋1＝－3，∴a＝－4. (2)由(1)知A＝， 則矩陣A的特征多項式為 f(x)＝＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3， 令f(λ)＝0，得矩陣A的特征值為－1或3. 當λ＝－1時二元一次方程?y＝2x. ∴矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量為. 當λ＝3時，二元一次方程?2x＋y＝

3、0. ∴矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·蘇州市期中)已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應的一個特征向量e1＝，并且矩陣M將點(－1,3)變換為(0,8)． (1)求矩陣M； (2)求曲線x＋3y－2＝0在M的作用下的新曲線方程． [解]　(1)設M＝，由＝8及＝， 得解得∴M＝. (2)設原曲線上任一點P(x，y)在M作用下對應點P′(x′，y′)，則＝，即解得 代入x＋3y－2＝0得x′－2y′＋4＝0， 即曲線x＋3y－2＝0在M的作用下的新曲線方程為x－2y＋4＝0. 2．(2016·南京鹽城一模)設矩

4、陣M＝的一個特征值為2，若曲線C在矩陣M變換下的方程為x2＋y2＝1，求曲線C的方程． [解]　由題意，矩陣M的特征多項式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)， 因矩陣M有一個特征值為2，f(2)＝0，所以a＝2. 所以M＝＝＝，即 代入方程x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲線C的方程為8x2＋4xy＋y2＝1. 3．(2016·蘇北三市三模)已知矩陣A＝，向量α＝，計算A5α. [解]　因為f(λ)＝＝λ2－5λ＋6 ，由f(λ)＝0，得λ＝2或λ＝3. 當λ＝2時，對應的一個特征向量為α1＝； 當λ＝3時，對應的一個特征向量為α2＝. 設＝m＋n，解得 所以A5α＝2×25＋1×35＝. 4．已知矩陣A＝，B＝ (1)求矩陣A的逆矩陣； (2)求直線x＋y－1＝0在矩陣A－1B對應的線性變換作用下所得的曲線的方程． [解]　(1)設A－1＝， ∵A·A－1＝·＝， ∴ ∴∴A－1＝. (2)A－1B＝＝， 設直線x＋y－1＝0上任意一點P(x，y)在矩陣A－1B對應的線性變換作用下得P′(x′，y′)， 則＝， ∴即 代入x＋y－1＝0得x′＋3y′＋(－y′)－1＝0， 可化為：x′＋2y′－1＝0， 即x＋2y－1＝0為所求的曲線方程．