《高等數(shù)學(xué)備課教案：第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)
根據(jù)本章第一節(jié)的引例1知道，物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度就是路程函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即
.
根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，速度函數(shù)對(duì)于時(shí)間的變化率就是加速度，即是對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，
于是，加速度就是路程函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)，記為 . 因此，變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度就是路程函數(shù)對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)，即
分布圖示
★ 高階導(dǎo)數(shù)的定義
★ 計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的方法
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 ★ 例7
★ 常用初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10
2、 ★ 例11
★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí)
★ 習(xí)題 2- 3 ★ 返回
內(nèi)容要點(diǎn)
一、 高階導(dǎo)數(shù)的概念
定義1 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 即
存在, 則稱為函數(shù)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù), 記為
類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù), 記為
，或.
一般地, 的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的n階導(dǎo)數(shù),記為
注: 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù). 相應(yīng)地, 稱為零階導(dǎo)數(shù); 稱為一階導(dǎo)數(shù).
二、求高階導(dǎo)數(shù)的方法：
求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，除直接按定義逐階求出指定的高階導(dǎo)數(shù)外（直接法），還常常利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過導(dǎo)數(shù)的四則
3、運(yùn)算, 變量代換等方法, 間接求出指定的高階導(dǎo)數(shù)（間接法）.
三、萊布尼茨公式
例題選講
高階導(dǎo)數(shù)的概念
注：講義的例1、例3含在文件（計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的方法）內(nèi).
例1 (E02) 設(shè), 求.
解
例2 證明: 函數(shù)滿足關(guān)系式
證 對(duì)求導(dǎo)，得
代入原方程,得證畢.
例3 (E04) 設(shè)，求
解
……
若為自然數(shù)則
注: 求階導(dǎo)數(shù)時(shí)，求出或4階后，不要急于合并，分析結(jié)果的規(guī)律性，
寫出階導(dǎo)數(shù) ( 利用數(shù)學(xué)歸納法).
例4 (E05) 設(shè)，求
解 ……
例5 (E06) 設(shè)的階導(dǎo)數(shù).
4、
解
……
即
同理可得
例6 設(shè) 為常數(shù)), 求 (圖示見系統(tǒng))
解
……
例7 (E09) 設(shè), 求.
解 設(shè)則由萊布尼茲公式知
例8 (E07) 設(shè)函數(shù), 求.
解
例9 (E08) 設(shè)求
解 因?yàn)樗?
于是，利用高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和已知高階導(dǎo)數(shù)公式，得
例10設(shè) 求
解
例11 (E10)（彈簧的無阻尼振動(dòng)）設(shè)有一彈簧，它的一端固定，另一端系有一重物，然后從靜止位置（記作原點(diǎn)）沿x軸向下（記為正方向） 把重物拉長(zhǎng)到4個(gè)單位，之后松開，若運(yùn)動(dòng)過程中忽
5、略阻尼介質(zhì)（如空氣、水、油等）的阻力作用，則重物的位置x與時(shí)間t的關(guān)系式為：.試求t時(shí)刻的速度和加速度，并嘗試分析彈簧整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的詳細(xì)情況：
(1) 物體會(huì)在某個(gè)時(shí)刻停止下來還是會(huì)做永不停止的周期運(yùn)動(dòng)？
(2) 何時(shí)離點(diǎn)最遠(yuǎn)，最近？
(3) 何時(shí)速度最快，最慢？
(4) 何時(shí)速度變化最快，最慢？
(5) 據(jù)前面問題再加以分析，對(duì)無阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)性態(tài)作一詳細(xì)闡述.
解 位移：; 速度：; 加速度：.
(1) 彈簧和重物構(gòu)成的系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中可認(rèn)為不存在能量的損耗，而只是勢(shì)能（彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能）與動(dòng)能的互相轉(zhuǎn)化，所以物體的運(yùn)動(dòng)會(huì)永不停止，并據(jù)其位移、速度、加速度公式
6、分析知重物作的周期運(yùn)動(dòng).
(2) 由易知:
當(dāng)(為非負(fù)整數(shù)，本題中的同此說明)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)達(dá)到離原點(diǎn)的最遠(yuǎn)位置處，正負(fù)表示運(yùn)動(dòng)的方向（以下同），且正值表示與初始位移方向一致，負(fù)值表示與初始位移方向相反；
當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)達(dá)到離原點(diǎn)的最近位置處，即原點(diǎn)處．
(3) 由速度公式，知：
當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大絕對(duì)速度；
當(dāng)，達(dá)到最小絕對(duì)速度．
(4) 由加速度公式，知：
當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大絕對(duì)加速度；
當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小絕對(duì)加速度.
(5) 根據(jù)上面的計(jì)算再加以分析我們知道：當(dāng)重物在原點(diǎn)時(shí)，其速度達(dá)到最大值，加速度為0，再往上或下繼續(xù)振動(dòng)時(shí)，速度減慢，且減慢的程度越來越快，這表示加速度的方向與瞬間速度的方向相反且大小越來越大，當(dāng)?shù)竭_(dá)最大絕對(duì)位移處時(shí)，加速度達(dá)到最大值，同時(shí)其速度減為0，這之前的過程可視為四分之一個(gè)周期，緊接著瞬間速度方向即將發(fā)生改變，但注意此時(shí)加速度方向不發(fā)生改變也即與瞬間速度方向一致，也就是說，此時(shí)加速度反方向給重物加速，直到再回到原點(diǎn)處使重物獲得瞬間最大絕對(duì)速度，這之間的過程又可視為.剩下的半個(gè)周期相仿于前半個(gè)周期，故不再重述并請(qǐng)讀者自述。
課堂練習(xí)
1. 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).
2. 設(shè)連續(xù), 且, 求.
3. 求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).
高等數(shù)學(xué)備課教案：第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)
