2018年高考數學 常見題型解法歸納反饋訓練 第92講 極坐標常見題型解法

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1、 第92講 極坐標常見題型解法 【知識要點】 一、在平面內取一個定點為極點，引一條射線為叫做極軸，再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系.對于平面內的點，設， ，稱、為點的極徑、極角，有序數對就叫做的極坐標. 二、一般地，當極角的取值范圍是時，平面上的點(除去極點)就與極坐標建 立一一對應的關系，否則點與極坐標就不是一一對應.極點的極坐標是，其中極角是任意角. 三、負極徑的規(guī)定：在極坐標系中，極徑允許取負值，當時，點位于極角的終邊的反向延長線上，且，可以表示為，或 四、直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩坐標系中取相同

2、的長度單位.平面內任意一點的直角坐標與極坐標分別為和，則由三角函數的定義可以得到： （求點的直角坐標的公式），（求點的極坐標的公式）. 五、球坐標系：設是空間任意一點，在平面的射影為，連接，記， 與軸正向所夾的角為，在平面的射影為，軸按逆時針方向旋轉到時所轉過的最小正角為，點的位置可以用有序數組表示，我們把建立上述對應關系的坐標系叫球坐標系(或空間極坐標系)，有序數組叫做點的球坐標，其中，，.空間點的直角坐標與球坐標之間的變換關系為：； 六、柱坐標系：設是空間任意一點，在平面的射影為，用 表示點在平面上的極坐標，點的位置可用有序數組，表示把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系，有序數組叫點

3、的柱坐標，其中，，，空間點的直角坐標與柱坐標之間的變換關系為：. 【題型講評】 題型一 求點的直角坐標 解題步驟 一般直接代入公式即可，代公式時注意“”與“”對應，“”與“”對應.其中經常用到三角恒等變換的誘導公式“縱變橫不變，符號看象限”. 【例1】點的極坐標為，則它的直角坐標為 . 【點評】把極坐標化成直角坐標時，要求我們對三角函數的誘導公式很熟練很準備，否則就有可能計算出錯.如本題中的，就要計算準確. 【反饋檢測1】若點的極坐標為，則點的直角坐標是（ ） A． B． C． D

4、． 題型二 求點的極坐標 解題步驟 一般直接代公式解出即可.注意兩點：（1）極角一般?。唬?）求極角時，一定要先通過點定出極角所在的象限位置，再通過求出極角的大小.即先定位，后定量.如果點不在象限里面，則直接寫出它的極坐標. 【例2】點的直角坐標是，則點的極坐標為（ ） A． B． C． D． 【點評】這種題最容易出錯的是極角的大小，必須向定位，后定量.本題中極角和位置相同，所以極角在第二象限，又，所以極角 【反饋檢測2】點，則它的極坐標是（ ） A． B． C． D．

5、 題型三 求曲線直角方程的極坐標方程 解題步驟 一般先代入公式，再化簡整理即可.其中常用到輔助角公式. 【例3】 把方程化為極坐標方程. 【解析】 . 【點評】把直角坐標方程化成極坐標方程時，一般要利用輔助角公式化簡,以達到最簡的目的. 【反饋檢測3】已知圓的方程為，求該圓的極坐標方程. 題型四 求曲線的直角坐標方程 解題步驟 一般先代公式，再化簡整理即可. 【例4】極坐標方程和參數方程 (為參數)所表示的圖形分別為(　　) A．圓、直線 B．直線、圓 C．圓、圓 D．直線、直線 【點評】把極坐標方程化

6、成直角坐標方程時，注意技巧，可以方程的兩邊同時乘以，得到，這樣便于代公式. 【反饋檢測4】極坐標方程表示的曲線為（ ） A．極點 B．極軸 C．一條直線 D．兩條相交直線 題型五 求曲線的極坐標方程 解題步驟 方法一：一般先把已知條件中的所有條件化成直角坐標，求出曲線的直角坐標方程，再把求出的直角坐標方程化為極坐標方程.方法二：建系設點列式化簡.一般選第一種方法解答. 【例5】 在極坐標系中，圓過極點，且圓心的極坐標是()，則圓的極坐標方程是（ ） A．． B．． C．． D．． 【點評】本題選擇的是第一種方法，

7、先把所有的條件化成直角坐標，求出直角坐標方程，再把直角坐標方程化成極坐標. 【反饋檢測5】已知曲線的參數方程為（為參數），曲線在點處的切線為.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程. 【例6】在極坐標系中，已知圓的圓心，半徑，點在圓上運動. （I）求圓的極坐標方程； （II）若在直線上運動，且，求動點的軌跡方程. 【解析】（I） Q M C O X ·P 設圓上任意一點，則在三角形中，由余弦定理得 即： 整理即可得圓的極坐標方程為： （II）設,，依題意可知： 代入得 化簡得：動點的軌跡方程為： 【點評】本題就是選擇的方法二求

8、的曲線的極坐標方程.其中多涉及到解三角形的知識（正弦定理和余弦定理）. 【反饋檢測6】在極坐標系中，已知圓的圓心半徑,求圓的極坐標方程. 題型六 極坐標和其它知識的綜合 解題步驟 一般先化成直角坐標，再利用涉及的相關知識分析解答. 【例7】在直角坐標系中，圓的參數方程為（為參數），以為極點軸的非負半軸為極軸建立極坐標系. （1）求圓的極坐標方程； （2）直線的極坐標方程是，射線與圓的交點為，與直線的交點為，求線段的長. 【點評】（1）極坐標可以和很多知識整合，整合最多的是解析幾何.（2）本題的第二問比較巧妙，計算線段的長度時，沒有計算兩個端點的坐標，因為這樣的

9、計算量比較大. 直接用兩個端點的極徑之差來求線段的長度，因為兩個端點的極角相等. 【反饋檢測7】在直角坐標系中，直線（為參數， ）與圓 相交于點，以為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系． （1）求直線與圓的極坐標方程；（2）求的最大值． 【反饋檢測8】已知在平面直角坐標系中，圓的參數方程為為參數），以為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為則直線被圓所截得的弦長為 ． 高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第92講： 極坐標常見題型解法參考答案 【反饋檢測1答案】 【反饋檢測1詳細解答】，，則點的直角坐標是.故選. 【反饋檢測2答案】C 【反饋檢測2詳細解答】,,所以，故選C. 【反饋檢測3答案】 【反饋檢測3詳細解答】由題得 【反饋檢測4答案】 【反饋檢測4詳細解析】∵，，∴，即 或，表示的是兩條相交直線.所以選擇. 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測6答案】 【反饋檢測6詳細解析】方法一：設點，在中，，，， ，由余弦定理可知 ，即 方法二：圓的圓心為 直角坐標方程為 即，將代入上式， 得 【反饋檢測7答案】（1）；（2）. 【反饋檢測8答案】 【反饋檢測8詳細解析】圓的普通方程為，直線的普通方程為 ，圓心到直線的距離，則直線被圓所截得的弦長為. 9