2018年高考數(shù)學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題6 函數(shù)與導數(shù) 突破點14 函數(shù)的圖象和性質(zhì)學案 文

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2018年高考數(shù)學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題6 函數(shù)與導數(shù) 突破點14 函數(shù)的圖象和性質(zhì)學案 文_第1頁
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1、 突破點14 函數(shù)的圖象和性質(zhì) [核心知識提煉] 提煉1 函數(shù)的奇偶性 (1)若函數(shù)y=f(x)為奇(偶)函數(shù),則f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x)). (2)奇函數(shù)y=f(x)若在x=0處有意義,則必有f(0)=0. (3)判斷函數(shù)的奇偶性需注意:一是判斷定義域是否關(guān)于原點對稱;二是若所給函數(shù)的解析式較為復雜,應先化簡;三是判斷f(-x)=-f(x),還是f(-x)=f(x),有時需用其等價形式f(-x)±f(x)=0來判斷. (4)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱. (5)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點對

2、稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反. 提煉2 函數(shù)的周期性 (1)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(x-a)(a≠0),則函數(shù)y=f(x)是以2|a|為周期的周期性函數(shù). (2)若奇函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)(a≠0),則函數(shù)y=f(x)是以4|a|為周期的周期性函數(shù). (3)若偶函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)(a≠0),則函數(shù)y=f(x)是以2|a|為周期的周期性函數(shù). (4)若f(a+x)=-f(x)(a≠0),則函數(shù)y=f(x)是以2|a|為周期的周期性函數(shù). (5)若y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對稱,則函數(shù)y=f(x)是以

3、2|b-a|為周期的周期性函數(shù). 提煉3 函數(shù)的圖象 (1)由解析式確定函數(shù)圖象.此類問題往往需要化簡函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、過定點等)判斷,常用排除法. (2)已知函數(shù)圖象確定相關(guān)函數(shù)的圖象.此類問題主要考查函數(shù)圖象的變換(如平移變換、對稱變換等),要注意函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|等的相互關(guān)系. (3)借助動點探究函數(shù)圖象.解決此類問題可以根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式后再判斷函數(shù)的圖象;也可采用“以靜觀動”,即將動點處于某些特殊的位置處考察圖象的變化特征,從而作出選擇. [高考真題回訪]

4、 回訪1 函數(shù)的奇偶性與周期性 1.(2014·全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(  ) A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù) C [A:令h(x)=f(x)·g(x),則h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(huán)(x), ∴h(x)是奇函數(shù),A錯. B:令h(x)=|f(x)|g(x),則h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h(x), ∴

5、h(x)是偶函數(shù),B. C:令h(x)=f(x)|g(x)|,則h(-x)=f(-x)|g(-x)| =-f(x)|g(x)|=-h(huán)(x), ∴h(x)是奇函數(shù),C正確. D:令h(x)=|f(x)·g(x)|,則h(-x)=|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)·g(x)|=|f(x)·g(x)|=h(x), ∴h(x)是偶函數(shù),D錯.] 2.(2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,則f(2)=________. 12 [法一:令x>0,則-x<0. ∴f(-x)=-2x3+x2. ∵函數(shù)f(x)是定義

6、在R上的奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=2x3-x2(x>0). ∴f(2)=2×23-22=12. 法二:f(2)=-f(-2) =-[2×(-2)3+(-2)2]=12.] 回訪2 函數(shù)的圖象 3.(2015·全國卷Ⅰ)設函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關(guān)于直線y=-x對稱,且f(-2)+f(-4)=1,則a=(  ) A.-1    B.1    C.2    D.4 C [設(x,y)為y=f(x)圖象上任意一點, 則(-y,-x)在y=2x+a的圖象上, 所以有-x=2-y+a, 從而有-y+a=log2(-x)(指數(shù)式與對數(shù)式的

7、互化), 所以y=a-log2(-x), 即f(x)=a-log2(-x), 所以f(-2)+f(-4)=(a-log22)+(a-log24)=(a-1)+(a-2)=1,解得a=2.故選C.] 4.(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)y=的部分圖象大致為(  ) C [令f(x)=, ∵f(1)=>0,f(π)==0, ∴排除選項A,D. 由1-cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z), 故函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱. 又∵f(-x)==-=-f(x), ∴f(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,∴排除選項B. 故選C.] 回訪3 函數(shù)的單調(diào)性 5.(2017·全

8、國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(  ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) D [由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2. 設t=x2-2x-8,則y=ln t為增函數(shù). 要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,即求函數(shù)t=x2-2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間. ∵函數(shù)t=x2-2x-8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞), ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+∞). 故選D.] 6.(2015·全國卷Ⅱ)設函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-,則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是(  ) A. B.∪(

9、1,+∞) C. D.∪ A [法一:∵f(-x)=ln(1+|-x|)-=f(x), ∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù). ∵當x≥0時,f(x)=ln(1+x)-, 在(0,+∞)上y=ln(1+x)遞增,y=-也遞增, 根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 又∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,∴f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|)?|x|>|2x-1|?x2>(2x-1)2?3x2-4x+1<0?

10、 2-=ln 2-ln >0, ∴x=0不滿足f(x)>f(2x-1),故C錯誤. 令x=2,此時f(x)=f(2)=ln 3-,f(2x-1)=f(3)=ln 4-.∵f(2)-f(3)=ln 3-ln 4-, 其中l(wèi)n 3f(2x-1), 故B,D錯誤.故選A.] 熱點題型1 函數(shù)圖象的判斷與應用 題型分析:函數(shù)的圖象是近幾年高考的熱點內(nèi)容,主要有函數(shù)圖象的判斷和函數(shù)圖象的應用兩種題型. 【例1】(1)(2017·全國卷Ⅲ)函數(shù)y=1+x+的部分圖象大致

11、為(  ) (2)(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(2-x),若函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)圖象的交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則i=(  ) A.0    B.m    C.2m    D.4m (1)D (2)B [(1)當x→+∞時,→0,1+x→+∞,y=1+x+→+∞,故排除選項B. 當0<x<時,y=1+x+>0,故排除選項A,C. 故選D. (2)∵f(x)=f(2-x),∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱. 又y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的圖象關(guān)于直線x=1對

12、稱,∴兩函數(shù)圖象的交點關(guān)于直線x=1對稱. 當m為偶數(shù)時,i=2×=m; 當m為奇數(shù)時,i=2×+1=m.故選B.] [方法指津] 函數(shù)圖象的判斷方法 1.根據(jù)函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置,根據(jù)函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置. 2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢. 3.根據(jù)函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性. 4.根據(jù)函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復. 5.取特殊值代入,進行檢驗. [變式訓練1] (1)(2016·濟南模擬)函數(shù)y=(-π≤x≤π)的大致圖象為(  ) 【導學號:04024121】 A.  B. C.           D. (2)(

13、2017·東北三省四市聯(lián)考)對?x∈,23x≤logax+1恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A. B. C. D. (1)A (2)C [(1)令f(x)=,則f(-x)==-=-f(x),即函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,排除選項C,D; 當x=時,f=>0,排除選項B. 故選A. (2)不等式23x≤logax+1即為8x≤logax+1,若8x≤logax+1在上恒成立,則0<a<1,分別在同一坐標系中畫出y=8x與y=logax+1的圖象如圖所示, 易知loga+1≥8,解得≤a<1,故選C.] 熱點題型2 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 題型分析:函數(shù)性質(zhì)的綜合應用是高考

14、的熱點內(nèi)容,解決此類問題時,性質(zhì)的判斷是關(guān)鍵,應用是難點. 【例2】(1)(2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則(  ) A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增 B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減 C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱 D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱 (2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對于任意x∈R,恒有f(x-1)=f(x+1)成立,當x∈[-1,0]時,f(x)=2x-1,則f(2 017)=________. (1)C (2) [(1)f(x)的定義域為(0,2). f(x)=ln x+ln(2-x

15、)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x). 設u=-x2+2x,x∈(0,2),則u=-x2+2x在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減. 又y=ln u在其定義域上單調(diào)遞增, ∴f(x)=ln(-x2+2x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減. ∴選項A,B錯誤. ∵f(x)=ln x+ln(2-x)=f(2-x), ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,∴選項C正確. ∵f(2-x)+f(x)=[ln(2-x)+ln x]+[ln x+ln(2-x)]=2[ln x+ln(2-x)],不恒為0, ∴f(x)的圖象不關(guān)于點(1,0)對稱,∴選項D錯誤.

16、 故選C. (2)由f(x-1)=f(x+1)得f(x)的周期為2, 則f(2 017)=f(1)=-f(-1)=-(2-1-1)=.] [方法指津] 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用類型 1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合.注意奇、偶函數(shù)圖象的對稱性,以及奇、偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系. 2.周期性與奇偶性的綜合.此類問題多為求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解. 3.單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. [變式訓練2] (1)(2016·長春二模)已

17、知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),則不等式<f(1)的解集為(  ) 【導學號:04024122】 A. B.(0,e) C. D.(e,+∞) (2)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),?x∈R,f(x-1)=f(x+1)成立,當x∈(0,1)且x1≠x2時,有<0.給出下列命題: ①f(1)=0; ②f(x)在[-2,2]上有5個零點; ③點(2 014,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心; ④直線x=2 014是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸. 則正確命題的序號是________. 【導學號:04024123】 (

18、1)C (2)①②③ [(1)∵f(x)為R上的奇函數(shù),則f=f(-ln x)=-f(ln x), ∴==|f(ln x)|,即原不等式可化為|f(ln x)|<f(1),∴-f(1)<f(ln x)<f(1),即f(-1)<f(ln x)<f(1).又由已知可得f(x)在R上單調(diào)遞增,∴-1<ln x<1, 解得<x<e,故選C. (2)令f(x-1)=f(x+1)中x=0, 得f(-1)=f(1). ∵f(-1)=-f(1), ∴2f(1)=0, ∴f(1)=0, 故①正確; 由f(x-1)=f(x+1)得f(x)=f(x+2), ∴f(x)是周期為2的周期函數(shù), ∴f(2)=f(0)=0, 又當x∈(0,1)且x1≠x2時,有<0, ∴函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,可作函數(shù)的簡圖如圖: 由圖知②③正確,④不正確,∴正確命題的序號為①②③.] 10

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