【創(chuàng)新方案】高考數學理一輪知能檢測：第3章 第7節(jié)　解3角形應用舉例

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1、 高考數學精品復習資料 2019.5 [全盤鞏固] 1. 兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10°　 　　　　　B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80° 解析：選D　由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°. 2．某人向正東方向走x km后，向右轉150°，然后朝新方向走3

2、km，結果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為(　　) A. B．2 C.或2 D．3 解析：選C　 如圖所示，設此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2. 3．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100 m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50 m，山坡對于地平面的坡角為θ，則cos θ＝　(　　) A. B．2

3、－ C.－1 D. 解析：選C　在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝＝＝50(－)，在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1.由題圖，知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1. 4．張曉華同學騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30°方向上，15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是(　　) A．2 km B．3 km C．3 km D．2 km 解析：選B　 如圖，由條件知AB＝

4、24×＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝sin 30°＝3 km. 5．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在點B測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析：選A　設水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，A

5、C＝h，AB＝100，BC＝h，根據余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，整理得h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，故h＝50 m，故水柱的高度是50 米． 6. 如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為 (精確到0.1 m)(　　) A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析：選C　∵在△ACE中，tan 30°＝＝.∴AE＝ m. ∵在△AED中，tan 45°＝＝，∴

6、AE＝ m，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3 m. 7．甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則乙樓的高是________m. 解析：如圖，依題意甲樓高度AB＝20tan 60°＝20，又CM＝DB＝20 m，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·＝ m，所以乙樓的高CD＝20－＝ m. 答案： 8．(20xx·舟山模擬)已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C的距離為2 km，B船在燈塔C北偏西40°處，A，B兩船間的距離為3 km，則B船到燈塔C的距離為________km. 解析：如圖，由已知得∠ACB＝120°

7、，AC＝2，AB＝3. 設BC＝x，則由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos 120°， 即32＝22＋x2－2×2xcos 120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1. 答案：－1 9．如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝________. 解析：設AB＝h，在△ABC中，tan 60°＝，則BC＝h， 在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得＝， 即＝，解得h＝15. 答案：15

8、 10．隔河看兩目標A與B，但不能到達，在岸邊選取相距 km的C、D兩點，同時，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面內)，求兩目標A、B之間的距離． 解：如圖，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝. 在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝ km， 所以兩目標A，B之間的距離為 千米

9、． 11．為撲滅某著火點，現場安排了兩支水槍，如圖，D是著火點，A、B分別是水槍位置，已知AB＝15 m，在A處看到著火點的仰角為60°，∠ABC＝30°，∠BAC＝105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？ 解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°，由正弦定理得＝， 解得AC＝15 m.又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝15，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝.由正弦定理得＝，解得BC＝ m. 由勾股定理可得BD＝＝15 m， 綜上可知，兩支水槍的噴射距離至少分別為30 m，15 m. 12．如圖，在海岸A處發(fā)現北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有

10、一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10 海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間． 解：設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10t海里，BD＝10t海里， 在△ABC中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6，解得BC＝. 又∵＝，∴sin∠ABC＝＝＝， ∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°

11、＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴ sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴緝私船沿北偏東60°的方向行駛． 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝. ∴t＝小時≈15分鐘．∴緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘． [沖擊名校] 如圖，攝影愛好者在某公園A處，發(fā)現正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知攝影愛好者的身高約為 米(將眼睛S距地面的距離SA按 米處理)． (1)求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB； (2

12、)立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點O在攝影愛好者與立柱所在的平面內旋轉．在彩桿轉動的任意時刻，攝影愛好者觀察彩桿MN的視角∠MSN(設為θ)是否存在最大值？若存在，請求出∠MSN取最大值時cos θ的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)如圖，作SC⊥OB于C，依題意∠CSB＝30°，∠ASB＝60°. 又SA＝，故在Rt△SAB中，可求得AB＝＝3 m， 即攝影愛好者到立柱的水平距離AB為3米． 在Rt△SCO中，SC＝3，∠CSO＝30°，OC＝SC·tan 30°＝， 又BC＝SA＝，故OB＝2 m，即立柱的高度OB為2 米． (2)存在．∵cos∠MOS

13、＝－cos∠NOS，∴＝－ 于是得SM2＋SN2＝26從而cos θ＝≥＝. 又∠MSN為銳角，故當視角∠MSN取最大值時，cos θ＝. [高頻滾動] 1．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cos C＝(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C．± D. 解析：選A　由正弦定理＝，將8b＝5c及C＝2B代入得＝，化簡得＝，則cos B＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝. 2．在△ABC中，a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解：(1)因為a＝3，b＝2，∠B＝2∠A， 所以在△ABC中，由正弦定理得＝. 所以＝.故cos A＝. (2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝ ＝.又因為∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.所以sin B＝＝. 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.所以c＝＝5.