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1、1第三節(jié)第三節(jié) 分部積分法分部積分法一、分部積分法一、分部積分法二、小結(jié)二、小結(jié) 思考題思考題 練習(xí)題練習(xí)題三、作業(yè)三、作業(yè)2設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式一、分部積分法一、分部積分法關(guān)鍵：關(guān)鍵：(1)2.vudvvduudv要要容容易易求求得得；( )( ) 恰恰當(dāng)當(dāng)選選取取、使使比比原原積積分分易易積積出出3例例1 1 求積分求積分.dcos xxx解（一）解（一） 令令,cos xu 21,2vxvx xxxdcos22cos( sin )d22xx
2、xxx 顯然，顯然， 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行，積分更難進(jìn)行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu cossin ,vxvx xxxdcossin1 sin dxxx x .cossinCxxx ,dxvuuvdxvu xxxdcos(sin )xdx sinsinxxxdx udvuvvdu.cossinCxxx 簡寫簡寫4例例2 2 求積分求積分d .xxex 解解,ux dd ,xxvex vedxxex dxxxeex .xxxeeCdxxex d()xxe .xxxeeCdxxxeex 簡寫簡寫5例例2 2 求積分求積分2d .xx ex 解解2dxx ex 2d()xxe 2
3、2dxxx exex 22d()xxx eex 22d()xxx exe 22()xxxx exeeC2(22).xxxeC6 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余余)弦函數(shù)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積, 就考慮設(shè)冪函就考慮設(shè)冪函數(shù)為數(shù)為 , 使其降冪一次使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù))u總結(jié)總結(jié),d)(,dcos)(,dsin)(xexPxaxxPxaxxPkxnnn , 為常數(shù)為常數(shù)其中其中akuuu次多項式次多項式為為nxPn)(7例例3 3 求積分求積分.dln3 xxx解解3ln dxx x 441lnd(ln )44xxxx
4、 .161ln4144Cxxx 練習(xí)練習(xí) 求積分求積分2ln dlnd .x xx x，4ln d()4xx 341lnd44xxxx 8例例4 4 求積分求積分.arctan xdxx解解2arctan d()2xx 2221arctand ,221xxxxx 211arctanarctan222xxxxC211arctan.22xxxC 原式原式22d1xxx 21(1)d1xx arctan,xxC 原原積積分分2arctan1d()2xx 21arct21and2xxx 211arctan.22xxxC 原式原式注：9練習(xí)：求積分練習(xí)：求積分arccos d .x x 解解2arcco
5、sd1xxxxx 12221arccos(1)d(1)2xxxx arccosd(arccos )xxxx 2arccos1.xxxC原式原式10總結(jié)總結(jié) 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為數(shù)或反三角函數(shù)為 .u,darctan)(,darcsin)(xxxPxxxPnn xxxPndln)( uuu11例例5 5 求積分求積分.sin xdxex解解d( cos )xex sin dxex x coscos d ,xxexex x sin d()xxe sin dxex
6、x sincos d ,xxexex x (1)+(2), 整理可得整理可得sin dxex x (sincos ).2xexxC(1)(2)注注:(1)式右端式右端sincos d(),xxexxe sin(cossin d ),xxxexexex x 移項整理也可得移項整理也可得(3)式式.(3)12例例6 6 求積分求積分3secd .x x 解解sec d(tan )xx 原原式式2sectansectandxxxx x 所以，所以，2sectansec (sec1)dxxxxx 3sectansecdsec dxxx xx x3sectansecdln|tansec|xxx xxx
7、，311secdsectanln|tansec|.22x xxxxxC 13練習(xí)：練習(xí)： 求積分求積分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx cos(ln )x dx 練練習(xí)習(xí)：14例例7 7 求積分求積分221d ,.()nnIx nxa Z Z解解22222221()2d()()nnxxnxxaxaaa (1n ) )2
8、222212d()()nnnxxInxxaxa 212222,()nnnxnIna Ixa 12221(21),2()nnnxInInaxa 11arctan.nxICIaa由由上上面面的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系及及即即可可得得15練習(xí)練習(xí)：求積分：求積分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1xx arctan12 .)1ln(2Cxx 16練習(xí)：練習(xí)： 求積分求積分(1+ ln )d .xexxxx 解解原式原式
9、dln dxxexex xxd(ln )ln dxxexex xlnln dln dxxxexex xex xln.xexC注注:(1)式右端式右端dln d()xxexxexdlndxxxeexexxxxln.xexC(1)17例例8 8 求積分求積分d .xex 解解22ttteeC2,d2 d ,txxtxt t令令則則2(1).xxeC原式原式2dttet d.xxxxexxeeC 18練習(xí)練習(xí) 求積分求積分ln(1)d .xx 解解2,d2 d ,txxtxt t令令則則原式原式22(1)ln(1)d11ttttt 2ln(1)d1()tt 22(1)ln(1)d11ttttt 2(
10、1)ln(1)(1)dtttt 22(1)ln(1).2ttttC 19練習(xí)：練習(xí)： 求積分求積分21(tansec)d .222xxxex 解解d(e tan)2xx =e tan.2xxC 原式原式tand(e )+ e d(tan)22xxxx 20解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 例例9 9 練習(xí)練習(xí)( ).xfx dx 求求,( )( ).ux dvfx dxdfx提提示示：取取2( )xf xe 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是21合理選擇合理選擇 ，
11、正確使用分部積，正確使用分部積分公式分公式vu ,dxvuuvdxvu 二、小結(jié)二、小結(jié)22 在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時，在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時， 應(yīng)注意什么？應(yīng)注意什么？思考題思考題23思考題解答思考題解答注意前后幾次所選的注意前后幾次所選的 應(yīng)為同類型函數(shù)應(yīng)為同類型函數(shù).u例例 xdxexcos第一次時若選第一次時若選xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次時仍應(yīng)選第二次時仍應(yīng)選xusin2 24一、填空題：一、填空題：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、計算、計算 xdxx ln2， u可設(shè)可設(shè)_ _ , , dv_；4
12、4、計算、計算 xdxexcos， u可設(shè)可設(shè)_ _ _ , , dv_；5 5、計算、計算 xdxx arctan2， u可設(shè)可設(shè)_ _ , , dv_； 6 6、 計計算算 dxxex， u可可設(shè)設(shè)_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；練習(xí)題練習(xí)題25三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù)，求求 dxxxf)(. .四四、 設(shè)設(shè) CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函數(shù)數(shù))(1xf 存存在在
13、，則則 CxfFxxfdxxf )()()(111. .26一、一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123； 3、Cnxnnxanaeax )sincos(22 4、Cxxex )22(33323；練習(xí)題答案練習(xí)題答案27 5 5、Cxxx )sin(ln)cos(ln2； 6 6、Cexxx arctan2121； 7 7、Cexexexxxx 22. .三、三、Cxxx sin2cos. .28三、作業(yè)三、作業(yè)作業(yè)作業(yè)22
高等數(shù)學(xué)：第三節(jié) 分部積分法
