【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第9篇 第5講 古典概型

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1、 第5講　古典概型 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．一枚硬幣連擲2次，恰有一次正面朝上的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　一枚硬幣連擲2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出現(xiàn)正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率為＝. 答案　D 2．(20xx·安徽卷)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　1個紅球，2個白球和3個黑球分別記為a1，b1，b2，c1

2、，c2，c3.從袋中任取兩球有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15種；滿足兩球顏色為一白一黑的有6種，概率等于＝. 答案　B 3．(20xx·南昌模擬)從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P＝1－＝. 答案　D

3、4．(20xx·鄭州一模)從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b＞a的概率是 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　基本事件的個數(shù)有15種，其中滿足b＞a的有3種，所以b＞a的概率為＝. 答案　D 5．(20xx·安徽卷)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　記事件A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，

4、丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對立事件僅有(丙，丁，戊)一種可能，∴A的對立事件的概率為P()＝，∴P(A)＝1－P()＝. 答案　D 二、填空題 6．(20xx·新課標全國Ⅱ卷)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是________． 解析　任取兩個不同的數(shù)的情況有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，其中和為5的有2種，所以所求概率為＝. 答案　 7．一根繩子長為6米，繩子上有5個節(jié)點將繩子6等分，現(xiàn)從5個節(jié)點中隨機

5、選一個將繩子剪斷，則所得的兩段繩長均不小于2米的概率為________． 解析　隨機選一個節(jié)點將繩子剪斷共有5種情況，分別為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．滿足兩段繩長均不小于2米的為(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3種情況．所以所求概率為. 答案　 8．從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是________． 解析　從四條線段中任取三條有4種取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能構(gòu)成三角形的取法有3種：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概

6、率為. 答案　 三、解答題 9．(20xx·天津卷)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為x，y，z，用綜合指標S＝x＋y＋z評價該產(chǎn)品的等級．若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標 (x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號 A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標 (x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表

7、提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率； (2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品． ①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果； ②設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率． 解　(1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標S，如下表： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品

8、的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種． ②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝＝. 10．現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C

9、2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組． (1)求A1被選中的概率； (2)求B1和C1不全被選中的概率． 解　(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件共18個： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，

10、B3，C1)，(A3，B3，C2)． 由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“A1恰被選中”這一事件，則包含的結(jié)果為： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2) 事件M由6個基本事件組成， 因而P(M)＝＝. (2)用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3個結(jié)果，事件有3個基本事件組成，所以P()＝＝，由對立

11、事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．在長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點任兩點連線中，隨機取一直線，則該直線與平面AB1D1平行的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　畫出該長方體的直觀圖，可知與平面AB1D1平行的直線有BD，BC1，DC1，故該直線與平面AB1D1平行的概率為P＝＝. 答案　C 2．(20xx·西安模擬)設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件

12、Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為 (　　)． A．3 B．4　　 C．2和5 D．3和4 解析　分別從集合A和B中隨機取出一個數(shù)，確定平面上的一個點P(a，b)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6種情況，a＋b＝2的有1種情況，a＋b＝3的有2種情況，a＋b＝4的有2種情況，a＋b＝5的有1種情況，所以可知若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為3和4. 答案　D 二、填空題 3．(20xx·南京模擬)在集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，

13、n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________． 解析　由題意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6個，在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部的點有(2,1)，(2,2)，所以概率為＝. 答案　 三、解答題 4．一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標準型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽

14、樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 解　(1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛， 由題意得＝，所以n＝2 000， 則z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車， 由題意得＝，則a＝2. 因此抽取的容量為5的樣本中，有

15、2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個． 事件E包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個． 故P(E)＝，即所求概率為. (3)樣本平均數(shù)＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6個，所以P(D)＝＝，即所求概率為.